高考物理中数学工具的作用解读.pdf

数学是学习和研究物理学的重要工具 运用数 学工具解决物理问题的能力是中学物理教学大纲和 高考说明中要求的一项重要能力 能熟练应用数学 工具是学好物理学科的前提 高考物理中数学工具 作用主要体现在以下三个方面 一 语言工具 物理是客观世界的抽象 数学是一种特殊的语 言 是最让人信服的语言 物理需要它来表达 物理 内容的表述有两种语言形式 一种是文字语言 一种 是数学语言 物理中概念 规律 物理事物的因果关 系及物理问题的演算等除了文字叙述外 一般都通 过数学符号 数学式子和几何图像等数学语言来进 行表达 数学是定义物理量 表述物理规律最简洁 概括 精确 深刻的语言 1 定义物理量 许多物理量都是用比值法来定义的 常称之为 比值定义 正是通过数学式子把物理量表达出来 的 如密度 m V 导体的电阻 R U I 电容器的电容 C Q U 电场强度 E F q 等 它们的共同特征是 被定 义的物理量是反映物体或物质的属性和特征的 它 和定义式中的物理量无关 2 表述物理规律 物理中的许多概念和规律 都是在实验的基础 上 通过观察和分析实验数据 经过科学抽象 最后 利用数学语言表示为物理公式的 例如 牛顿第二定 律公式是在实验的基础上 通过对实验数据和相应 的图线的分析和归纳 得出两个关系式为 a F 和 a 1 m 然后综合这两个比例式 通过比例系数法分 析研究 最后导出表达式 F ma 几乎所有的物理规律 都是通过量化的方法用 数学公式进行描述的 数学给物理规律的描述提供 了最简洁 最准确的表达方式 我们在研究物理规律 时 对量与量之间的关系 量的变化以及在量与量之 高考物理中数学工具的作用解读 王高 间进行分析 比较 推导和运算时 都是运用简明的 数学公式 数学符号系统 形式化的语言来表达 进 行定量描述和理论概括 再如 用数学的矢量法可以表示力等矢量的大 小和方向 用数学方程来表示不同物理量之间的依 赖与制约关系 用数学的导数来表示各种物理量的 变化率等等 二 推理工具 数学能带来新规律的发现和新理论的建立 牛 顿在开普勒观察得到的行星运动规律的数据基础 上 利用数学的方法 导出了万有引力定律 麦克斯 韦从电磁现象已有的实验规律出发 建立了电磁场 理论 数学方法是进行推理 论证的有效工具和抽象 手段 在物理学中 有些公式反映了基本定义和实验 规律 而有一些则是导出公式 这些导出公式是从实 验规律和基本定义出发 运用数学方法进行推导 演 算和论证 从而得到的 数学推理具有严格性和逻辑性 严格性表现在 一是推理过程的严格 可靠 二是推理结论的精确 确定 数学都是以逻辑推理的形式表达量的关系或 空间形式的 物理中的许多结论是由严格的逻辑推 理得出 因此 一切数学结论都具有逻辑上的必然性 和量的确定性 正因为这样 数学方法才给予精密的 自然科学以某种程度的可靠性 没有数学 物理是达 不到这种可靠性的 例 1如图 1 所示 由粗细均匀的电阻丝绕成 的矩形导线框 abcd 固定于水平面上 导线框边长ab L bc 2L 整个线框处于竖直方向的匀强磁场中 磁场的磁感应强度为 B 导 线框上各段导线的电阻与 其长度成正比 已知该种电 阻丝单位长度上的电阻为 的单位是 m 今在导 图 1 物 理 特别策划 4 线框上放置一个与 ab 边平行且与导线框接触良好 的金属棒 MN MN 的电阻为 r 其材料与导线框的材 料不同 金属棒 MN 在外力作用下沿 x 轴正方向做 速度为 v 的匀速运动 在金属棒从导线框最左端 该 处 x 0 运动到导线框最右端的过程中 1 请写出金属棒中的感应电流 I 随 x 变化的 函数关系式 2 试证明当金属棒运动到 bc 段中点时 MN 两点间电压最大 并请写出最大电压 Um的表达式 3 试讨论在此过程中 导线框上消耗的电功 