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第九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛初一组一试试题及解答1 下面的等式成立:,求的值解:由已知:,。 又,所以 。因此,或2滚柱轴承(如图),外圈大圆是外轴瓦,内圈小圆是内轴瓦,中间是滚柱。内轴瓦固定,转动时没有相对滑动。若外轴瓦的直径是内轴瓦的直径的1.5倍,当外轴瓦转动一周时,滚柱自转了几周?解。滚柱的半径=,其中R是外轴瓦的半径,r是内轴瓦的半径。外轴瓦转动一周,它上面的每一个点的运动路程为,由于没有滑动,滚柱上的每一个点相对于小球求心的运动路程也是,滚柱自转一周,它上面的点的路程是,所以,滚柱自转了 (周)。3已知满足:其中记号:对于数,表示不大于a的最大整数,。求的值。解:首先注意到,(1)(2)(3)得到 即 (4)(4)(1)得到 从而 。(4)(2)得到 从而 ,(4)(3)得到 因此, 故 ,。4。同小学组一试第5题。5n个数从第二个开始,每一个都比它前面相邻的一个大3: 4, 7, 10, , 1+3n。它们相乘的积的末尾恰有32个0。求n的最小值和最大值。 解。数列中各项含有因子2的个数比因子5的个数多。连乘后尾数有32个0,所以,各项中含有因子5应有32个。 通过观察可知,在所给的一列数中,任意相继5项中恰有一项是5的倍数;任意相继25项中恰有一项是25的倍数;任意相继125项中恰有一项是125的倍数。考虑前125项的乘积。,所以,前125项中有25项是5的倍数,有5项是25的倍数,有1项是125的倍数。所以,前125项的乘积的末尾有个0。用表示级数的第k项,那么,所以,前127项的乘积末尾有31个0,而前128项的乘积末尾有32个0。即n的最小值是128即n的最大值是132。答。,n的最小值是128,最大值是132。6从A站到B站300千米,每30千米设一路标(如图), 从早7:00货车开始发车,每隔5分钟从A站发出一辆开往B站,车速为每小时60千米;早8:30由A站发出一辆小轿车驶向B站,车速为每小时100千米。已小轿车在某两相邻路标之间(不包括路标处)追过三辆货车,问:此时小轿车已经追过多少辆货车(与小轿车同时出发的第18辆货车不计算在内)?解。设在路标k和路标k+1(k11)之间客车追上第列三列货车。早7:00为0时刻(以分钟为单位),货车行驶30千米用30分钟,客车行驶30千米用18分钟。客车到达路标k的时刻是90+18(k-1),到达路标k+1的时刻为90+18k.客车到达路标k时,第列货车已经驶过路标k,因此,当客车到达路标k+1时,第列货车还没有到达第k+1路标,所以,由(1)和(2) 由于,k,l 都是整数,所以,因此, 经验算,的值为14,k=3.答。在第
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