拓扑空间之间的映射对主要拓扑性质的保持性.doc

拓扑空间之间的映射对主要拓扑性质的保持性摘 要拓扑学是近代发展起来的一个数学分支，于19世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。近年来，拓扑学思想愈来愈渗入到物理学、化学和生物学领域中，愈来愈显示出它的重要地位。在一般拓扑学中，拓扑空间的连通性、可数性、分离性、可度量化、紧性等是整个学科的主要内容，拓扑空间在一些重要映射作用之后是否保持原有性质在拓扑学研究中具有很重要的理论意义和价值。本论文从最基本的拓扑性质出发，讨论各种映射（连续映射，开映射，闭映射，商映射，同胚映射或几种映射复合）对主要拓扑性质是否保持，保持的给出了证明，不保持的给出了反例。首先，论文中所涉及的拓扑性质都是拓扑不变性质；其次，在连续映射下保持的性质有连通性、道路连通性、可分、Lindeloff、紧致、可数紧致、序列紧致，从而它们也都是可商性质，不保持的性质有局部连通性、第一可数性、第二可数性、分离性、可度量化、仿紧致；然后，除了前面所说的可商性质外，还有局部连通性是可商性质，而第一可数性、第二可数性、有关分离性、可度量化、仿紧致都不是可商性质；最后，在开映射和闭映射下，这些拓扑性质都未必能保持，而对于那些在连续映射下也不保持的性质，通过进一步加强映射，发现在连续开映射下保持的有局部连通性、正规和正则，在连续闭映射下保持的有局部连通性、和正规。关键词 连通性 可数性 分离性 紧性 映射To Preserve the Topological Properties by Mappings between Two Topographical SpacesABSTRACTTopology, as a branch of mathematics, was introduced by mathematicians in the middle of the nineteenth century and developed in recent years. Its main purpose is to study some geometric problems originated from mathematical analysis. Invariants and invariant properties of a topological space under topological transformations are the main objects of study. In recent years, Topology becomes more and more important, as its ideas gradually infiltrated into the field of physics, chemistry and biology. In General Topology, connectivity, countability, Axioms of separation, metrizability, and compactness of a topological space are the main contents of the subject. Whether some important topological properties are preserved under some main mappings has theoretical significance and value in the study of Topology. In this paper, based on the basic topological properties, we discuss whether the main topological properties are preserved under various mappings, such as continuous mapping, open mapping, closed mapping, quotient mappings, and homeomorphism mapping. We give the proofs for the affirmative ones and give counterexamples for the negative ones. First of all, all the topological properties involved in this article are topological invariant properties. Secondly, properties preserved under the continuous mappings are connectivity, path-connectivity, separability, Lindeloff, compactness, countable compact, and sequentially compact. Thus