工程硕士GCT数学复习代数.pdf

1 第二部分 代数 本部分内容包括 考试要求 样题 重要问题 内容综述 典型例题 模拟练习 考试要求 代数式和不等式的变换和计算 包括 实数和复数 乘方和开方 代数表达式和因式分解 方程的解法 不等式 数学归纳 法 数列 二项式定理 排列 组合等 样题 1 5棵大小不同的柳树 6 棵大小不同的杨树 栽到 5 个坑内 一坑一棵 5 个坑内至多 栽 2 棵柳树 5 个坑都栽了 有 种栽法 A 281 B 200 C 81 D 275 2 求阶乘不超过200的最大整数 A 3 B 4 C 5 D 6 3 设函数 1 x x xf 1 0 xx 则 1 xf f A x 1 B x 1 1 C 1 x x D 1 x 4 设30 x 则函数2 2 2 xy的最大值为 A 2 B 1 C 2 D 3 5 袋中有 3 个黄球 2 个红球 1 个兰球 每次取一个球 取出后不放回 任取两次 取 得红球的概率是 A 15 1 B 30 11 C 3 1 D 3 2 6 现有三张密封的奖券 其中一张有奖 共有三个人按顺序且每人只能抓走一张 问谁抓 到奖的概率最大 A 第一个人 B 第二个人 C 第三个人 D 一样大 7 比较 6 0 4 0与 4 0 6 0谁大 A 前者 B 后者 C 一样大 D 无法确定 8 函数 1ln 2 xxxf 是 A 周期函数 B 奇函数 C 偶函数 D 单调减少函数 9 在连乘式 5 4 3 2 1 xxxxx展开式中 4 x前面的系数为 2 A 13 B 14 C 15 D 16 重要问题 样题中问题类型 排列组合 1 函数求值 3 二次函数 4 简单概率问题 5 6 幂函数与指数函数 7 函数奇偶性 8 代数式运算 9 已考问题类型 2003 年 二次函数 单调区间 函数图像 对称性 乘方开方运算 简单概率问题 比赛 场次 2004 年 分数运算 绝对值概念 二次方程求根 幅角概念与两角和三角公式 简单概率 问题 2005 年 简单代数公式 两数差的平方 复数的模 数列 等差 等比 简单概率问题 古典概型 2006 年 绝对值的概念与一元二次方程的根 共轭复数 简单概率与组合数 古典概型 等比数列与乘方运算 一元二次函数的图像 内容综述 一 数和代数式 内容综述 1 实数的运算 1 四则运算及其运算律 2 乘方与开方 乘积与分式的方根 根式的乘方与化简 xyyxxxxyx y x yxyx aabaaba a a aaa 3 绝对值aaababa aa a aa a 0 0 0 0 2 复数 1 基本概念 虚数单位 复数 实部 虚部 模 辐角 1 2 i biaz 22 baz a b tan 2 0 3 2 基本形式 代数形式 三角形式 指数形式 biaz sincosizz i ezz 3 复数的运算及其几何意义 212121222111 bbiaazzibazibaz biaz biaz 1111 sincos izz 2222 sincos izz sin cos 21212121 izzzz sin cos 2121 2 1 2 1 i z z z z 1 0 zz 3 代数式 单项式 多项试 1 几个常用公式 和与差的平方 和与差的立方 平方差 立方和 立方差等 2 简单代数式的因式分解 3 多项式的除法 典型例题 1 已知实数x和y满足条件1 999 yx和1 1000 yx 则 10001000 yx 的值 是 03 A 1 B 0 C 1 D 2 分析 根据条件 得 1 1 yx yx 或 1 1 yx yx 解得 1 0 y x 或 0 1 y x 从而1 10001000 yx 2 设cba 均为正数 若 ac b cb a ba c 则 04 A bac B acb C cba D abc 4 分析 本题利用代入法最为简单 当bac 时 正分数 ac b cb a ba c 的分子依次 增大 分母依次减小 所以 ac b cb a ba c 3 实数cba 在数轴上的位置如下图表示 ba O c 图中 O 为原点 