率可能的变化情况 解析 1 I E R r BLv r L 2x 5L 2x 6L 6BL2v 6Lr L 2x 5L 2x 2 M N 两点间电压 U E R r R E 1 r R 当外 电路电阻最大时 U 有最大值 Um 因为外电路电阻 R L 2x 5L 2x 6L 当 L 2x 5L 2x 即 x L 时 R 有最大值 所以 x L 时 即金 属棒在 bc 中点时 M N 两点间电压有最大值 即 Um 3BL2v 2r 3 L 3 外电路电阻 Rmin L 5L L 5L 5 6 L Rmax 3L 3L 3L 3L 3 2 L 当 r Rmin 即 r 5 6 L 时 导线框上消耗的电功 率先变小 后变大 当 Rmin r Rmax 即 5 6 L rRmax 即 r 3 2 L 时 导线框上消耗的电 功率先变大 后变小 三 思维工具 数学是 物理学家的思想工具 它使物理学家 能 有条理地思考 并能想象出更多的东西 可以 说 正是有了数学与物理学的有机结合 才使物理学 日臻完善 物理学的严格定量化 使得数学思想方法 成为物理思维中一个不可或缺的工具 1 函数与方程思想 函数思想就是用函数的观点 方法研究问题 将 非函数问题转化为函数问题 通过对函数的研究 使 问题得以解决 物理学中研究物理问题最常用的方 法是忽略问题中的次要因素 将具体问题转化为物 理问题 定义物理量 建立物理模型 根据物理概念 规律和原理 建立物理量之间的函数关系 运用函数 的性质解决问题 可见 函数方程是求解物理问题的 一种有力的数学工具 例 2一根轻绳一端固定在 O 点 另一端拴一 个小球 拉起小球使轻绳水平 然后无初速释放 如 图 2 所示 小球在运动至轻绳达竖直位置的过程中 小球所受重力的瞬时功率在何处取最大值 解析解法 1 物理思维分析 设小球的质量为 m 轻绳长为 L 绳的拉力为 T 小球在运动过程中某一时刻的情境如图 2 所示 重 力的瞬时功率为 P mgvy vy为该时刻速度 v 的竖 直分量 在起点和最低点 vy 0 故在小球向下摆动过 程中 vy应先增大后减 小 vy取最大值之处必在 小球竖直方向的加速度 ay 0 的位置 则在该处有 Ty mg 即 Tcos mg 由向心力公式得 T mgcos mv 2 L 又根据机械能守恒定律得 mgLcos 1 2 mv2 解得 cos 3姨 3 即绳与竖直方向成 arccos 3姨 3 时重力的瞬 时功率最大 解法 2 函数方程思想 小球在运动过程中某一时刻的重力的瞬时功率 为 P mgvy mgvsin 根据机械能守恒定律 mgLcos 1 2 mv2 可得 P m2g3Lcos sin2 姨 显然 当 cos sin2 取最大值时 P 最大 而cos sin2 2cos2 sin4 2姨 2cos2 sin2 sin2 2姨 因为 2cos2 sin2 sin2 2 图 2 物 理 特别策划 5 图 4 由数学均值不等式 a b c 3 abc 3 姨可知 当 2cos2 sin2 时 P 有最大值 即 3cos2 1 cos 3姨 3 时 P 有最大值 点评需要注意的是 一些物理问题一旦被 数学化之后 就抽掉了原本的物理意义 不再反映事 物的一般规律 更加侧重于数学逻辑关系或数量关 系 甚至只剩下单纯的数量关系 不一定与原题条件 完全相符 这样 符合数学量关系的解就不一定适合 原题 所以要舍去 这就需要对舍去的解进行物理 判断 2 数形结合的思想 数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科 学 因而数学研究总是围绕着数与形进行的 数 就 是方程 函数 不等式及表达式 代数中的一切内容 形 就是图形 图像 曲线等 数形结合的本质是数 量关系决定了几何图形的性质 