they are preserved under quotient mappings. Properties not preserved under the continuous mappings are the local connectivity, the first countability, the second countability, Axioms of separation, metrizability, and paracompactness. Then, besides the properties previously mentioned, the local connectivity is also preserved under quotient mappings. While the first countability, the second countability, Axioms of separation, measurability, and paracompactness are not preserved under quotient mappings. Finally, under open mappings and closed mapping, these topological properties may not be able to keep. For the properties which are neither preserved under open mappings and closed mapping nor preserved under continuous mappings, we can further consider whether they are preserved under the strengthened mappings. We find that under continuous open mappings, local connectivity, regularity and normality are preserved; under continuous closed mapping ,the local connectivity, , , and regularity are preserved.KEY WORDS connectedness countability Axioms of separation compactness mapping目 录第一章 拓扑基本概念11.1 拓扑，邻域，开集，闭集，点列的极限，基，邻域基11.2 连续映射，同胚映射，开映射，闭映射21.3 商拓扑，商映射3第二章 连通性42.1 有关连通性42.2 局部连通空间52.3 道路连通空间7第三章 可数性93.1 第一与第二可数性93.2 可分空间103.3 空间11第四章 分离性134.1 空间134.2 正则，正规，空间144.3 完全正则空间，Tychonoff空间164.4 分离性与商空间174.5 拓扑空间的可度量化19第五章 紧致性225.1 紧致空间225.2 可数紧致和序列紧致235.3 仿紧致空间24参考文献26致 谢27北京邮电大学本科毕业设计（论文）第一章 拓扑基本概念这一章主要介绍一些基本概念，由于我们对朴素集合论中关于集合的概念及运算关系等都比较熟悉，这里便不再赘述。本章主要对有关拓扑及各种映射定义，让大家对拓扑的基本概念有一个了解，为后续的证明做准备。1.1 拓扑，邻域，开集，闭集，点列的极限，基，邻域基定义 1.1.1 设X是一个点集合，是X的一个子集族，如果满足以下条件：（1）X，；（2）若A,B,则；（3）若，则，则称是X的一个拓扑。如果是X的一个拓扑，则称是一个拓扑空间，此外中的每一个元素都叫做拓扑空间（或X）中的一个开集。定义 1.1.2 设是一个拓扑空间，。如果U是X的一个子集，满足条件：存在一个开集使得，则称U是的一个邻域。点x的所有邻域构成的X的子集族称为点x的邻域系。定义 1.1.3 设X是一个拓扑空间，。如果点的每一个邻域U中都有A中异于的点，即，则称点是A的一个凝聚点或极限点。集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集，记作。集合A与A的导集的并称为集合A的闭包，记作或。定义 1.1.4 设X是一个拓扑空间，。如果A的每一个凝聚点都属于A，即，则称A是拓扑空间X中的一个闭集。定义 1.1.5 设为拓扑空间中的一个点列。如果，对x的任何开邻域U，当nN时，有，则称收敛于x，记作或，而x称为点列的极限。定义 1.1.6 设是一个拓扑空间，是的一个子族。如果中的每一个元素(即拓扑空间X的每一个开集)是中某些元素的并，即对每一个，存在使得，则称是拓扑的一个基，或称是拓扑空间X的一个基。定义 1.1.7 设X是一个拓扑空间，。记为x的邻域系。的子族如果满足条件：对每一个，存在使得，则称是点x的邻域系的一个基，或简称为点x的一个邻域基。1.2 连续映射，同胚映射，开映射，闭映射定义 1.2.1 设F是从集合X到Y的一个关系。