则代数式 ccaabba 04 A ca23 B caba2 C ba2 D a3 分析 因为cab 0 所以 cacacbabaccaabba23 4 zarg表示z的幅角 今又 21arg 2arg ii 则 sin 04 A 5 4 B 5 3 C 5 4 D 5 3 分析 由于 5 1 cos 5 2 sin 5 2 cos 5 1 sin 所以 5 3 sincoscossin sin 5 复数 2 1 ziz 的模 05 A 4B 22C 2D 2 分析 因为21 i 所以21 1 2 2 ii 即正确选项为 C 6 复数 i z 1 的共轭复数z是 06 A iB i C 1D 1 答 A 分析 本题是代数题 考查复数的基本概念 由于i i z 1 所以iz 7 若Cz 且122 iz 则iz22 的最小值是 B A 2 B 3 C 4 D 5 5 分析 1 22 22 iziz表示复数z对应的点在以点 2 2 为圆心 半径是1的 圆周上 22 22iziz 最小 是指复数z对应的点到点 2 2 的距离最短 此最 短距离为3 8 复平面上一等腰三角形的3个顶点按逆时针方向依次为O 原点 1 Z和 2 Z 2 21 OZZ 若 1 Z对应复数iz31 1 则 2 Z对应复数 2 z D A i31 B i31 C i 3 D i 3 分析 根据复数的几何意义 当 1 Z对应于复数iz31 1 时 2 Z对应复数 2 zi 3 9 如果 1 x整除1 223 axxax 则实数 a D A 0 B 1 C 2 D 2 或1 分析 1 x能够整除1 223 axxax说明 1 x是1 223 axxax的一个因子 因此当1 x时 1 223 axxax的值应为0 即 011 2 aa 解得2 a或 a1 10 已知510 xyzy 且 则 222 xyzxyyzzx 05 A 50B 75C 100D 105 分析 由于10 5 yzyx 所以5 xz 从而 75 2 1 222222 xzyzyxzxyzxyzyx 故正确选项为 B 二 集合 映射和函数 微积分 Z1 Z2O 6 内容综述 1 集合 1 概念 集合 空集 全集 表示法 C R Q Z N 0 xxA 2 包含关系 子集 真子集 相等 子集的个数 BxAxBA 3 运算 交集 并集 补集 运算律 摩根律 BABACABACBA CBACBAACABABA I 2 函数 1 概念 定义 两要素 图形 反函数 Dxxfyyx 1 xfy abba 2 简单性质 有界性 单调性 奇偶性 周期性 xfxxfx xfxxfxxfx xhxxgxxgx xhxafyxhxaf xgxafy a T xgb a T xafTbaxfbaxfxg 3 幂函数 指数函数 对数函数 含义 性质 常用公式 xyxyxyayxy a xa ln lg log a x xxyxyx y x yxxy b b a y log log log lnln lnlnln lnlnln 典型例题 1 设BA 是两个非空实数集 f是定义在BA 上的函数 试讨论集合 BAf 与 BfAf及 BfAf 的关系 分析 BAfAf BAfBf BAfBfAf 只解释 BAfBfAf 若 BfAfy 不妨设 Afy 则存在BAAx 使得 xfy 所 7 以 BAfy 故 BAfBfAf 若 BAfy 则存在BAx 使得 xfy 当Ax 时 Afy 当Bx 时 Bfy 所以 BfAfy 故 BfAfBAf 2 已知 30 11 xxBxxA 求 BACBABABA R 分析 31 xxBA 10 xxBA BA 1 0 xxxx 3 已知0 a 函数dcxbxaxxf 23 的图像关于原点对称的充分必要条件是 D A 0 b B 0 c C 0 d D 0 db 分析 函数dcxbxaxxf 23 的图像关于原点对称的充分必要条件是函数 xf为 奇函数 故其偶次项的系数为0 即0 db 注 也可利用 1 1 0 0 ff f 求得0 db 在说明当0 db时 xfy 