高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.11.2 利用导数研究函数的极值、最值课件 理.ppt

第二课时利用导数研究函数的极值 最值 知识梳理 1 函数的极值与导数的关系 1 函数的极小值与极小值点 若函数f x 在点x a处的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值 f a 0 而且在点x a附近的左侧 右侧 则点a叫做函数的极小值点 f a 叫做函数的极小值 都小 f x 0 f x 0 2 函数的极大值与极大值点 若函数f x 在点x b处的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值 f b 0 而且在点x b附近的左侧 右侧 则点b叫做函数的极大值点 f b 叫做函数的极大值 都大 f x 0 f x 0 2 函数的最值与导数的关系 1 函数f x 在 a b 上有最值的条件 如果在区间 a b 上函数y f x 的图象是一条 的曲线 那么它必有最大值和最小值 连续不断 2 求y f x 在 a b 上的最大 小 值的步骤 求函数y f x 在 a b 内的 将函数y f x 的各极值与 比较 其中 的一个是最大值 的一个是最小值 端点处的函数值f a f b 最大 最小 极值 特别提醒 1 f x0 0与x0是f x 极值点的关系f x0 0是x0为f x 的极值点的既不充分也不必要条件 例如 f x x3 f 0 0 但x 0不是极值点 又如f x x x 0是它的极小值点 但f 0 不存在 2 极值与最值的关系极值只能在定义域内取得 不包括端点 最值却可以在端点处取得 有极值的不一定有最值 有最值的也未必有极值 极值有可能成为最值 非常数可导函数最值只要不在端点处取 则必定在极值处取 小题快练 链接教材练一练1 选修2 2p29t1改编 函数f x 的定义域为开区间 a b 导函数f x 在 a b 内的图象如图所示 则函数f x 在开区间 a b 内有极小值点 a 1个b 2个c 3个d 4个 解析 选a 导函数f x 的图象与x轴的交点中 左侧图象在x轴下方 右侧图象在x轴上方的只有一个 所以f x 在区间 a b 内有一个极小值点 2 选修2 2p30例5改编 函数y x 2cosx在区间上的最大值是 解析 y 1 2sinx 令y 0 又因为x 解得则当x 时 y 0 当x 时 y 0 故函数y x 2cosx在时取最大值答案 感悟考题试一试3 2016 保定模拟 设函数f x xex 则 a x 1为f x 的极大值点b x 1为f x 的极小值点c x 1为f x 的极大值点d x 1为f x 的极小值点 解析 选d 因为f x xex 所以f x ex xex ex 1 x 当f x 0时 ex 1 x 0 即x 1 所以x 1时函数y f x 为增函数 同理可求 x 1时函数f x 为减函数 所以x 1时 函数f x 取得极小值 4 2016 泉州模拟 函数f x 的最大值为 解析 f x 由f x 0 得x e 因为x 0 当x 0 e 时 f x 0 当x e 时 f x 0 所以f x 的极大值为f e 即f x max 答案 5 2016 衡阳模拟 函数f x 在区间上的最小值是 解析 f x excosx 当x 时 f x 0 f x 在上是增函数 所以f x min f 0 答案 考向一运用导数解决函数的极值问题 考情快递 考题例析 命题方向1 已知函数求极值 典例1 2015 安徽高考 已知函数f x a 0 r 0 1 求f x 的定义域 并讨论f x 的单调性 2 若 400 求f x 在 0 内的极值 解题导引 1 令分母不等于0即可得函数的定义域 并结合导数讨论函数的单调性 2 利用 1 中的结论 找出极值点从而求出极值 规范解答 1 由题意知x r 所以定义域为 r r f x f x 所以当xr时 f x 0 因此 f x 的单调递减区间是 r r f x 的单调递增区间是 r r 2 由 1 可知f x 在 0 r 上单调递增 在 r 上单调递减 因此 x r是f x 的极大值点 所以f x 在 0 内的极大值为f r 命题方向2 已知函数的极值求参数的值或范围 典例2 2016 太原模拟 f x 有两个极值点x1 