如果对每一个存在唯一的一个使得，则城F是从X到Y的一个映射，并且记作 。即，F是一个映射，如果对每一个：（1）存在，使得（2）如果对于有和，则。定义 1.2.2 设X和Y是两个拓扑空间，。如果Y中每一个开集U的原像是X中的开集，则称是从X到Y的一个连续映射，或简称映射连续。引理 1.2.1 设X和Y是两个拓扑空间，则以下条件等价：(1) 是一个连续映射；(2) Y中任何一个闭集B的原像是一个闭集；(3) 对于X中任何一个子集A，A的闭包的像包含于A的像的闭包，即；(4) 对于Y中的任何一个子集B，B的闭包的原像包含B的原像的闭包，即。(5) 蕴涵。定义 1.2.3 设X和Y是两个拓扑空间，如果是一个一一映射，并且和都是连续的，则称的是一个同胚映射或同胚。拓扑空间的某种性质P，如果为某一拓扑空间所具有，则必为与其同胚杀我任何一个拓扑空间所具有，则称此性质P是一个拓扑不变性质。定义 1.2.4 设X和Y是两个拓扑空间，映射称为一个开映射(闭映射)，如果对于X中的任何一个开集(闭集)U，像集是Y中的一个开集(闭集)。注 后文中所涉及到的开映射和闭映射均为满射。引理 1.2.2 设X和Y是两个拓扑空间，映射是闭映射测充分必要条件是对Y中任意子集B及X中包含的任意开集U，存在Y中包含B的开集V，使。1.3 商拓扑，商映射定义 1.3.1 是一个拓扑空间，Y是一个集合，是一个满射。容易验证Y的子集族是Y的一个拓扑。我们称为Y的(相对于满射而言的)商拓扑。定义 1.3.2 设X和Y是两个拓扑空间，。我们称映射为一个商映射，如果它是一个满射并且Y的拓扑是相对于映射而言的商拓扑。定理 1.3.1 连续开满射和连续闭满射都是商映射。证 以连续的闭满射为例，连续开满射的情形类似。设是连续的闭满射。由于连续，只需说明任给，若是闭集，则F是闭集。这很容易，因为是闭满射，所以是闭集。27第二章 连通性本章讨论有关连通性，包括连通性、局部连通性、道路连通性，并且讨论了它们在连续映射、商映射、同胚映射以及开映射和闭映射下是否保持，保持的给出了相应的证明，不保持的给出了反例。2.1 有关连通性定义 2.1.1 设A和B是拓扑空间X的两个子集。如果，则称子集A和B是隔离的。定义 2.1.2 设X是一个拓扑空间。如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得。则城X是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间。定义 2.1.3 设Y是拓扑空间X的一个子集。如果Y作为X的子空间是一个连通空间，则称Y是X的一个连通子集；否则，称Y是X的一个不连通子集。引理 2.1.1设X是一个拓扑空间。则下列条件等价：（1）X是一个不连通空间；（2）X中存在着两个非空的闭子集A和B使得和成立；（3）X中存在着两个非空的开子集A和B使得和成立；（4）X中存在着一个既开又闭的非空真子集。引理 2.1.2 设是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射，则是Y的一个连通子集。证 如果是Y的一个不连通子集，则存在Y的非空隔离子集A和B使得。于是和是X的非空子集，并且所以和是X的非空隔离子集。此外，这说明X不连通，矛盾。拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的像所具有，则称这个性质是一个在连续映射下保持不变的性质。由于同胚是连续的满射，在连续映射下保持不变的性质必然是拓扑不变性质。拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个可商性质。由于拓扑空间到它的商空间的自然投射是一个连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是可商性质。因此，由引理2.1.2，显然有以下两个结论：定理 2.1.1 设是从连通空间X到拓扑空间Y的一个同胚映射，则是Y的一个连通子集。定理 2.1.2 设是从连通空间X到拓扑空间Y的一个商映射，则是Y的一个连通子集。引理 2.1.3 如果Y是拓扑空间的一个开(闭)子集，则Y作为X的子空间时特别称为X的开(闭)子空间， 如果Y是拓扑空间的X的一个开(闭)子空间，则是Y中的一个开(闭)集当且仅当A是X的一个开(闭)集。定理 2.1.3 设是从不连通空间X到拓扑空间Y的一个开映射(闭映射)，则是Y的一个不连通子集。证 X是不连通空间，是一个开映射，由引理2.1.1， X中存在着两个非空的开子集A和B使得和成立。是一个开映射，那么是Y中的非空开集，并且有再由引理2.1.3，所以是中的非空隔离子集。此外，说明不连通。例 2.1.1 开映射和闭映射不能保持空间的连通性。连通，不连通。令映射，显然，既是一个开映射，也是一个闭映射。因此，开映射和闭映射均不能保持拓扑空间的连通性。2.2 局部连通空间定义 2.2.1 设X是一个拓扑空间，。如果x的每一个邻域U中都包含x的某一个连通的邻域V，则称拓扑空间X在点x处是局部连通的。