几何图形的性质反 映了数量关系 数形结合就是抓住数与形之间的内 在联系 以 形 直观地表达数 以 数 精确地研究 形 数形结合的思想 就是把物体的空间形式和数量 关系结合起来进行考察 通过数与形之间的对应和 转化来解决问题的思想 1 以数解形 将有些涉及图形的物理问题转化为数量关系来 研究 对图形作精细的分析 从而对直观图形有更精 确 理性的理解 有的物理问题 已知的是一个图形 但只靠图形是无法解决问题的 必须将图形问题转 化为代数问题 从而找出所求物理量与已知物理量 间的关系 建立方程进行求解 有些物理问题 用图 像来表示已知的信息 只有充分挖掘图像的信息 根 据图形及物理量之间的关系 寻找有关的物理规律 把图像问题转化为代数问题 例 3一礼花弹竖直向上飞到最高点时炸成若 干小块 设炸开时每一小块以相同的速率 向各个不 同方向飞出 且不计空气阻力 试定量描述此后每一 小块在空中的运动情况 解析礼花弹在空中最高点炸开后 各小块碎 片在空中一般做的是曲线运动 要定量描述其空中 运动情况 可利用物理规律先写出其空中运动轨迹 的数学方程 再通过对相应数学方程的定量研究来 对其空中运动轨迹定量 描述 如图 3 所示 选取 炸开点为坐标原点建立 三维坐标系 设炮弹炸开 瞬间某一小块速度 v 在 x y z 坐标的分量分别为 vx vy vz 由物理知识可知 小碎片在 x y 轴方向上做 匀速直线运动 在 z 轴方向上做匀变速直线运动且 加速度为重力加速度 g 为简便起见 选取自由落体运动的物体为参照 系 则某一小块在选定的参照系中 在 z 轴方向依然 做匀速运动 由此得到在时刻 t 某一小块相对于参照 系在各坐标方向的位移分别为 x vx t y vy t z vz t 可得 x2 y2 z2 vx2 vy2 vz2 t2 v2t2 R2 其中 R vt 式就是在空中飞行的某一小块相对于所选 定参照系的轨迹方程 轨迹是一个半径为 R 的球面方程 表明礼花弹 在空中炸开后 任一时刻每一小片相对于参照系都 落在同一球面上 其球面半径大小与时间成正比 又 因选取的是自由落体参照系 故对地面观察者而 言 该球面的球心从炸开点开始竖直向下做自由落 体运动 整个球面也同时在做自由落体运动 这就定 量地描述出了礼花弹炸开后每一小块在空中的运 动情况 2 以形助数 有的物理问题 较难直接找出未知量与已知量 之间的关系 通常需要借助诸如受力分析图 运动过 程图等示意图来寻找未知量与已知量之间的关系 建立方程进行求解 有些物理问题 用代数运算比较 繁杂 可以将代数运算转化成图形 利用图形来求解 问题 例 4如图 4 所示 平直木板 AB 倾斜放置 板 上的 P 点距 A 端较近 小物块与木板间的动摩擦因 数由 A 到 B 逐渐减小 先让物块从 A 由静止开始滑 到 B 然后 将 A 着地 抬高 B 使木板的倾角与前一 过程相同 再让物块从 B 由静止开始滑到 A 上述 两过程相比较 下列说法 中一定正确的有 A 物块经过 P 点的 动能 前一过程较小 图 3 物 理 特别策划 6 图 9 图 8 图 7 图 5 图 6 图 7 拉力 F 随 物块所在位置 坐标 x 的变化 关系如图 8 所 示 图线为半圆 则小物块运动 到 x0处时的动 能为多大 解析水平拉力 F 对小物块做功 它的动能就 增加 根据动能定理 有 WF Ekx0 由图 8 可知 F 是随 x 变化而变化的 对于变力做功问题 我们常采用微 元法来处理 即在 x 处取一位移元 x 如图 9 在 x 上 F 可视为恒定的 F 做的功为 W F x S 在整个过程中力 F 做的 功为 W S 即 WF S半圆 半圆的半径 是x0 2 还是 Fm 或者都可 以 从数学上看 图线为半圆 应该有x0 2 Fm 因此 有 S半圆 x02 4 或者 S半圆 Fm2 