的图像关 于原点对称 4 函数 1 xfy 与 1 xfy 的图形关于 A 直线1 x对称 B 直线1 x对称 C 直线0 x对称 D 直线0 y对称 分析 记 1 1 xfxhxfxg 由于 1 1 xhxfxfxg 所以曲线 xgy 上的点 xgx关于直线0 x的对称点 xhxxgx 在曲 线 xhy 上 5 设0 0 ba 且abba7 22 那么 3 1 lnba B 8 A ln ln 2 1 ba B ln 2 1 ab C ln ln 3 1 ba D ln 3 1 ab 分析 由于0 0 ba 所以选项 A C 不正确 根据 9 2 ln 2 1 3 1 ln 2 1 3 1 ln 22 2 abba baba 及abba7 22 可知 3 1 lnba ln 2 1 ab 三 代数方程和简单的超越方程 内容综述 1 一元一次方程 二元一次方程组 2 一元二次方程 1 求根公式 判别式 2 根与系数的关系 3 二次函数的图像 0 2 cbxax acb4 2 a c xx a b xx a acbb x 2121 2 2 4 a bac a b xacbxaxy 4 4 2 2 22 3 简单的指数方程和对数方程 典型例题 1 设0 c 若 21 x x是方程0 2 cbxx的两个根 求 2 1 1 2 21 2 2 2 1 x x x x xxxx 3 2 3 1 xx 分析 根据韦达定理可知cxxbxx 2121 所以 cbxxxxxx22 2 21 2 21 2 2 2 1 cbxxxxxxxx42 2 21 2 2 2 1 2 2121 9 c cb xx xx x x x x2 2 21 2 1 2 2 2 1 1 2 2 221 2 121 3 2 3 1 xxxxxxxx 2 函数 0 2 acbxaxy在 0 上单调减的充要条件是 03 A 0 a 且0 b B 0 a 且0 b C 0 a 且0 b D 0 a 且0 b 分析 函数 0 2 acbxaxy在 0 上单调减意味着其图像的开口朝上和顶点的 横坐标非负 所以0 a且0 2 a b 故0 a 且0 b 3 已知1 ab 且满足0320082 2 aa和0220083 2 bb 则 04 A 023 baB 032 baC 023 baD 032 ba 分析 根据0 32 200894 22 baba 可以推出可能有032 ba 或 根 据 6 2420082008 4 2420082008 22 ba 推 出 可 能 有 032 ba 4 方程20072006 2 xx 所有实数根的和等于 06 A 2006B 4C 0D 2006 答 C 分析 本题是代数题 考查绝对值概念和一元二次方程的求根公式 当0 x时 2 2007420062006 2 x 当0 x时 2 20074 2006 2006 2 x 所以方程20072006 2 xx的所有实数根的和等于0 5 设二次函数cbxaxxf 2 的对称轴为1 x 其图像过点 2 0 则 1 1 f f A 3B 2C 2D 3 06 答 D 分析 本题是代数题 考查了一元二次函数图像的对称轴和数的简单运算 10 根据题意024 1 2 cba a b 所以2 0 a b c 从而 3 1 3 1 1 1 1 a b a b ba ba f f 6 指数方程组 632 1624 yx yx 的解 A A 只有一组 B 只有两组 C 有无穷多组 D 不存在 分析 在方程组 632 1624 yx yx 中每个方程的两端取对数 得 6ln3ln2ln 16ln2ln4ln yx yx 由于x与y的系数不成比例 所以此方程组只有一组解 四 不等式 内容综述 1 不等式的基本性质及基本不等式 算术平均数与几何平均数 绝对值不等式 2 几种常见不等式的解法 绝对值不等式 一元二次不等式 分式不等式 指数不等式 对数不等式等 典型例题 1 已知集合 32 xxA 集合 0 1 2 axaxxB 若AB 求a的取 值范围 分析 当1 a时 1 xaxB 当1 a时 