定义 2.2.2 设X是一个拓扑空间，X中关于点的连通关系的等价类称为的一个连通分支。如果拓扑空间X在它的每一点处都是局部连通的，则称X是一个局部连通空间。引理 2.2.1 设X是一个拓扑空间，则以下条件等价：（1）X是一个局部连通空间；（2）X的任何一个开集的任何一个连通分支都是开集；（3）X有一个基，它的每一个元素都是连通的。引理 2.2.2 设X和Y都是拓扑空间，其中X是局部连通的，又设 是一个连续开映射，则Y是一个局部连通空间。证 根据引理2.2.1，可设是X的一个基，其中的每一个元素都是连通的。对每一个，集合是连通的，并且由于是一个开映射，是Y中的一个开集。这证明集族=是一个由Y的连通开集构成的族。我们指出是Y的一个基，这是因为，如果U是Y的一个开集，则是X的一个开集，因此存在使得，于是是中某些元素之并。于是根据引理2.2.1可知Y是局部连通的。由于同胚映射是连续的开映射，因此有，定理2.2.1 设X和Y都是拓扑空间，其中X是局部连通的，又设 是一个同胚映射，则是一个局部连通空间。例 2.2.1 存在某个局部连通空间的连续像，它不是局部连通的。设，并在X上取离散拓扑。再设，并在Y上取通常拓扑，定义映射为，则是由拓扑空间X到拓扑空间Y上的一对一连续映射，显然，X是局部连通空间。但Y并不局部连通，因为点0的任一邻域都不是连通的。注 由局部连通空间X到拓扑空间Y上的一对一的既开且闭的满射,其像集也未必是局部连通的。定理 2.2.2 设X和Y都是拓扑空间，其中X是局部连通的，又设 是一个商映射，则Y是一个局部连通空间。 证 由引理2.2.1知：拓扑空间Y是局部连通的当且仅当对Y中的任意开集U，U的每一个连通分支是Y中的开集。设U是Y中的开集，V是U的一个连通分支，要证V是Y中的开集。由于是商映射，只要证是X的开集即可。为此任取中的一点x，因为，是X的开集，由于X是局部连通的，则中含点x的连通分支是X的开集。由连续知是的连通子集且，而V是含点的连通分支，则，于是，故是X的开集。即证得是一个局部连通空间。定理 2.2.3 设X和Y都是拓扑空间，其中X是局部连通的，又设 是一个连续闭映射，则是一个局部连通空间。证 由定理1.3.1和定理2.2.2可知。2.3 道路连通空间定义 2.3.1 设X是一个拓扑空间，从单位闭区间0,1到X的每一个连续映射 叫做X中的一条道路，并且此时和分别称为道路的起点和终点。当时，称是X中从x到y的一条道路。定义 2.3.2 设X是一个拓扑空间。如果对于任何x，y，存在着X中的一条从x到y的道路，我们称X是一个道路连通空间。X中的一个子集Y称为X中的一个道路连通子集，如果它作为X的子空间是一个道路连通空间。引理 2.3.1 如果拓扑空间X是一个道路连通空间，则X必然是一个连通空间。引理 2.3.2 设X和Y是两个拓扑空间，其中X是道路连通的，是一个连续映射，则是道路连通的。证 设。任取使得。由于X是道路连通的，故X中有从到的一条道路。以及，映射定义为对于任意有是中从到的一条道路。这证明是道路连通的。根据引理 2.3.2 可见空间的道路连通性是一个拓扑不变性质，也是一个可商性质。因此，显然有以下两个定理：定理 2.3.1 设X和Y是两个拓扑空间，其中X是道路连通的，是一个同胚映射，则是道路连通的。定理 2.3.2 设X和Y是两个拓扑空间，其中X是道路连通的，是一个商映射，则是道路连通的。例 2.3.1 开映射和闭映射不能保持空间的道路连通性。X为带有通常拓扑的实数空间，显然它是道路连通空间。，它的拓扑为离散拓扑。定义映射即将X中无理点和有理点分别粘合成一个点。这个映射是既开又闭的映射，多于一个点的离散空间不是连通空间，那么也不是道路连通空间。因此，开映射和闭映射不能保持空间的道路连通性。第三章 可数性 基和邻域基对于确定拓扑空间的拓扑和验证映射的连续性都有重要意义，它们的元素的“个数”越少，讨论起来越是方便。这章将讨论限制了基和邻域基“个数”为可数的拓扑空间在各种映射下它的可数性是否保持。3.1 第一与第二可数性定义 3.1.1 某拓扑空间的一个基或在某一点处的一个邻域基，如果是一个可数族，我们则分别简称之为一个可数基和一个可数邻域基。定义 3.1.2 一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，或简称为空间。引理 3.1.1 实数空间R满足第二可数性公理。定义 3.1.3 一个拓扑空间如果在它的每一点处都有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间或简称空间。引理 3.1.2 每一个度量空间都满足第一可数性公理。引理 3.1.3 每一个满足第二可数性公理的空间都满足第一可数性公理。证 设X是一个满足第二可数性公理的空间，是它的一个可数基。对于每一个，是点x处的一个邻域基，它是的一个子族所以是可数族，于是X在点x处有可数邻域基。下面我们讨论第一可数（第二可数）性公理在几种映射下是否保持。例 3.1.1 存在某个满足第一（二）可数公理的拓扑空间，它的一个连续像不满足第一可数公理。设X是全体非负整数的有序对偶（m,n）所成之集，我们在X上取Arens-Fort拓扑，则拓扑空间不满足第一可数公理。