x2且x1求a的取值范围 解题导引 1 利用f x 0有两个不等实根求解 2 将x1 x2用a表示 把f x1 f x2 转化为关于a的不等式求解 规范解答 1 f x 2x2 2ax a 由题意知f x 有两个不同零点 4a2 8a 0 即a 2或a2或a 0 f x1 f x2 x1 x2 x1 x2 2 3x1x2 a x1 x2 2 2x1x2 a x1 x2 2 令g a 则g a 0 g a a2 2a a a 2 当a 2时 g a 0 g a 为增函数 g a g 2 0 符合题意 当a0 g a 为增函数 又g 1 0 由g a 0 g 1 此时 1 a 0 综上 a的取值范围是 1 0 2 技法感悟 1 利用导数研究函数极值问题的一般流程 2 已知函数极值点或极值求参数的两个要领 1 列式 根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组 利用待定系数法求解 2 验证 因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件 所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 易错提醒 若函数y f x 在区间 a b 内有极值 那么y f x 在 a b 内绝不是单调函数 即在某区间上单调函数没有极值 题组通关 1 2016 广州模拟 设函数f x 在r上可导 其导函数为f x 且函数y 1 x f x 的图象如图所示 则下列结论中一定成立的是 a 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 1 b 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 1 c 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 2 d 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 2 解析 选d 由题干图可知 当x3 此时f x 0 当 22时 1 x0 由此可以得到函数f x 在x 2处取得极大值 在x 2处取得极小值 2 2016 合肥模拟 若函数f x 在区间上有极值点 则实数a的取值范围是 解析 选d 因为f x 所以f x x2 ax 1 由题意可得x2 ax 1 0有两个解 则 a2 4 0 故a 2或a 2 函数f x 在区间上有极值点可化为x2 ax 1 0在区间上有解 1 当20 即16 4a 1 0 故故 2 当a 8时 无解 综上所述 3 2016 郑州模拟 已知函数f x x3 ax2 bx a2 7a在x 1处取得极大值10 则的值为 a b 2c 2或d 2或 解析 选a 由题意知 f x 3x2 2ax b f 1 0 f 1 10 即解得经检验满足题意 故 4 2016 包头模拟 设a 0 函数f x x2 a 1 x a 1 lnx 1 求曲线y f x 在 2 f 2 处与直线y x 1垂直的切线方程 2 求函数f x 的极值 解析 1 由已知 得x 0 f x x a 1 又因为y f x 在 2 f 2 处切线的斜率为1 所以f 2 1 即所以a 0 此时f 2 2 2 0 故所求的切线方程为y x 2 2 f x 当00 函数f x 单调递增 若x a 1 则f x 0 函数f x 单调递增 此时x a是f x 的极大值点 x 1是f x 的极小值点 函数f x 的极大值是f a 极小值是f 1 当a 1时 f x 所以函数f x 在定义域 0 内单调递增 此时f x 没有极值点 故无极值 当a 1时 若x 0 1 则f x 0 函数f x 单调递增 若x 1 a 则f x 0 函数f x 单调递减 若x a 则f x 0 函数f x 单调递增 此时x 1是f x 的极大值点 x a是f x 的极小值点 函数f x 的极大值是f 1 极小值是f a 综上 当0 a 1时 f x 的极大值是极小值是 当a 1时 f x 没有极值 当a 1时 f x 的极大值是极小值是 考向二运用导数解决函数的最值问题 典例3 1 2016 成都模拟 已知a b为正实数 函数f x ax3 bx 2x在 0 1 上的最大值为4 则函数f x 在 1 0 上的最小值为 