1 axxB 所以当1 a时 不会有AB 当1 a时 若AB 则5 a 2 解不等式 x x 2 8 3 3 1 2 apple 分 析 原 不 等 式 x x 2 8 3 3 1 2 apple 等 价 于xx28 2 即0 2 4 xx 解 得 42 x 11 五 数列 微积分 数学归纳法 内容综述 1 数列的概念 数列 通项 前n项的和 各项的和 数列与数集的区别 21n aaa n a n k knn aaaaS 1 21 2 等差数列 1 概念 定义 通项 前n项的和 2 简单性质 中项公式 平均值 2 1 2 1 2 1 1 1 21 111 n n nknkn nnnnn aa n aaa aaa dnnnaSdnaadaaa 3 等比数列 1 概念 定义 通项 前n项的和 2 简单性质 中项公式 2 1 1 1 1 1 1 0 nknkn n n n n n n nn aaa q q aSqaaq a a aa 4 数学归纳法 证明 1 2 1 1 nnk n k 典型例题 1 三个不相同的非 0 实数 a b c成等差数列 又bca 恰成等比数列 则 a b 等于 05 A 4B 2C 4D 2 分析 根据条件可知abccab 2 2 从而 2 b c b a b c b c b c b a 2 2 由于 1 b c 所以2 b c 4 b a 即正确选项为 A 2 设 n 为正整数 在 1 与 n 1 之间插入 n 个正数 使这 n 2 个数成等比数列 则所插入的 n 个正数之积等于 06 A 2 1 n n B n n 1 C n n 2 1 D n n 3 1 答 A 分析 本题是代数题 考查了乘方运算的性质 等比数列的概念和通项公式 12 设此等比数列的公比为q 则1 1 nqn 即 1 1 1 nnq 所以 2 1 2 1 32 1 n nn n nqqqqq 3 已知数列 n a是等差数列 且12 2 3211 aaaa 求数列 n a的通项 分析 设数列 n a的公差为d 则 33 12321 daaaaa 由于 12 2 3211 aaaa 所以2 d 故数列 n a的通项为ndnaan2 1 1 4 设 n a是一等差数列 且64 111032 aaaa 求 76 aa 和 12 S 分析 由于 76 aa 112103 aaaa 所以 76 aa 32 2 111032 aaaa 192 6 7612112112 aaaaaaS 5 记数列 21000 lg 2 n 的前n项和为 n S 问n为何值时 n S最大 分析 由于数列 21000 lg 2 n 从某一项后 所有的项都会小于零 因此只要找到小于零 的第一项便可 既要找到使得121000 2 n 的第一个n的值 因为10242100025122 2 20 2 19 所以当19 n时 n S最大 6 设 n a是一等比数列 且48 12 53 aa 求 101 a a和 62a a 分析 设数列 n a的公比为q 则4 2 3 5 q a a 所以 3 4 12 2 3 1 q a a 153623 99 110 qaa或1536 2 3 99 110 qaa 5764812 5362 aaaa 13 六 排列 组合 二项式定理 内容综述 1 加法原理与乘法原理 2 排列与排列数 1 定义 2 公式 1 2 1 mnnnnP m n 注 阶乘 全排列 mP m m 3 组合与组合数 1 定义 2 公式 m m m n m n m m m n m n P P CPCP 3 基本性质 n n k k n m n m n m n mn n m n CCCCCC2 0 1 1 4 二项式定理 n k knkk n n baCba 0 注 常见问题 典型问题 1 5 个男生和 2 个女生拍成一排照相 1 共有多少种排法 7 7 P 2 男生甲必须站在一端 且两女生必须相邻 有多少种排法 2 2 5 5 2 2 PPP 3 男生甲必须站在中间 且两女生必须相邻 有多少种排法 4 4 5 5 2 2 PPP 例 