我们在X上再取离散拓扑，则拓扑空间满足第二可数公理，从而也满足第一可数公理。设是到上的恒等映射，则是连续映射。但的连续像不满足第一可数公理。注 这个例子也说明了满足第二可数公理的拓扑空间，它的连续像也未必满足第二可数公理。例 3.1.2 存在某个满足第一可数公理的拓扑空间，它的一个商空间不满足第一可数公理。若X是带有通常拓扑的实数空间，则X满足第一和第二可数公理，设Z为整数集，再设Y是X的一个这样的分解，它的元素为Z及所有的单元素集，其中。容易证明商空间Y不满足第一可数公理，当然也不满足第二可数公理。引理 3.1.4 设X和Y是两个拓扑空间，是一个满的连续开映射。如果X满足第二可数性公理（满足第一可数性公理），则Y也满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）。证 设X满足第二可数性公理，是它的一个可数基。由于是一个开映射，是由Y中开集构成的一个可数族。只需证明是Y的一个基。设U是Y中的一个开集，则是X中的一个开集。因此存在使得。由于是一个满射，我们有，即U是中某些元素的并。这完成是Y的一个基的证明。本定理关于满足第一可数性公理的情形证明类似。由引理3.1.4可见拓扑空间满足第一可数性公理和满足第二可数性公理的性质都是拓扑不变性质。即有以下定理：定理 3.1.1 设X和Y是两个拓扑空间，是一个同胚映射。如果满足第二可数性公理（满足第一可数性公理），则Y也满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）。例 3.1.3 开映射和闭映射均不能保持拓扑空间的第一可数性和第二可数性。 设X是带有通常拓扑的实数空间，Y为离散的实数空间。映射为恒同映射，显然是既开又闭的映射。但X满足第一可数性和第二可数性，而Y不满足。因此，开映射和闭映射均不能保持拓扑空间的第一可数性和第二可数性。3.2 可分空间定义 3.2.1 设X是一个拓扑空间，。如果D的闭包等于整个拓扑空间X，即，则称D是X的一个稠密子集。定义 3.2.2 设X是一个拓扑空间。如果X中有一个棵树稠密子集，则称X是一个可分空间。引理 3.2.1 每一个满足第二可数性公理的空间都是可分空间。证 设X是一个满足第二可数性公理的空间，是它的一个可数基。在中的每一个非空元素B中任意取定一个点。令这是一个可数集。由于X的每一个非空开集都能够表示为中若干个元素（其中当然至少会有一个不是空集）之并，因此这个非空开集一定与D有非空的交，所以可数集D是X的一个稠密子集。 接下来我们讨论拓扑空间可分这种性质在连续映射、同胚映射、商映射、开（闭）映射这几种映射下能否保持。定理 3.2.1 设X和Y是两个拓扑空间，是一个连续映射。如果X可分，则也是可分的。证 由于X可分，因此存在可数稠子集且，那么可数且。又连续，则，即，故可分。由定理3.2.1知，可分是一个在连续映射下保持的性质，由此可见，可分性也是一个拓扑不变性质，可商性质。显然有以下：定理 3.2.2 设X和Y是两个拓扑空间，是一个同胚映射。如果X可分，则也是可分的。定理 3.2.3 设X和Y是两个拓扑空间，是一个商映射。如果X可分，则也是可分的。例 3.2.1 可分空间在开映射和闭映射下的像未必是可分空间。同例3.1.3，设X是带有通常拓扑的实数空间，Y为离散的实数空间。映射为恒同映射，显然是既开又闭的映射。带有通常拓扑的实数空间的所有以有理数为它的两个端点的开区间构成的子集是一个稠子集，因而是一个可分空间。而离散的实数空间不是一个可分空间，这是因为它的任何一个可数子集的闭包都等于这个子集自身而不可能等于整个空间。故可分空间在开映射和闭映射下的像也未必是可分空间。3.3 空间定义 3.3.1 设是一个集族，B是一个集合。如果，则称集族是集合B的一个覆盖，并且当是可数族或有限族时，分别称集族是集合B的可数覆盖或有限覆盖。设集族是集合B的一个覆盖。如果集族的一个子族也是集合B的覆盖，则称集族是覆盖（关于集合B的）一个子覆盖。设X是一个拓扑空间。如果由X中开（闭）子集构成的集族是X的子集B的一个覆盖，则称集族是集合B的一个开（闭）覆盖。定义 3.3.2 设X是一个拓扑空间。如果X的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X是一个空间。引理 3.3.1（定理） 任何一个满足第二可数性公理的空间都是空间。定理 3.3.1 设X和Y是两个拓扑空间，是一个连续映射。如果X是一个空间，则也是一个空间。证 对的任意开覆盖，由连续，那么=是X的一个开覆盖，又X为空间，则存在一个可数子覆盖，因此且可数，故也是一个空间。由定理3.3.1可知是一个拓扑不变性质和可商性质，即有定理 3.3.2 设X和Y是两个拓扑空间，是一个同胚映射。如果X是一个空间，则也是一个空间。定理 3.3.3 设X和Y是两个拓扑空间，是一个商映射。如果X是一个空间，则也是一个空间。例 3.3.1 空间在开映射和闭映射下的像不一定是空间。设X是带有通常拓扑的实数空间，Y为离散的实数空间。映射为恒同映射，显然是既开又闭的映射。但X是空间，而Y不是空间。