卓越联盟自主招生数学模拟试题及参考答案(1).doc

清北学长精心打造卓越自主招生数学模拟试题及参考答案(一)一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。1已知ABC的三边a，b，c成等比数列，a，b，c所对的角依次为A，B，C.则sinB+cosB的取值范围是（）A(1，1+B，1+ C（1，D， 2.一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是( )A 1/2 B 2/5 C 3/5 D 4/73正四棱锥中，侧棱与底面所成的角为，侧面与底面所成的角为，侧面等腰三角形的底角为，相邻两侧面所成的二面角为，则、的大小关系（ ）（A）（B）（C）（D）4. 已知f(x)|x1|x2|x2007|x1|x2|x2007|（xR），且f(a23a2)f(a1)则a的值有（ ）. （A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）无数个5.平面上满足约束条件的点（x，y）形成的区域为D，区域D关于直线y=2x对称的区域为E，则区域D和区域E中距离最近的两面三刀点的距离为（）ABCD 6. 若m、nx|xa2102a110a0，其中ai1，2，3，4，5，6，7，i0，1，2，并且mn636，则实数对(m，n)表示平面上不同点的个数为（ ）（A）60个 （B）70个 （C）90个 （D）120个1234567897数列定义如下：.若，则正整数的最小值为( ).A 4025 B 4250 C 3650 D 44258. 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为 的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有( )A 96 B 108 C 112 D1209设an=2n，bn=n，（n=1，2，3，。），An、Bn分别为数列an、bn的前n项和。记cn=anBn+bnAnanbn，则数列cn的前10项和为（）A210+53B.2 11 +53 C.110（2 91）D.110（2 101）10如图，以、为顶点作正，再以和的中点为顶点作正，再以和的中点为顶点作正，如此继续下去则下面选项中错误的是 ( )A所作的正三角形的边长构成公比为的等比数列；B每一个正三角形都有一个顶点在直线（）上；C第六个正三角形的不在第五个正三角形边上的顶点的坐标是；D第个正三角形的不在第个正三角形边上的顶点的横坐标是2、 解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11.（本小题满分14分）已知双曲线：（，）的离心率为2，过点（）斜率为1的直线交双曲线于、两点，且，（1）求双曲线方程；（2）设为双曲线右支上动点，为双曲线的右焦点，在轴负半轴上是否存在定点使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由12.（本小题满分14分）已知函数（I）求（II）已知数列满足,求数列的通项公式;() 求证:.13.（本小题满分14分）设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.（I） 当a=0时，f(x)h(x)在（1,+）上恒成立，求实数m的取值范围;（II） 当m=2时，若函数k(x)=f(x)-h(x)在1,3上恰有两个不同零点，求实数 a的取值范围;（III） 是否存在实数m，使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由。14.（本小题满分14分）在ABC中，设A、B、C的对边分别为a、b、c向量（1）求角A的大小；（2）若的面积.15（本小题满分14分）已知m，n为正整数.（）用数学归纳法证明：当x-1时，(1+x)m1+mx；（）对于n6，已知，求证，m=1,1,2，n；（）求出满足等式3n+4m+(n+2)m=(n+3)n的所有正整数n.参考答案1C 2.B3.A4.解：由题设知f(x)为偶函数，则考虑在1x1时，恒有f(x)2(122007)20082007 所以当1a23a21，且1a11时，恒有f(a23a2)f(a1)由于不等式1a23a21的解集为a，不等式1a11的解集为0a2因此当a2时，恒有f(a23a2)f(a1). 故选（D）5（B）6.解：由6514233及题设知，个位数字的选择有5种. 因为3217610，故（1） 由321知，首位数字的可能选择有2510种；（2） 由37610及54123知，首位数字的可能选择有248种. 于是，符合题设的不同点的个数为5(108)90种. 故选（C）7. A 8.B解：首先看图形中的1，5，9，有3种可能， 当1，5，9，为其中一种颜色时，2，6共有4种可能，其中2种2，6是涂相同颜色，各有2种可能共6种可能4，8及7，与2，6及3，一样有6种可能并且与2，6，3，颜色无关当1，5，9换其他的颜色时也是相同的情况，符合条件的所有涂法共有366=108种，9（D） 10.C解：由题意可得，每一个正三角形的边长都是上个三角形的边长的1/2 ，故正确；根据图形的规律可知每一个正三角形都有一个顶点在直线AP2x=1上，故正确；第六个正三角形的边长为1/64 ，故顶点P6的横坐标为63/64 ，P5的纵坐标为 /2-/8-/16 =5/16 从而顶点P6的纵坐标为5/16 +/64 =21/64 ，故C错误；第n个正三角形的不在第n-1个正三角形边上的顶点Pn的横坐标是xn，xn= ，则，故D正确11.（1）由双曲线离心率为2知，双曲线方程化为又直线方程为由，得 设，则，因为 ，所以 ，结合，解得，代入，得，化简得又且所以此时，代入，整理得，显然该方程有两个不同的实根符合要求故双曲线的方程为 （2）假设点存在，设由（1）知，双曲线右焦点为设（）为双曲线右支上一点当时，因为，所以 将代入，并整理得，于是 ，解得当时，而时，符合所以符合要求满足条件的点存在，其坐标为 12.解:()因为所以设S=（1）S=.(2)(1)+(2)得:=,所以S=3012()由两边同减去1,得所以,所以,是以2为公差以为首项的等差数列,所以因为所以所以13 解：（1）由a=0,f(x)h(x)可得-mlnx-x即记，则f(x)h(x)在(1,+)上恒成立等价于.求得 当时;当时，故在x=e处取得极小值，也是最小值，即，故.（2）函数k(x)=f(x)-h(x)在1,3上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，在1,3上恰有两个相异实根。令g(x)=x-2lnx,则当时，,当时，g(x)在1,2上是单调递减函数，在上是单调递增函数。故 又g(1)=1,g(3)=3-2ln3g(1)g(3),只需g(2)0，解得x或x-1，且x0时，m2,(1+x)m1+mx. (i)当m=2时，左边1+2x+x2,右边1+2x，因为x0,所以x20，即左边右边，不等式成立；（ii）假设当m=k(k2)时，不等式成立，即（1+x）k1+kx,则当m=k+1时，因为x-1,所以1+x0.又因为x0,k2,所以kx20.于是在不等式（1+x）k1+kx两边同乘以1+x得（1+x）k(1+x)(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x,所以（1+x）k+11+(k+1)x,即当mk+1时，不等式也成立.综上所述，所证不等式成立.()证：当而由（）， （）解：假设存在正整数成立，即有（）+1.又由（）可得（）+与式矛盾，故当n6时，不存在满足该等式的正整数n.故只需要讨论n=1,2,3,4