2 但从物理角度看 x 与 F 分别表示的是位移和力 它们的大小不具有可 比性 本题中的 x 与 F 之间的关系图像是一半圆 所 以 S半圆 4 Fmx0 因此 小物块到达 x0处的动能为 4 Fmx0 点评同样的 F 与 x 之间的函数关系 当其 标度的大小选择不同时 图线就会从圆变为椭圆 这 时椭圆的长短轴分别为 2Fm和 x0 其面积为 S 1 2 Fm x0 2 1 4 Fmx0 可见 物理图像中的圆与椭圆 具有相对性 计算面积时要注意面积的物理意义 4 数列思想 有些物理问题具有过程多 重复性强的特点 但 每一个重复过程均不是原来的完全重复 而是一种 变化了的重复 随着物理过程的重复 某些物理量逐 步发生着前后有联系的变化 这些问题常用数列的 思想方法进行求解 例 6制备纳米薄膜装置的工作电极可简化为 真空中间距为 d 的两平行极板 如图 10 甲所示 加 B 物块从顶端滑到 P 点的过程中因摩擦产生 的热量 前一过程较少 C 物块滑到底端的速度 前一过程较大 D 物块从顶端滑到底端的时间 前一过程较长 解析由题意知 小物块与木板间的动摩擦因 数由 A 到 B 逐渐减小 物块在木板 AB 上由静止开 始滑到另一端的过程中 所受到的滑动摩擦力 f mgcos 是变力 加速度 a gsin gcos 是变值 因此 物块做的是变加速运动 摩擦力做功是变力做 功 根据两个运动过程的受力分析知 甲 从 A 到 B 是加速度越来越大的变加速运动 乙 从 B 到 A 是 加速度越来越小的变 加速运动 见图 5 而且滑到底端时的速 度相等 据此画出两 种情况的速度图像 如图 6 所示 由图像 知 它们从顶端 滑到底端的位 移相等 可见 t 甲 t乙 所以 D 选 项正确 利用图 像可以直接比 较出从顶端下 滑相同距离的 P 和 P 点的速度大小 vP vP 就容易得到 t甲P t乙P 所 以物块经过 P 点的动能 前一过程较小 A 选项正确 根据能量转化与守恒可知 Q Ep 减 Ek 因为 Ep甲 Ep乙 而到 P 点的动能 Ek甲 Ek乙 所以无法判断物 块从顶端滑到 P 点的过程中因摩擦产生的热量 B 选项错误 答案AD 3 微分与积分思想 微积分思想的精妙之处在于通过有限向无限的 转化实现由近似到精确的分析过程 实际中的复杂 物理问题 可以在时间 空间等范围内分割成相应的 局部问题 这些局部范围内的问题可以近似为简单 基本的问题来研究 所有局部范围研究结果的累积 即为实际复杂物理问题的结果 例 5静置于光滑水平面上坐标原点处的小 物块 在水平拉力 F 作用下 沿 x 轴正方向运动 见 物 理 特别策划 7 图 11 甲 乙 图 10 在极板 A B 间的电 压 UAB作周期性变 化 其正向电压为 U0 反向电压为 kU0 k 1 电压变化的 周期为 2T 如图乙 所示 在 t 0 时 极板 B 附近的一个电子 质量为 m 电荷量为 e 受电场作用由静 止开始运动 若整个 运动过程中 电子未 碰到极板 A 且不考 虑重力作用 求 1 若 k 5 4 电子在 0 2T 时间内不能到达极 板 A 求 d 应满足的条件 2 若电子在 0 200T 时间内未碰到极板 B 求 此运动过程中电子速度 v 随时间 t 变化的关系 3 若电子在第 N 个周期内的位移为零 求 k 的值 解析 1 电子在 0 T 时间内做匀加速运动 加速度大小为 a1 eU0 md 位移 x1 1 2 a1T2 在 T 2T 时间内先做匀减速运动后反向做匀加 速运动 加速度的大小为 a2 5eU0 4md 初速度的大小为 v1 a1T 匀减速运动阶段的位 移 x2 v12 2a2 依据题意 d x1 x2 解得 d 9eU0 10m姨 T 2 电子做匀加速运动的加速度大小为 a1 eU0 md 做匀减速运动后加速