第四章 分离性本章所学的分离性都是模仿度量空间的拓扑性质建立起来的，我们主要讨论有关分分离性，包括, 正则，正规他们是否是在集中重要映射下保持不变的性质。4.1 空间定义 4.1.1 设X是一个拓扑空间。如果X中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一个点（即如果，则或者x有一个开邻域U使得，或者y有一个开邻域V使得），则称拓扑空间X是一个空间。注 在这个定义中，或是在后文类似的定义中，将所有的“开邻域”换成“邻域”得到的新定义与原来的定义等价。引理 4.1.1 拓扑空间X是一个空间当且仅当X中任意两个不同的单点集有不同的闭包。(即如果，则。)例 4.1.1 空间的连续闭映射的像不一定是空间。设X=N，取拓扑，取拓扑，令使得，则X是空间，是连续闭映射，但Y不是空间。定义 4.1.2 设X是一个拓扑空间。如果X中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开邻域不包含另一个点（即如果则x有一个开邻域U使得），则称拓扑空间X是一个空间。空间当然是空间，但反之不然。例 4.1.2 设，,是空间但不是空间。引理 4.1.2 设X是一个拓扑空间，则以下条件等价：（1） X是一个空间；（2） X中每一个单点集都是闭集；（3） X中每一个有限子集都是闭集。定理 4.1.1 空间在闭映射下的像是空间。证 设X是空间，Y是拓扑空间，是闭映射。，有使得。因为X是空间，所以是闭集，故是中闭集，即是闭集，是空间。定义 4.1.3 设X是一个拓扑空间。如果X中任何两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交（即如果，则点x有一个开邻域U，点y有一个开邻域V，使得），则称拓扑空间X是一个Hausdorff空间，或空间。Hausdorff空间一定是空间，但反之不然。例 4.1.3 非Hausdorff的空间的例子。设X是一个无限点集合，(其中为U在X中的补集)，X中的每一个有限子集都是闭集，所以它是一个空间。然而在拓扑空间X中任何两个非空的开集一定会有非空交。这是因为X中每一个非空开集都是X中有限子集的补集，而X又是一个无限集的缘故。由此可见X必然不是一个Hausdorff空间。4.2 正则，正规，空间 定义 4.2.1 设X是一个拓扑空间，。如果A包含于U的内部，即，则称集合U是集合A的一个邻域。如果U是A的一个邻域，并且还是一个开集（闭集），则称U是A的一个开（闭）邻域。定义 4.2.2 设X是一个拓扑空间。如果X中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各有一个开邻域，它们互不相交（即如果和是一个闭集，使得,则存在x的一个开邻域U和A的一个开邻域V使得），则称拓扑空间X是一个正则空间。引理 4.2.1 设X是一个拓扑空间，则X是一个正则空间当且仅当对于任何点和x的任何一个开邻域U，存在x的一个开邻域V使得。例 4.2.1 存在某个正则空间X到拓扑空间Y上的一对一闭映射，使不是正则空间。设X为带有通常拓扑的实数集，Q是有理数集。我们在X上取另一拓扑，它是由再加上形如的集生成的拓扑，其中。于是，拓扑强于拓扑。因此，由到上的恒等映射是一对一的闭映射。显然，是正规空间和正则空间。然而，不是正则空间，从而也不是正规空间。事实上，因是开集，故是闭集。由于是X的稠密集，因而对任何包含的开集G，G的闭包就是X。因此，不存在点，使有分别包含与点x的不相交的开集G与，即不是正则空间。定义 4.2.3 设X是一个拓扑空间。如果X中的任何两个互不相交的闭集各有一个开邻域并且这两个邻域互不相交（即如果都是闭集，则存在A的一个开邻域U和B的一个开邻域V使得），则称拓扑空间X是一个正规空间。引理 4.2.2 设X是一个拓扑空间，则X是一个正规空间当且仅当对于任何一个闭集和A的任何一个开邻域U，存在A的一个开邻域V使得。正则，正规性质与以及Hausdorff诸性质之间并无必然的蕴涵关系。例 4.2.2 正规空间在闭映射下的像未必是正规空间。，闭映射显然，X是正规空间，Y不是正规空间，即是说闭映射不能保持空间的正规性。定理 4.2.1 X与Y都是拓扑空间，且是X到Y上的连续开映射，若X为正规（或正则）空间，则Y也是正规（或正则）空间。证 令A和B为中互不相交的闭集，由于连续，那么和为X中两个闭集且。又X为正规空间，因此存在的一个开邻域U和的一个开邻域V使得，那么。由于是开映射，那么和是Y中开集，并且 ， ，即存在两个不相交的开邻域分别包含A和B，是正规空间。当X为正则空间时，类似可证Y为正则空间。定理 4.2.2 正规空间的连续闭映射的像是正规空间。证 设X是正规空间，Y是拓扑空间，是连续闭映射，是Y中任意两个不相交的闭集，则是X中两个不相交的闭集，因为X是正规空间，所以存在开集，使得。注意到是闭映射，由引理1.2.1知存在开集，使，且，于是有，即，Y是正规空间。定义 4.2.4 正则的空间称为空间，正规的空间称为空间。例 4.2.1 空间的连续闭映射的像不一定是空间，正则空间的连续闭映射的像不一定是正则空间。