高中数学第4讲用数学归纳法证明不等式2用数学归纳法证明不等式举例学案新人教A版.docx

二用数学归纳法证明不等式举例1会用数学归纳法证明简单的不等式(重点)2会用数学归纳法证明贝努利不等式，了解贝努利不等式的应用条件(难点)基础初探教材整理用数学归纳法证明不等式阅读教材P50P53，完成下列问题1贝努利(Bernoulli)不等式如果x是实数，且x1，x0，n为大于1的自然数，那么有(1x)n1nx.2在运用数学归纳法证明不等式时，由nk成立，推导nk1成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行用数学归纳法证明“2nn21对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A2B3C5D6【解析】n取1,2,3,4时不等式不成立，起始值为5.【答案】C质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型数学归纳法证明不等式已知Sn1(n1，nN)，求证：S2n1(n2，nN). 【导学号：32750068】【精彩点拨】先求Sn 再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意Sn表示前n项的和(n1)，首先验证n2；然后证明归纳递推【自主解答】(1)当n2时，S2211，即n2时命题成立(2)假设nk(k2，kN)时命题成立，即S2k11.当nk1时，S2k11111.故当nk1时，命题也成立由(1)(2)知，对nN，n2，S2n1都成立此题容易犯两个错误，一是由nk到nk1项数变化弄错，认为的后一项为，实际上应为；二是共有多少项之和，实际上 2k1到2k1是自然数递增，项数为2k1(2k1)12k.再练一题1若在本例中，条件变为“设f(n)1(nN)，由f(1)1， f(3)1，f(7)，f(15)2，” .试问：f(2n1)与大小关系如何？试猜想并加以证明【解】数列1,3,7,15，通项公式为an2n1，数列，1，2，通项公式为an，猜想：f(2n1).下面用数学归纳法证明：当n1时，f(211)f(1)1，不等式成立假设当nk(k1，kN)时不等式成立，即f(2k1)，当nk1时，f(2k11)f(2k1)f(2k1)当nk1时不等式也成立据知对任何nN原不等式均成立证明：2n2n2(nN)【精彩点拨】【自主解答】(1)当n1时，左边2124；右边1，左边右边；当n2时，左2226，右224，所以左右；当n3时，左23210，右329，所以左右因此当n1,2,3时，不等式成立(2)假设当nk(k3且kN)时，不等式成立，即2k2k2(kN)当nk1时，2k1222k22(2k2)22k22k22k1k22k3(k1)2(k1)(k3)，k3，(k1)(k3)0，(k1)2(k1)(k3)(k1)2，所以2k12(k1)2.故当nk1时，原不等式也成立根据(1)(2)知，原不等式对于任何nN都成立1本例中，针对目标k22k1，由于k的取值范围(k1)太大，不便于缩小因此，用增加奠基步骤(把验证n1扩大到验证n1,2,3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k3，促使放缩成功，达到目标2利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由nk到nk1的变形为满足题目的要求，常常要采用“放”与“缩”等手段，但是放缩要有度，这是一个难点，解决这个难题一是要仔细观察题目结构，二是要靠经验积累再练一题2用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式均成立【证明】(1)当n2时，左边1；右边.左边右边，不等式成立；(2)假设nk(k2，且kN)时不等式成立，即.则当nk1时，.当nk1时，不等式也成立由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立.不等式中的探索、猜想、证明若不等式对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论【精彩点拨】先通过n取值计算，求出a的最大值，再用数学归纳法进行证明，证明时，根据不等式特征，在第二步，运用比差法较方便【自主解答】当n1时，则，a.(1)n1时，已证(2)假设当nk时(k1，kN)，当nk1时，0，也成立由(1)(2)可知，对一切nN，都有，a的最大值为25.1不完全归纳的作用在于发现规律，探究结论，但结论必须证明2本题中从nk到nk1时，左边添加项是.这一点必须清楚再练一题3设an1(nN)，是否存在n的整式g(n)，使得等式a1a2a3an1g(n)(an1)对大于1的一切正整数n都成立？证明你的结论【解】假设g(n)存在，那么当n2时，由a1g(2)(a21)，即1g(2)，g(2)2；当n3时，由a1a2g(3)(a31)，即1g(3)，g(3)3，当n4时，由a1a2a3g(4)(a41)，即1g(4)，g(4)4，由此猜想g(n)n(n2，nN)下面用数学归纳法证明：当n2，nN时，等式a1a2a3an1n(an1)成立(1)当n2时，a11，g(2)(a21)21，结论成立(2)假设当nk(k2，kN)时结论成立，即a1a2a3ak1k(ak1)成立，那么当nk1时，a1a2ak1akk(ak1)ak(k1)akk(k1)ak(k1)1(k1)(k1)(ak11)，说明当nk1时，结论也成立，由(1)(2)可知 ，对一切大于1的正整数n，存在g(n)n使等式a1a2a3an1g(n)(an1)成立构建体系归纳法证明不等式1数学归纳法适用于证明的命题的类型是()A已知结论B结论已知C直接证明比较困难D与正整数有关【解析】数学归纳法证明的是与正整数有关的命题故应选D.