参数方程的定义,互化.ppt

1 参数方程的概念 1 参数方程的概念 如图 一架救援飞机在A点 离地面500m高处以100m s的速度作水平直线飞行 现在向地面投放救援物资 不记空气阻力 求出该救援物资运动的轨迹方程 1 参数方程的概念 设飞机在点A将物资投出机舱 记物资投出机舱时为时刻0 在时刻t时物资的位置为M x y 则x表示物资的水平位移量 y表示物资距地面的高度 如图 一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m s的速度作水平直线飞行 现在向地面投放救援物资 不记空气阻力 求出该救援物资运动的轨迹方程 在经过飞行航线 直线 且垂直于地平面的平面上建立平面直角坐标系 其中x轴为地平面与这个平面的交线 y轴经过点A 由于水平位移量x与高度y是两种不同的运动得到的 因此直接建立x y所要满足的关系式并不容易 1 参数方程的概念 物资投出机舱后 它的运动由下列两种运动合成 1 沿ox作初速度为100m s的匀速直线运动 如图 一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m s的速度作水平直线飞行 现在向地面投放救援物资 不记空气阻力 求出该救援物资运动的轨迹方程 2 沿oy反方向作自由落体运动 1 参数方程的概念 如图 一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m s的速度作水平直线飞行 现在向地面投放救援物资 不记空气阻力 求出该救援物资运动的轨迹方程 一 方程组有3个变量 其中的x y表示点的坐标 变量t叫做参变量 而且x y分别是t的函数 二 由物理知识可知 物体的位置由时间t唯一决定 从数学角度看 这就是点M的坐标x y由t唯一确定 这样当t在允许值范围内连续变化时 x y的值也随之连续地变化 于是就可以连续地描绘出点的轨迹 三 平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对 x y 之间有一一对应关系 2 并且对于t的每一个允许值 由方程组 2 所确定的点M x y 都在这条曲线上 那么方程 2 就叫做这条曲线的参数方程 联系变数x y的变数t叫做参变数 简称参数 相对于参数方程而言 直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程 关于参数几点说明 参数是联系变数x y的桥梁 1 参数方程的概念 一般地 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标x y都是某个变数t的函数 1 参数方程中参数可以有物理意义 几何意义 也可以没有明显意义 2 同一曲线选取参数不同 曲线参数方程形式也不一样 3 在实际问题中要确定参数的取值范围 例1 已知曲线C的参数方程是 1 判断点M1 0 1 M2 5 4 与曲线C的位置关系 2 已知点M3 6 a 在曲线C上 求a的值 解 1 把点M1 0 1 代入方程组 解得 t 0 因此M1在曲线C上 把点M2 5 4 代入方程组 方程组无解 因此M2不在曲线C上 2 因为M3 6 a 在曲线C上 解得 t 2 a 9 a 9 例1 已知曲线C的参数方程是 1 判断点M1 0 1 M2 5 4 与曲线C的位置关系 2 已知点M3 6 a 在曲线C上 求a的值 解 1 把点M1 0 1 代入方程组 解得 t 0 因此M1在曲线C上 把点M2 5 4 代入方程组 方程组无解 因此M2不在曲线C上 2 因为M3 6 a 在曲线C上 解得 t 2 a 9 a 9 2 方程所表示的曲线上一点的坐标是 A 2 7 B C D 1 0 1 曲线与x轴的交点坐标是 A 1 4 B C D B D 训练1 2 方程所表示的曲线上一点的坐标是 A 2 7 B C D 1 0 1 曲线与x轴的交点坐标是 A 1 4 B C D B D 训练1 3 参数方程和普通方程的互化 1 1 类型一 参数方程化为普通方程 代入消元法 类型一 参数方程化为普通方程 三角变换消元法 将下列参数方程化为普通方程 步骤 1 消掉参数 代入消元 三角变形 配方消元 常用结论 2 写出定义域 x的范围 参数方程化为普通方程的步骤 在参数方程与普通方程的互化中 必须使x y前后的取值范围保持一致 注意 x y范围与y x2中x y的范围相同 代入y x2后满足该方程 从而D是曲线y x2的一种参数方程 2 曲线y x2的一种参数方程是 注意 在参数方程与普通方程的互化中 必须使x y的取值范围保持一致 否则 互化就是不等价的 在y x2中 x R y 0 分析 发生了变化 因而与y x2不等价 在A B C中 x y的范围都 而在 中 且以 练习 参数方程 表示 A 双曲线的一支 这支过点 1 B 抛物线的一部分 这部分过 1 C 双曲线的一支 这支过点 1 D 抛物线的一部分 这部分过 1 B 分析 一般思路是 化参数方程为普通方程 求出范围 判断 解 x2 1 sin 2y 普通方程是x2 2y 为抛物线 又0 2 故应选 B 说明 这里切不可轻易去绝对值讨论 平方法是最好的方法 2 参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程 如 参数方程 消去参数 可得圆的普通方程 x a 2 y b 2 r2 可得普通方程 y 2x 4 通过代入消元法消去参数t x 0 注意 在参数方程与普通方程的互化中 必须使x y的取值范围保持一致 否则 互化就是不等价的 类型二 普通方程化为参数方程 注 本题两个参数方程和起来才是椭圆的参数方程 1 如果没有明确x y与参数的关系 则参数方程是有限个还是无限个 2 为什么 1 的正负取一个 而 2 却要取两个 如何区分 两个解的范围一样只取一个 不一样时 两个都要取 无限个 思考并讨论 将下列参数方程化为普通方程 1 2 1 x 2 2 y2 9