设，取拓扑=U|且，若，则存在以为心，某个为半径的开圆；若，则存在，使。 定义X上的等价关系如下：对X中的不同的两点当且仅当与同为有理数或同为无理数。令Y是X关于等价关系的商空间，即Y=X。熟知商映射是连续映射。（1）X是非正规的，但是正则的空间。事实上，X中不相交的两个闭集Q=（x,0）|x为有理数与D=（x,0）|x为无理数没有不相交的邻域，所以X是非正规的，至于分离性与正则性，那是显然的。（2）商映射f是闭映射，因而是连续闭映射。事实上，对X中任一闭集F，有，因为Q、D是X中闭集，所以是X中闭集，注意到f是商映射，则是Y中闭集，f是闭映射。（3）Y是非空间。事实上，在f下，Q被映成Y中一点，D被映成Y中另一点，而每个点被映成自身。显然与没有不相交的邻域（否则，在X中Q与D就有不相交的邻域）。故Y是非空间。（4）Y不是正则空间。事实上，因为X是空间，由定理4.4.3知Y是空间，又因为Y不是空间，所以Y不是正则空间。由以上，空间的连续闭映射的像未必是空间，正则空间的连续闭映射的像也未必是正则空间。这个例子也说明了空间的连续闭映射的像未必是空间。定理 4.2.3 空间的连续闭映射的像是空间。证 由定理4.1.1和定理4.2.2可知。4.3 完全正则空间，Tychonoff空间定义 4.3.1 设X是一个拓扑空间。如果对于任意和X中的任何一个不包含点x的闭集B存在一个连续映射使得以及对于任何有，则称拓扑空间X是一个完全正则空间。完全正则的空间称为Tychonoff空间，或空间。引理 4.3.1 每一个完全正则空间都是正则空间。引理 4.3.2 每一个正则且正规的空间都是完全正则空间。引理 4.3.3（Tychonoff定理） 每一个正则的Lindeloff空间都是正规空间。 定理 4.3.1 完全正则空间的连续闭映射的像是完全正则空间。证 设X是完全正则空间，Y是拓扑空间，是连续闭映射，和Y中任何一个不包含点y的闭集B。由于连续，为X中不包含的闭集，因为X完全正则，因此存在连续映射使得以及对于任何有。令，显然有以及对于任何有，下面只需证映射h连续即可。设F为X中的闭集，由 为闭映射，因此原像为Y中的闭集，那么为连续映射，即得证映射h连续。定理 4.3.2 Tychonoff空间的连续闭映射的像是Tychonoff空间。证 由定理4.1.1和定理4.3.1可知。4.4 分离性与商空间所有的分离性公理，包括，（即Hausdorff），（即Tychonoff），以及正则和正规等，它们都是经由开集或者经由通过开集的定义的概念来陈述的，所以她们必然都会是拓扑不变性质。下面以其中一种情形为例来验证。引理 4.4.1 设X和Y是两个同胚的拓扑空间。如果X是一个完全正则空间，则Y也是一个完全正则空间。证 设是一个同胚。对于Y中的任意一个点x和任何一个不包含点x的闭集B，和分别是X中的一个点和一个不包含的闭集。由于X是一个完全正则空间，故存在一个连续映射使得和对于任何有。于是连续映射满足条件：和对任何有 。对于其它分离性是拓扑不变性质，类似可证。因此有定理 4.4.2 设X和Y是两个同胚的拓扑空间。如果X是一个（，以及正则和正规）空间，则Y也是一个（，以及正则和正规）空间。例 4.4.1 所有的分离性都不是可商性质，因此也必然不是在连续映射下保持不变的性质。(1) 在实数空间中给定等价关系所得到的商集合为（如56，）。自然映射，.它是由两个点组成的平庸拓扑，是实数空间的商空间。它不是空间，也不是空间。但它既是正则空间，也是正规空间。因此都不是可商性质。(2) 由于实数空间R是一个度量空间，所以它满足所有的分离性公理。在实数空间R中给出等价关系使得对任意的充分必要条件是或者或者或者，将所得到的商空间记为Y。换言之Y便是在实数空间中分别将集合各粘合为一个点得到所得到的拓扑空间。事实上，商拓扑，考察点A和点B可见Y不是空间，因此也不是。考察两个单点闭集和可见Y既不是正则空间也不是正规空间，那么也不会是完全正则空间，但它却是空间。因此正则，正规和完全正则也不是可商性质。(3) 设，记为X上关于的子拓扑。在X上引进等价关系： 于是，等价类恰有5个：.为X的商拓扑，根据（1），（2），这个商空间既不是，也不是正则、正规和完全正则空间。因此，一切分离性都不是可商性质。例 4.4.2 开连续映射不保持分离性。考虑R上的等价关系。容易验证商映射是开映射，而商空间R不是空间，因此的开连续像也不必是空间。故开连续映射不保持分离性。4.5 拓扑空间的可度量化定义 4.5.1 设X是一个集合，。如果对于任何，有（1）（正定性），并且当且仅当；（2）（对称性）；（3）（三角不等式），则称是集合X的一个度量，称是一个度量空间。引理 4.5.1 度量空间中的开集具有以下性质：（1）集合X本身和空集都是开集；（2）任意两个开集的交是一个开集；（3）任意一个开集族（即由开集构成的族）的并是一个开集。定义 4.5.2 设是一个度量空间。令为由X中的所有开集构成的集族。根据引理2.4.1，是X的 一个拓扑。我们称为X的由度量诱导出来的拓扑。此外我们约定：如果没有另外的说明，我们提到度量空间的拓扑时，指的就是拓扑；在称度量空间为拓扑空间时，指的就是拓扑空间。