【答案】D2用数学归纳法证明不等式12(n2，nN)时，第一步应验证不等式()A12B12C12D.12【解析】n02时，首项为1，末项为.【答案】A3用数学归纳法证不等式1成立，起始值至少取() 【导学号：32750069】A7B8C9D10【解析】左边等比数列求和Sn2，即1，n7，n取8，选B.【答案】B4用数学归纳法证明11)时，第一步证明不等式_成立【解析】因为n1，所以第一步n2，即证明12成立【答案】125试证明：12(nN)【证明】(1)当n1时，不等式成立(2)假设nk(k1，kN)时，不等式成立，即12.那么nk1时，2 2.这就是说，nk1时，不等式也成立根据(1)(2)可知不等式对nN成立我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2) 学业分层测评（十三）(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立那么下列命题总成立的是()A若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立B若f(5)25成立，则当k5时，均有f(k)k2成立C若f(7)49成立，则当k8时，均有f(k)k2成立D若f(4)25成立，则当k4时，均有f(k)k2成立【解析】根据题中条件可知：由f(k)k2，必能推得f(k1)(k1)2，但反之不成立，因为D中f(4)2542，故可推得k4时，f(k)k2，故只有D正确【答案】D2用数学归纳法证明“对于任意x0和正整数n，都有xnxn2xn4n1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n0应为()An01Bn02Cn01,2D.以上答案均不正确【解析】需验证：n01时，x11成立【答案】A3利用数学归纳法证明不等式1对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为()A12B13C14D.不存在【解析】令f(n)，易知f(n)是单调递增的，f(n)的最小值为f(2).依题意，m14.因此取m13.【答案】B5用数学归纳法证明不等式(n2，nN)的过程中，由nk递推到nk1时不等式左边()A增加了一项B增加了两项，C增加了B中两项但减少了一项D以上各种情况均不对【解析】nk时，左边，nk1时，左边，增加了两项，少了一项.【答案】C二、填空题6用数学归纳法证明“2n1n2n2(nN)”时，第一步的验证为_【解析】当n1时，2111212，即44成立【答案】21112127证明1n1(n1)，当n2时，要证明的式子为_【解析】当n2时，要证明的式子为213.【答案】2138在ABC中，不等式成立；在四边形ABCD中，不等式成立；在五边形ABCDE中，不等式成立猜想在n边形A1A2An中，类似成立的不等式为_【解析】由题中已知不等式可猜想：(n3且nN)【答案】(n3且nN)三、解答题9已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1，an2SnSn10(n2)(1)判断是否为等差数列，并证明你的结论；(2)证明：SSS.【解】(1)S1a1，2.当n2时，anSnSn1，即SnSn12SnSn1，2.故是以2为首项，2为公差的等差数列(2)证明：当n1时，S，不等式成立假设nk(k1，且kN)时，不等式成立，即SSS成立，则当nk1时，SSSS.即当nk1时，不等式成立由可知对任意nN不等式成立10已知函数f(x)x3x，数列an满足条件：a11，且an1f(an1)，证明：an2n1(nN*)【证明】由f(x)x3x，得f(x)x21.因此an1f(an1)(an1)21an(an2)，(1)当n1时，a11211，不等式成立(2)假设当nk时，不等式成立，即ak2k1，当nk1时，ak1ak(ak2)(2k1)(2k12)22k1.又k1，22k2k1，nk1时，ak12k11，即不等式成立根据(1)和(2)知，对任意nN，an2n1成立能力提升1对于正整数n，下列不等式不正确的是()A3n12n B0.9n10.1nC0.9n10.1nD.0.1n10.9n【解析】排除法，取n2，只有C不成立【答案】C2利用数学归纳法证明“”时，n的最小取值n0应为_. 【导学号：32750071】【解析】n01时不成立，n02时，再用数学归纳法证明，故n02.【答案】23设a，b均为正实数(nN)，已知M(ab)n，Nannan1b，则M，N的大小关系为_.【解析】当n1时，MabN，当n2时，M(ab)2，Na22abM，当n3时，M(ab)3，Na33a2bM，归纳得MN.【答案】MN4已知f(x)，对于nN，试比较f()与的大小并说明理由【解】据题意f(x)1，f()1.又1，要比较f()与的大小，只需比较2n与n2的大小即可，当n1时，212121，当n2时，22422，当n3时，238329，当n4时，