圆和三角函数及相似练习题.doc

圆和三角函数及相似练习题1、如图11，AB是O的弦，D是半径OA的中点，过D作CDOA交弦AB于点E，交O于F，且CE=CB。（1）求证：BCO是的切线；（2）连接AF、BF，求ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求O的半径。2、如图，AB是0的直径，C是0上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且BAC=DAC（1）猜想直线MN与0的位置关系，并说明理由；（2）若CD=6，cos=ACD=，求0的半径3、已知：如图，是的直径，是上一点，于点，过点作的切线，交 的延长线于点，连结（1）求证：与相切；（2）连结并延长交于点，若，求的长4、如图，已知O的直径AB与弦CD相交于点E， ABCD，O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F （1）求证：CD BF； （2）若O的半径为5， cosBCD=，求线段AD的长5题图ACBDEFOP5、如图，PB为O的切线，B为切点，直线PO交O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交O于点A，延长AO与O交于点C，连接BC，AF（1）求证：直线PA为O的切线；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的等量关系，并加以证明；（3）若BC6，tanF，求cosACB的值和线段PE的长6、如图，AB是O的直径，弦CDAB于H，过CD延长线上一点E作O的切线交AB的延长线于F切点为G，连接AG交CD于K（1）求证：KE=GE；（2）若=KDGE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（3） 在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长7、如图11，AB是O的弦，D是半径OA的中点，过D作CDOA交弦AB于点E，交O于F，且CE=CB。（1）求证：BCO是的切线；（2）连接AF、BF，求ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求O的半径。3、【解析】圆与直线的位置关系；相似和三角函数【答案】（1）证明：连结OCODBC所以EOC=EOB在EOC和EOB中EOCEOB（SAS）OBE=OCE=90BE与O相切（2）解：过点D作DHABODHOBDOD：OB=OH：OD=DH：BD又sinABC=OD=6OH=4，OH=5，DH=2又ADHAFBAH：AB=DH：PB13:18=2:FBFB=【点评】（1）利用全等三角形求出角度为90，即得到相切的结论。（2）利用三角形相似和三角函数求出三角形各线段的长。4 分析】（1）由BF是圆O的切线，AB是圆O的直径，根据切线的性质，可得到BFAB，然后利用平行线的判定得出CDBF（2）由AB是圆O的直径，得到ADB=90 ，由圆周角定理得出BAD=BCD，再根据三角函数cosBAD= cosBCD=即可求出AD的长【解析】（1）证明：BF是圆O的切线，AB是圆O的直径 BFAB CDAB CDBF （2）解：AB是圆O的直径 ADB=90 圆O的半径5 AB=10 BAD=BCDcosBAD= cosBCD=8 AD=8【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理和解直角三角形，此题难度适中。圆是一个特殊的几何体，它有很多独到的几何性质，知识点繁多而精粹。圆也是综合题中的常客，不仅会联系三角形、四边形来考察，代数中的函数也是它的友好合作伙伴。因此圆在中考中占有重要的地位，是必考点之一。在近几年各地的中考中,圆的有关性质,如垂径定理、圆周角、切线的判定与性质等一般以计算或证明的形式考查，与圆有关的应用题、阅读理解题、探索存在性问题仍是中考命题的热点. 5【解析】（1）要证PA是O的切线，只要连接OB，再证PAOPBO90即可（2）OD，OP分别是RtOAD，RtOPA的边，而这两个三角形相似且这两边不是对应边，所以可证得OA2ODOP，再将EF2OA代入即可得出EF，OD，OP之间的等量关系（3）利用tanF，得出AD，OD之间的关系，据此设未知数后，根据ADBD，ODBC3，AOOCOFFDOF，将AB，AC也表达成含未知数的代数式，再在RtABC中运用勾股定理构建方程求解【答案】解：（1）证明：如下图，连接OB，PB是O的切线，PBO90OAOB，BAPO于D，ADBD，POAPOB又POPO，PAOPBOPAOPBO90直线PA为O的切线ACBDEFOP（2）EF24ODOP证明：PAOPDA90，OADAOD90，OPAAOP90OADOPAOADOPA，即OA2ODOP又EF2OA，EF24ODOP（3）OAOC，ADBD，BC6，ODBC3设ADx，tanF，FD2x，OAOF2x3在RtAOD中，由勾股定理 ，得(2x3)2x232解之得，x14，x20（不合题意，舍去）AD4，OA2x35AC是O的直径，ABC90而AC2OA10，BC6，cosACBOA2ODOP，3(PE5)25PE【点评】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，综合性很强，并富有探究性要证某线是圆的切线，若已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可；若此线与圆的切点未知，可以过圆心作这条直线的垂线段（即为垂直），再证半径即可另外，与圆有关的探究、计算问题，多与相似三角形和勾股定理有关，上来从这方面着手分析思考，有利于思路的快速打开6、解析：利用切线的性质和等边对等角可以证明EGK=EKG，然后根据等角对等边，即可证明第（1）小题；对于第（2）小题，可以先由等积式得到比例式，然后得到三角形相似，根据角的关系可以判断两条直线的位置关系；对于第（3）小题，可以先利用方程的思想求出相关线段的长，然后利用三角函数求FG的长。答案：（1）如下图，连接OG，EG是O的切线OGGEOGK+EGK90CDABOAG+AKH90OG=OAOGK=OAGEGK=AKH=EKGKE=GE；（2）ACEF理由如下：=KDGE，GE=KEKGDKGEKGDEKGDCECACEF（3）在（2）的条件下，ACEFCAFF，ECsinE=sinC=,sinF=,tanE=tanC=连接BG，过G作GNAB于N，交O于Q则弧BQ=弧BGBGNBAG设AH=3k，则CH=4k于是BH=，OG=EG是切线，CDABOGF90FOG+F=E+FFOG=ENG=OGsinFOG=BN=OB-ON=OG-OGcosFOG=BG=QN点评：本题的第（3）小题是一道大型综合题，且运算量较大，属于较难题；但是，前两个小题比较基础，同学们应争取做对。7、【解析】（1）连接OB，证OBBC，即证OBE+EBC=90。通过OA=OB，CE=CB，AED=BEC，可将OBE、EBC分别转化为A、AED，结合CDOA可证OBE+EBC=90；（2）连接OF，由CD垂直平分OA得AF=OF=OA，再结合圆心角与圆周角关系易求ABF的度数；，（3）作CGBE于G，得A=ECG，CG是BE垂直平分线，由CD=15，BE=10，sinA=，可求EG、CE、CG、DE长度，通过ADECGE可求AD，从而计算半径OA。【答案】（1）证明：连接OB。OA=OB，A=OBE。CE=CB，CEB=EBC，AED =EBC，AED = EBC，又CDOA A+AED=OBA+EBC=90，BCO是的切线；（2）CD垂直平分OA，OF=AF，又OA=OF，OA=OF=AF，O=60，ABF=30；（3）作CGBE于G，则A=ECG。CE=CB，BD=10，EG=BG=5，sinEC