2 2016 洛阳模拟 已知函数f x 求函数f x 在上的最大值和最小值 解题导引 1 先对函数f x 求导 利用函数在 0 1 上的最大值为4确定a b之间的关系 然后利用f x 在 1 0 上的单调性及a b之间的关系确定最小值 2 先对函数f x 求导 然后分k 0 k0进行分类讨论确定函数的最值 规范解答 1 选a 因为函数f x ax3 bx 2x 所以f x 3ax2 b 2xln2 又因为a b为正实数 所以当0 x 1时 3ax2 0 2xln2 0 则f x 0 即f x 在 0 1 上为增函数 所以f 1 最大且为a b 2 4 即a b 2 又当 1 x 0时 3ax2 0 2xln2 0 即f x 在 1 0 上为增函数 所以f 1 最小且为所以函数f x 在 1 0 上的最小值为f 1 2 因为f x f x 若k 0 则f x 在上恒有f x 0 所以f x 在上单调递减 所以f x min f e f x max 若k 0 f x 若k 0 则在上恒有所以f x 在上单调递减 所以f x min f e f x max 若k 0 由得则所以所以f x 在上单调递减 所以f x min f e f x max 综上 时 f x min f x max e k 1 母题变式 1 若典例 2 中的函数变为 f x 则函数f x 在上的最大值如何 解析 由f x 则f x 因为当 x e时 令f x 0得 x 1 令f x 0 得1 x e 所以f x 在上单调递增 在 1 e 上单调递减 所以f x max f 1 2 若把典例 2 中函数改为 f x alnx a r 试求解此函数在区间 0 e 上的最小值 解析 f x x 0 当a 0时 在区间 0 e 上f x 此时f x 在区间 0 e 上单调递减 则f x 在区间 0 e 上的最小值为f e 当即a 0时 在区间 0 e 上f x 0 此时f x 在区间 0 e 上单调递减 则f x 在区间 0 e 上的最小值为f e 当即时 在区间上f x 0 此时f x 在区间上单调递减 在区间上f x 0 此时f x 在区间上单调递增 则f x 在区间 0 e 上的最小值为 当 e 即0 a 时 在区间 0 e 上f x 0 此时f x 在区间 0 e 上单调递减 则f x 在区间 0 e 上的最小值为f e 综上所述 当a 时 f x 在区间 0 e 上的最小值为当时 f x 在区间 0 e 上的最小值为 规律方法 求函数f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤 1 求函数在 a b 内的极值 2 求函数在区间端点的函数值f a f b 3 将函数f x 的极值与f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 变式训练 已知函数f x x2eax 其中a 0 e为自然对数的底数 1 讨论函数f x 的单调性 2 求函数f x 在区间 0 1 上的最大值 解析 1 f x 2xeax x2aeax x ax 2 eax 当a 0时 由f x 0得x 0 由f x 0得x 0 故函数f x 在 0 上单调递增 在 0 上单调递减 当a0得由f x 0得x 0或故函数f x 在上单调递增 在 0 与上单调递减 2 当a 0时 f x 在区间 0 1 上单调递增 其最大值为f 1 1 当 2 a 0时 f x 在区间 0 1 上单调递增 其最大值是f 1 ea 当a 2时 是函数f x 在区间 0 1 上唯一的极大值点 也就是最大值点 此时函数f x 最大值是 综上得当 2 a 0时 f x 在 0 1 上的最大值是ea 当a 2时 f x 在 0 1 上的最大值为 加固训练 1 函数f x x2 2ax a在区间 1 上有最小值 则函数g x 在区间 1 上一定 a 有最小值b 有最大值c 是减函数d 是增函数 解析 选d 由函数f x x2 2ax a在区间 1 上有最小值 可得a的取值范围为a 1 又g x 则g x 易知在x 1 上g x 0 所以g x 为增函数 2 若函数f x a 0 在 1 上的最大值为则a的值为 解析 选d f x 令f x 0 得或 舍去 1 若 1 即0 a 1时 在 1 上f x 0 f x max f 1 解得符合题意 2 若 1 即a 