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基础过关第6课时 直线与圆、圆与圆的位置关系1直线与圆的位置关系将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为，圆心C到直线l的距离为d，则直线与圆的位置关系满足以下关系：相切dr0相交 相离 2圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R和r(Rr)，圆心距为d，则两圆的位置关系满足以下条件：外离d Rr外切 相交 内切 内含 3. 圆的切线方程 圆x2y2r2上一点p(x0, y0)处的切线方程为l: . 圆(xa)2(yb)2r2上一点p(x0, y0)处的切线方程为l : . 圆x2y2DxEyF0上一点p(x0, y0)处的切线方程为 .典型例题P2P1P(4，2)xyO例1. 过：x2y22外一点P(4，2)向圆引切线 求过点P的圆的切线方程 若切点为P1、P2求过切点P1、P2的直线方程解：(1)设过点P(4，2)的切线方程为y2k(x4)即kxy+24k0 则d 解得k1或k切线方程为：xy20或x7y100(2) 设切点1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则两切线的方程可写成l1: x1xy1y2，l2：x2xy2y因为点(4，2)在l1和l2上则有4 x12y12 4x22y22这表明两点都在直线4x2y2上，由于两点只能确定一条直线，故直线2 xy10即为所求变式训练1：（1）已知点P(1，2)和圆C：，过P作C的切线有两条，则k的取值范围是( )A.kR .k . D.（2）设集合A=（x,y)|x2y24,B=(x,y)|(x1)2(y1)2r2(r0),当AB=B时，r的取值范围是 （ ）A（0，1） B（0，1 C（0，2 D（0，（3）若实数x、y满足等式(x-2)，那么的最大值为( )A. . . .（4）过点M且被圆截得弦长为8的直线的方程为 （5）圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆和的交点的圆的方程是 .解：（1）D提示：P在圆外 （2）C提示：两圆内切或内含（3）D提示：从纯代数角度看，设t=,则y=tx，代入已知的二元二次方程，用0，可解得t的范围。从数形结合角度看，是圆上一点与原点连线的斜率，切线的斜率是边界（4）提示：用点到直线的距离公式，求直线的斜率（5）.提示：经过两圆交点的圆的方程可用圆系方程形式设出，其中的一个待定系数，可依据圆心在已知直线上求得例2. 求经过点A(4，1)，且与圆：x2y22x6y50相切于点B(1，2)的圆的方程解：圆C的方程可化为(x1) 2(y3)25圆心C(1，3)，直线BC的方程为：x2y50又线段AB的中点D(，)，kAB1线段AB的垂直平分线方程为：yx即xy20 联立解得x3，y1所求圆的圆心为E(3，1)，半径|BE|所求圆的方程为(x3)2(y1)25变式训练2：求圆心在直线5x-3y=8上，且与坐标轴相切圆的标准方程解：设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆与坐标轴相切，a=b,r=a又圆心(a,b)在直线5x-3y=8上.5a-3b=8,由得所求圆的方程为：（x-4)2+(y-4)2=16或(x-1)2+(y+1)21例3. 已知直线l：yk(x2)(k0)与圆O：x2y24相交于A、B两点，O为坐标原点AOB的面积为S 试将S表示为k的函数S(k)，并求出它的定义域 求S(k)的最大值，并求出此时的k值解：(1)圆心O到AB的距离d由d21 k 1|AB|4 S(k)4(2) 解法一：据(1)令1k2t k2t1(1 t 2)S4442当即k时，等号成立k为所求解法二：ABD的面积S|OA|OB|sinAOB2sinAOB当AOB90时，S可取最大值2，此时，设AB的中点为C则OC|OA|由O到直线的距离为|OC|得，k变式训练3：点P在直线上，PA、PB与圆相切于A、B两点，求四边形PAOB面积的最小值答案：8。提示：四边形可以分成两个全等的直角三角形，要面积最小，只要切线长最小，亦即P到圆心距离要最小例4. 已知圆C方程为：，直线l的方程为：（2m1)x(m1)y7m4=0（1）证明：无论m取何值，直线l与圆C恒有两个公共点。（2）求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求出此时的m值提示：（1）用点到直线的距离公式，证明r2d20恒成立（2）求（1）中r2d2的最小值，得直线l被圆C截得的线段的最短长度为4，此时的m值为 变式训练4：已知圆系，其中a1,且aR,则该圆系恒过定点 答案：（1，1）提示：将a取两个特殊值，得两个圆的方程，求其交点，必为所求的定点，故求出交点坐标后，只须再验证即可。另一方面，我们将方程按字母a重新整理，要使得原方程对任意a都成立，只须a的系数及式中不含a的部分同时为零小结归纳1处理直线与圆、圆与圆的位置关系的相关问题，有代数法和几何法两种方法，但用几何法往往较简便2圆的弦长公式l2(R表示圆的半径，d表示弦心距)利用这一弦长公式比用一般二次曲线的弦长公式l要方便