7 1 4 2 100 件产品中 只有 3 件次品 从中任取 3 件 1 恰有一件次品的取法有多少种 2 97 1 3C C 2 至少有一件次品的取法有多少种 3 97 3 100 CC 3 至多有两件次品的取法有多少种 3 3 3 100 CC 例 7 1 5 3 某篮球队共 10 人 其中 7 人善打锋位 4 人善打卫位 现按队员特点派 5 人出场 左 14 中 右锋和左 右卫 共有多少种派法 3 6 2 2 1 3 3 7 2 3 PPCPP 4 求 9 21 x 展开式中所有无理项系数之和 例 7 2 3 9 9 97 9 75 9 53 9 31 9 22222CCCCCS 七 古典概率问题 内容综述 1 基本概念 样本空间 样本点 随机事件 基本事件 必然事件 不可能事件 和事件 积事件 互不相容事件 对立事件 2 概率的概念与性质 1 定义 非负性 规范性 可加性 2 性质 1 0 AP 0 P BAPBPAPBAP 3 几种特殊事件发生的概率 1 等可能事件 古典概型 n m AP 2 互不相容事件 BPAPBAP 对立事件1 BPAP 3 相互独立事件 BPAPBAP 4 独立重复试验 如果在一次试验中某事件发生的概率为p 那么在n此独立重复试验中这个事件恰好 发生k次的概率为 knkk nn ppCkP 1 典型问题 1 设A B C表示三个随机事件 试将下列事件用A B C表示出来 1 三个事件中至少有一个出现 CBA 2 不多于一个事件出现 CBACBACBACBA 3 不多于两个事件出现 ABC 4 A B至少有一个出现 C不出现 CBA 15 2 在 100 件产品中 只有 5 件次品 从中任取两件 1 两件都是合格品的概率是多少 2 100 2 95 C C 2 两件都是次品的概率是多少 2 100 2 5 C C 3 一件是合格品 一件是次品的概率是多少 2 100 1 95 1 5 C CC 例 7 3 2 3 一批产品的次品率为1 0 每件检测后放回 在连续三件检测中至少有一件是次品的概 率为 03 A 271 0 B 729 0 C 001 0 D 081 0 4 将 5 个相同的球放入位于一排的 8 个格子中 每格至多放一个球 则 3 个空格相连的概 率是 04 A 56 3 B 56 5 C 28 3 D 28 5 分析 将 5 个相同的球放入位于一排的 8 个格子中 共有 5 8 C种放法 3 个空格相连的放法 有 6 种 所求概率为 28 36 5 8 C 5 任取一个正整数 其平方数的末位数字是 4 的概率等于 05 A 0 1B 0 2C 0 3D 0 4 分析 当所取正整数的个位数是 2 或 8 时 其平方数的末位数字就是 4 所有正整数的个位 数只有 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 等十种可能 所以要求的概率是2 0 10 2 即正确 选项为 B 6 桌上有中文书 6 本 英文书 6 本 俄文书 3 本 从中任取 3 本 其中恰有中文书 英文 书 俄文书各 1 本的概率是 A 91 4 B 108 1 C 455 108 D 455 414 答 C 分析 本题是概率题 考查了等可能事件的概率公式和简单的组合数公式 所求概率为 455 108 123 131415 663 3 15 1 6 1 6 1 3 C CCC p 7 办公室有 40 支笔 其中 30 支是黑笔 10 支是红笔 从中任取 4 支 其中至少有一支是 16 红笔的概率是多少 4 40 4 30 1 C C 例 7 3 4 8 甲 乙两人各投篮一次 如果两人投中的概率分别是6 0和5 0 1 两人都投中的概率是多少 5 06 0 2 恰有一人投中的概率是多少 5 04 05 06 0 3 至少有一人投中的概率是多少 5 04 01 例 7 3 5 9 某班共有 30 名学生 求至少有两名学生同一天生日的概率 假设一年有 365 天 30 365 336364365 1 10 将 10 个球等可能地放到 