定义 4.5.3 设是一个拓扑空间。如果存在X的一个度量使得拓扑即是由度量诱导出来的拓扑，则称是一个可度量化的空间。例 4.5.1 存在某个可度量化的拓扑空间，它的一个商空间不可度量化。设X为带有通常拓扑的欧式平面，A为所有使得y=0的点（x,y）所组成之集，又设分解Y由A和所有使得的集所组成，Y带有商拓扑。容易证明，由X到商空间Y上的射影P必是闭映射。（）存在A的可数多个邻域，它们的交是A。令。因为开集且包含A，故为A的开邻域，且。（）商空间Y不可度量化。可以证明，商空间Y中的元A没有可数邻域基，既不满足第一可数公理，从而不可度量化。事实上，假如不然，即设存在A的可数邻域基满足： 。对每个非负整数m,序列在商空间中收敛于A，从而有自然数，使，于是，序列经常在每个中，集在X中是闭的，它在商空间Y上的射影亦为Y中的闭集，从而为商空间Y中的开集且包含A。因它不包含邻域基的元。故导致预期的矛盾。因此，Y不满足第一可数公理。由引理3.1.2，Y不可度量化。这个例子也说明，可度量化空间在连续闭映射下的像也未必是可度量化空间。例 4.5.2 连续开映射不保持可度量性。考察通常平面的子空间把第二坐标相同的两点合为一点，即把上式中中的点与中的相应点重合，其他的点仍旧，在所得集上给以商拓扑，所得商空间记为Y。下证商映射q是开映射。设是开集。是由增添一些孤立点于A而形成的，故仍是开集，从而是开集。易知Y是空间。下证Y不是正则空间。取空间Y的闭子集，空间Y中的点。设U，V是空间Y中任意一对开子集满足，下证。因，存在使当时，因，存在使当时，置，则有及。从而。定义 4.5.4 拓扑空间X的子集族称为局部有限的，若X的任意一点都有一个邻域仅与中有限个元素相交。称为局部有限的，若可以写成可数个局部有限子集族的并，即，其中每个局部有限。引理 4.5.2（Nagata-Smirnov） 拓扑空间X可度量化当且仅当它是空间并且有一个局部有限基。定理 4.5.1 拓扑空间X可度量化，是同胚映射，那么拓扑空间Y也可度量化。证 由引理4.5.2，拓扑空间X是空间并且有一个局部有限基。由定理4.4.2可知是拓扑不变性质，而是同胚映射，那么Y也是空间，下面我们只需证明Y有一个局部有限基即可。令，对任意使得，由是X的局部有限基可知，对任意，存在x的一个邻域U仅与中有限个元素相交，显然也是y的一个邻域且与中有限个元素相交，因此也是局部有限的。对于拓扑空间Y中的任意开集V，为X中的开集，由为X的基，那么存在使得,，即存在，使得。再由引理4.5.2，Y也可度量化。第五章 紧致性在3.3中，我们用关于开覆盖和子覆盖的术语刻画了Lindeloff空间。现在我们将Lindeloff空间定义中的“可数子覆盖”换成“有限子覆盖”，以定义紧空间。这章我们将对有关紧致性，包括紧致、可数紧致、序列紧致、仿紧致的空间在几种重要映射下的空间的性质进行讨论，考察映射作用之后是否还保持相关的紧致性，保持的给出了相应的证明，不保持的给出了反例。5.1 紧致空间定义 5.1.1 设X是一个拓扑空间。如果X的每一个开覆盖有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个紧致空间。显然，每一个紧致空间都是Lindeloff空间。但反之不然。例如包含着无限但可数个点的离散空间是Lindeloff空间，但它不是一个紧致空间。定义 5.1.2 设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集如果Y作为X的子空间是一个紧致空间，则称Y是拓扑空间X的一个紧致子集。引理 5.1.1 设X是一个拓扑空间，Y是X的一个子集，则Y是X的一个紧致子集当且仅当每一个由X中的开集构成的Y的覆盖都有有限子覆盖。定理 5.1.1 设X和Y是两个拓扑空间，是一个连续映射。如果X是一个紧致空间，则是Y的一个紧致子集。证 设是的一个覆盖，它由Y中的开集组成。对于每一个，由于是一个连续映射，是X中的一个开集，由于，故有所以是X的一个开覆盖。由于X是紧致空间，所以又一个有限子族，设为覆盖X。由于 所以，即是的一个有限子族并且覆盖。这证明是Y的一个紧致子集。由上述定理可见拓扑空间的紧致性是由连续映射所保持的性质，因此是拓扑不变性质，也是一个可商性质。那么显然有定理 5.1.2 设X和Y是两个拓扑空间，是一个同胚映射。如果X是一个紧致空间，则是Y的一个紧致子集。定理 5.1.3 设X和Y是两个拓扑空间，是一个商映射。如果X是一个紧致空间，则是Y的一个紧致子集。例 5.1.1 开映射和闭映射不保持空间的紧致性。，它的拓扑是通常拓扑，为无限可数集，它的拓扑为离散拓扑。设映射即将0,1中所有无理点粘合为一个点，显然这个映射为一个既开又闭的映射，但是X为紧致空间，Y不为紧致空间。因此开映射和闭映射不保持空间的紧致性。5.2 可数紧致和序列紧致定义 5.2.1 设X是一个拓扑空间。如果X的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个可数紧致空间。引理 5.2.1 每一个紧致空间都是可数紧致空间。类似定理5.1.1可证可数紧致是由连续映射所保持的性质，因此是拓扑不变性