二项式定理考题大盘点.doc

二项式定理考题大盘点公式称为二项式定理.其中从左到右使用为展开,从右到左的使用为逆用，可以化简求和及证明.二项式定理有关知识是高考中的必考内容,在新课标考试说明中明确规定为B级(理解)要求,尤其是二项展开式的通项是二项式定理的核心.二项式定理是一个恒等式，对待恒等式通常有两种思路：一是利用恒等式定理（两个多项式恒等，则对应项的系数分别相等）；二是赋值.在应用二项式定理时解题时要注意：各项的次数都等于二项式的幂指数；和位置不能随便交换；展开式中共有项；某一项的系数与二项式系数的差别；和的取值范围及它们之间的大小关系.本文通过对二项式考题的分类解析，以期对同学们的学习有所帮助.一、求展开式中指定项的系数例1 已知二项式.（1）求展开式中第4项的二项式系数；（2）求展开式中第4项的系数.解：的展开式的通项是（1）展开式的第4项的二项式系数为；（2）展开式的第4项的系数为.点评：要注意二项式系数与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负.二、求二项展开式中的指定项例2 已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中的常数项是（ ） A. B. C. D.45解：第三项的系数为，第五项的系数为.由第三项与第五项的系数之比为，可得.令第项为常数项，则.令，解得.故所求的常数项为，所以选D.点评：运用二项展开式的通项公式求特定项，特定项系数、常数项、有理项等，通常是先根据已知条件，再求，有时还需先求，再求，才能求出.三、求多项式展开式中的特定项例3 求展开式中的常数项.解：=.所以求展开式中的常数项等价于求的展开式中的项.所求的常数项为.点评：对于不是二项式定理的形式，可以通过变形成为二项式问题加以解决；或者采用类比，与课本中推导二项式定理的方法相同，通过组合知识解决，但要分类清楚，不重不漏.四、求展开式中某些项的系数和例4 求的展开式中（1）各项系数之和；（2）各项的二项式系数之和；（3）偶数项的二项式系数之和；（4）各项系数的绝对值之和；（5）奇次项系数之和解：（1）令，令得各项系数之和；（2）各项的二项式系数之和为；（3）偶数项的二项式系数之和为；（4）令，则；（5）奇次项系数之和.点评：求二项展开式系数和或部分系数和时，通常利用赋值法.若要求奇数项的系数之和，或偶数项的系数之和，可分别令，两等式相加或相减即可求出结果；求二项式所有项的系数和，通常令字母变量的值为.五、求二项式中的参数值例5 已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等，则= . 解：由的通项公式得：.令，解得，故.又由的通项公式得，令，解得，故，由题意得，解得.点评：求二项式的有关参数的值，需要根据题目的已知条件建立方程进行求解，但要注意参数的多解情况.六、利用二项式定理证明恒等式例6 求证：.证明：构造等式：，则是二项式中的系数，于是考虑中的系数.不妨设，取自第一个因式，其系数为；取自第二个因式，其系数为.又，所以中的系数为=，.点评：本题证明的过程中采用了“构造法”，构造了等式，然后运用二项式定理知识有关知识解决.证明恒等式常用赋值和构造法来处理.构造法主要是构造一个生成相应二项式系数的函数，通过研究函数关系证明组合恒等式；或构造同一问题的不同解法，通过变更问题使问题获得解决.七、利用二项式定理证明整除问题例7 求证：能被31整除.证明：，显然，为整数，能被31整除.点评:利用二项式定理解决整除性问题时,关键是要巧妙地构造二项式,其基本思路是:要证明一个式子能被另一个式子整除,只要证明这个式子能被另一个式子整除,只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项能被另一个式子整除即可.因此,一般要将被除式化为含有相关除式的二项式,然后再展开.此时常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来处理.八、利用二项式定理证明某些不等式例8 利用二项式定理证明，且证明：欲证成立，只需证成立.而.所以原不等式成立.点评：在证明时要将所给不等式转化为含形式的不等式，将二项式展开，再采用放缩法和其他有关知识将不等式证明到底.九、利用二项式定理进行近似计算例9求的近似值，使结果精确