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所谓放缩法,就是比如要证明不等式AB成立,有时可以将它的一边放大或缩小,寻找一个中间量,如将A放大成C,即AC,后证CB,由此得出AB,这种证法便称为放缩法。小暖,其实放缩法属于一项比较高级的技巧,以前参加数学竞赛的时候经常用到,最近不是说的是高考竞赛题目类型互相靠拢,题目难度保持档次嘛,所以高考也会考这种题,总之只要考就要掌握嘛,而且有时候在解不等式时会非常简单,嗯,帮小暖总结下方法吧,放缩法小暖有时间的话可以仔细研究下,时间紧就光看看前面3种方法。 放缩法的常见技巧有: (1)舍掉(或加进)一些项。例1设,则与的大小关系是()A.B.C.D.解析:,即.例2设为不相等的两正数,且,求证:.证明:由题设得,于是.又,又,而,即,故.给小暖的点评:此类试题通过对分式中的分子或分母、不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的.比较简单也取巧,算是放缩法里常用的技巧。 (2)在分式中放大或缩小分子或分母。比如利用以下这些形式,小暖可以记一下,都是哥哥能想到的常用分子放缩的方法,例题木有找到- -, (3)应用基本不等式放缩。例3已知,是正实数,且,则的最小值为解析:例4若正数满足,则的取值范围是解析:令,解得给小暖的点评:应用基本不等式进行放缩,有时要利用他的拓展形式 (4)应用函数的单调性进行放缩。例5已知是的三边,求证:.证明:.在上是增函数,且,.给小暖的点评:根据此类试题特征,构造特殊的函数,利用其单调性进行放缩求解(5)利用数列单调性进行放缩例已知数列的通项公式,数列满足,记为数列的前项和,求证:解析:由,则,所以而令,则,单调递减,即得证故给小暖的点评:合理构造数列求其最值,也可通过添加放缩来证明(6)利用三角函数的有界性进行放缩例已知则的最大值为解析:构造向量由向量的数量积可知故,即的最大值为给小暖的点评:利用三角函数的有界性进行放缩以达到求最值的目的(7)利用裂项法求和放缩例证明:证明:当时,即得证.给小暖的点评:若欲证含有与自然数n有关的n项和的不等式,可采用裂项求和方法,达到化繁为简的目的如、等.(8)利用含绝对值的不等式进行放缩例已知关于的不等式有解,则的取值范围是解:不等式有解等价于,而,.给小暖的点评:本题使用了含绝对值的不等式来进行放缩.(9)利用二项式定理进行放缩例1已知数列满足,是的前项的和,并且.(1)求数列的通项前项的和; (2)证明:解:(1)解答略(2),而,给小暖的点评:利用二项式定理,紧密结合展开式的特点,联系需证不等式的结构,通过化简、变形、放缩等手段使问题得以解决 放缩法的理论依据主要有: (1)不等式的传递性; (2)等量加不等量为不等量; (3)同分子(母)异分母(子)的两个分式大小的比较。 放缩法是贯穿证明不等式始终的指导变形方向的一种思考方法 。 放缩法的注意事项(1)放缩的方向要一致。(2)放与缩要适度。(3)很多时候只对数列的一部分进行放缩法,保留一些项不变(多为前几项
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