15 个盒子中去 求下列事件的概率 1 某指定的 10 个盒子中各有 1 个球 10 15 10 2 正好有 10 个盒子中各有 1 个球 10 10 15 15 10 C 模拟练习 1 已知集合 2 1 1 2 AxxyyBA 则BA 是 C A 4 2 1 B 4 1 C 1 D 空集 2 设 2 2 RxyyQRxxyyP x 则 B A PQ B PQ C 4 2 PQ D 4 2 PQ 3 函数 x x y 2 1 log2 的定义域是 B A 2 1 B 2 1 C 2 D 2 4 若ba 是任意实数 且ba 则 B A 22 ba B ba apple apple 2 1 2 1 C 0 lg ba D 1 a b 5 已知 xf是奇函数 定义域为 0 xRxx 又 xf在区间 0 上是增函数 17 且0 1 f 则满足0 xf的x的取值范围是 C A 1 B 1 0 C 1 0 1 D 1 1 6 已知函数12 x xf的反函数为 1 xf 则0 1 xf的解集是 B A 2 B 2 1 C 2 D 1 7 已知复数iz 1 复数23 zz 那么 的三角形式为 D A 4 sin 4 cos22 i B 4 3 sin 4 3 cos22 i C 4 5 sin 4 5 cos22 i D 4 7 sin 4 7 cos22 i 8 已知复数 2 1 xRyxyixz满足xz 1 那么复数z在复平面上对应点 yx的轨迹是 D A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 9 设复数iziz 3 1 21 则 2 1 z z z 在复平面内对应的点位于第 4 象限 10 从 7 人中选派 5 人到 10 个不同交通岗的 5 个中参加交通协管工作 不同的选派方法有 D A 5 5 5 10 5 7 PPC种 B 5 5 5 10 5 7 PCP种 C 5 7 5 10C C种 D 5 10 5 7P C种 11 某科技小组有 6 名同学 现从中选出 3 人去参观展览 至少有一名女生入选时的不同选 法有 16 种 则小组中的女生人数为 A A 2 B 3 C 4 D 5 12 学校要选派 4 名爱好摄影的同学中的 3 名分别参加校外摄影小组的 3 期培训 每期只派 1 名 甲 乙两位同学都不能参加第 1 期培训 不同的选派方式共有 D A 6种 B 8 种 C 10 种 D 12 种 13 设34 1 6 1 4 1 234 xxxxS 则S等于 A A 4 x B 1 4 x C 2 2 x D 4 4 x 18 14 若 n xx 的展开式中第三项的系数为 36 则正整数n的值是9 15 设 n x 21 的展开式中 奇数项的二项式系数之和为 n a 数列 n a的前n项和记为 n S 则 n S n a n lim B A 0 B 2 1 C 1 D 2 16 等比数列 n a的公比为q 则 1 0 1 qa 是 对于任意正整数n 都有 nn aa 1 的 A A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要条件 17 在等差数列 n a中 若前 9 项的和是 90 则 5 a的值是10 18 在各项都是正数的等比数列 n a中 公比1 q 并且 532 aaa成等差数列 则公比q 的值为 2 15 19 某企业 2002 年 12 月份的产值是这一年 1 月分产值的p倍 则该企业 2002 年年度产值 的月平均增长率为 D A 1 p p B 11 1 p C 11p D 1 11 p 20 实数ba 满足0 ba 集合 0 baA AvuuvxxB 则集合B的子 集共有 A 2 个 B 4 个 C 8 个 D 16 个 答 D 21 在实数范围内对整式1 5 xxf分解因式 最终结果 xf分解为 A 1 个 1 次因式和 1 个 4 次因式的乘积 B 1 个 1 次因式和 2 个 2 次因式的乘积 C 2 个 1 次因式和 1 个 3 次因式的