1时 在上f x 0 在上f x 0 所以f x max 解得不符合题意 综上知 3 2016 郑州模拟 已知函数f x x k ex 1 求f x 的单调区间 2 求f x 在区间 0 1 上的最小值 解析 1 由f x x k ex 得f x x k 1 ex 令f x 0 得x k 1 f x 与f x 的变化情况如下 所以 f x 的单调递减区间是 k 1 单调递增区间是 k 1 2 当k 1 0 即k 1时 函数f x 在 0 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 0 k 当0 k 1 1 即1 k 2时 由 1 知f x 在 0 k 1 上单调递减 在 k 1 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f k 1 ek 1 当k 1 1 即k 2时 函数f x 在 0 1 上单调递减 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 1 1 k e 综上可知 当k 1时 f x min k 当1 k 2时 f x min ek 1 当k 2时 f x min 1 k e 4 设函数f x 1 1 a x x2 x3 其中a 0 1 讨论f x 在其定义域上的单调性 2 当x 0 1 时 求f x 取得最大值和最小值时的x的值 解析 1 f x 的定义域为 f x 1 a 2x 3x2 令f x 0 得x1x2时 f x 0 故f x 在 x1 x2 内单调递减 在 x1 x2 内单调递增 其中 2 因为a 0 所以x10 当a 4时 x2 1 由 1 知 f x 在 0 1 上单调递增 所以f x 在x 0和x 1处分别取得最小值和最大值 当0 a 4时 x2 1 由 1 知 f x 在 0 x2 上单调递增 在 x2 1 上单调递减 所以f x 在x x2 处取得最大值 又f 0 1 f 1 a 所以当0 a 1时 f x 在x 1处取得最小值 当a 1时 f x 在x 0处和x 1处同时取得最小值 当1 a 4时 f x 在x 0处取得最小值 考向三函数极值与最值的综合应用 典例4 2016 合肥模拟 已知函数f x 的导函数y f x 的两个零点为 3和0 1 求f x 的单调区间 2 若f x 的极小值为 e3 求f x 在区间 5 上的最大值 解题导引 1 求出函数f x 的导函数 利用导函数的零点为 3和0确定函数f x 的单调区间 2 由 1 知x 3是f x 的极小值点 依据已知条件列出关于a b c的方程组 求出函数f x 的解析式 从而确定f x 在区间 5 上的最大值 规范解答 1 f x 令g x ax2 2a b x b c 因为ex 0 所以y f x 的零点就是g x ax2 2a b x b c的零点 且f x 与g x 符号相同 又因为a 0 所以 30 即f x 0 当x0时 g x 0 即f x 0 所以f x 的单调递增区间是 3 0 单调递减区间是 3 0 2 由 1 知 x 3是f x 的极小值点 所以有解得a 1 b 5 c 5 所以f x 因为f x 的单调递增区间是 3 0 单调递减区间是 3 0 所以f 0 5为函数f x 的极大值 故f x 在区间 5 上的最大值取f 5 和f 0 中的最大者 而f 5 5e5 5 f 0 所以函数f x 在区间 5 上的最大值是5e5 规律方法 解决函数极值 最值问题的策略 1 求极值 最值时 要求步骤规范 含参数时 要讨论参数的大小 2 求函数最值时 不可想当然地认为极值点就是最值点 要通过比较才能下结论 3 函数在给定闭区间上存在极值 一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值 变式训练 已知函数f x x3 ax2 bx c 曲线y f x 在点x 1处的切线为l 3x y 1 0 若x 时 y f x 有极值 1 求a b c的值 2 求y f x 在 3 1 上的最大值和最小值 解析 1 由f x x3 ax2 bx c 得f x 3x2 2ax b 当x 1时 切线l的斜率为3 可得2a b 0 当x 时 y f x 有极值 则可得4a 3b 4 0 由 解得a 2 b 4 由于切点的横坐标为1 所以f 1 4 所以