河南省中原名校高三数学上学期第一次摸底试卷 文（含解析）.doc

河南省中原名校2015届高三上 学期第一次摸底数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）1（5分）已知集合m=x|y=，集合n=y|y=ex，xr（e是自然对数的底数），则mn=（）ax|0x1bx|0x1cx|0x1d2（5分）己知ar，则“a=1”是“a21+（a1）i为纯虚数”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件3（5分）若sinatana0，且0，则角a是（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限4（5分）下列命题中正确的是（）a命题“xr，使得x210”的否定是“xr，均有x210”b命题“若cosx=cosy，则x=y”的逆否命题是真命题：c命题”若x=3，则x22x3=0”的否命题是“若x3，则x22x30”d命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是假命题5（5分）设a=40.1，b=log40.1，c=0.40.1，则（）aabcbbaccacbdbca6（5分）一个几何体的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形，则该几何体的体积等于（）a4b3c2d7（5分）若向量与的夹角为120，且|=1，|=2，=+，则有（）abcd8（5分）执行如图的程序框图，若输出的n=5，则输入整数p的最大值是（）a15b14c7d69（5分）o为坐标原点，f为抛物线c：y2=4x的焦点，p为c上一点，若|pf|=4，则pof的面积为（）abc2d310（5分）已知函数f（x）=x2+bx的图象在点a（1，f（1）处的切线l与直线3xy+2=0平行，若数列的前n项和为sn，则s2014的值为（）abcd11（5分）已知e是自然对数的底数，函数f（x）=ex+x2的零点为a，函数g（x）=lnx+x2的零点为b，则下列不等式中成立的是（）af（a）f（1）f（b）bf（a）f（b）f（1）cf（1）f（a）f（b）df（b）f（1）f（a）12（5分）已知定义在r上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x（1，3时，f（x）=，其中t0，若方程f（x）=恰有3个不同的实数根，则t的取值范围为（）a（0，）b（，2）c（，3）d（，+）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20井）13（5分）已知实数x，y满足，则z=x2+y2的最小值是14（5分）若直线y=kx1与圆x2+y2=1相交于p、q两点，且poq=120（其中o为原点），则k的值为15（5分）定义行列式运算=a1b2a2b2，将函数f（x）=的图象向左平移t（t0）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t的最小值为16（5分）在abc中，a=60，bc=，d是ab边上的一点，cd=，cbd的面积为1，则ac边的长为三、解答题：（本丈题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）17（12分）已知函数f（x）=cos2xsin2x+2cosxsinx（0），f（x）的图象的两条相邻对称轴间的距离等于，在abc中，角a，b，c所对的边依次为a，b，c，若a=，b+c=3，f（a）=1，求abc的面积18（12分）对某校2015届高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取m名学生作为样本，得到这m名学生参加社区服务的次数根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率上的最大值（其中e为自然对数的底数）四、选做题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，答时用2b铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑【选修4-1：几何证明选讲】22（10分）已知，在abc中，d是ab上一点，acd的外接圆交bc于e，ab=2be（）求证：bc=2bd；（）若cd平分acb，且ac=2，ec=1，求bd的长【选修4-4：坐标系与参数方程】23己知圆c1的参数方程为（为参数），以坐标原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆c2的极坐标方程为=2cos（）（）将圆c1的参数方程他为普通方程，将圆c2的极坐标方程化为直角坐标方程；（）圆c1，c2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由【选修4-5：不等式选讲】24设函数，f（x）=|xa|（）当a=2，解不等式，f（x）5|x1|；（）若f（x）1的解集为，+=a（m0，n0），求证：m+2n4河南省中原名校2015届高三上学期第一次摸底数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）1（5分）已知集合m=x|y=，集合n=y|y=ex，xr（e是自然对数的底数），则mn=（）ax|0x1bx|0x1cx|0x1d考点：交集及其运算 专题：集合分析：分别求解函数的定义域及值域化简集合m，n，然后求交集得答案解答：解：m=x|y=，m=x|x1n=y|y=ex，xr，n=y|y0则mn=x|0x1故选：a点评：本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域及值域的求法，是基础题2（5分）己知ar，则“a=1”是“a21+（a1）i为纯虚数”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：若a21+（a1）i为纯虚数，可得，解得a=1即可判断出解答：解：若a21+（a1）i为纯虚数，则，解得a=1“a=1”是“a21+（a1）i为纯虚数”必要也不充分条件故选：b点评：本题考查了简易逻辑的判定方法、纯虚数的定义，属于基础题3（5分）若sinatana0，且0，则角a是（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限考点：三角函数值的符号 专题：三角函数的求值分析：由任意角三角函数的符号与象限的对应直接得出即可解答：解：由sinatana0可得角是一、四象限，由0得角是四、三象限角，可得角a是第四象限角故选：d点评：本题考查三角函数值的符号，属于基本概念考查题4（5分）下列命题中正确的是（）a命题“xr，使得x210”的否定是“xr，均有x210”b命题“若cosx=cosy，则x=y”的逆否命题是真命题：c命题”若x=3，则x22x3=0”的否命题是“若x3，则x22x30”d命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是假命题考点：命题的真假判断与应用 专题：简易逻辑分析：写出原命题的否定判断a；直接判断原命题的真假得到命题“若cosx=cosy，则x=y”的逆否命题的真假；写出命题的否命题判断c；举例说明命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是真命题判断d解答：解：命题“xr，使得x210”的否定是“xr，均有x210”，命题a为假命题；当cosx=cosy时，x与y要么终边相同，要么终边关于x轴对称，命题“若cosx=cosy，则x=y”为假命题，则其逆否命题是假命题，命题b为假命题；命题”若x=3，则x22x3=0”的否命题是“若x3，则x22x30，命题c为真命题；所有菱形的四边相等，命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是真命题，命题d是假命题故选：c点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了原命题、否命题、逆否命题的写法与真假判断，是中档题5（5分）设a=40.1，b=log40.1，c=0.40.1，则（）aabcbbaccacbdbca考点：对数值大小的比较 专题：函数的性质及应用分析：利用指数函数、对数函数的性质求解解答：解：a=40.140=1，b=log40.1log41=0，0c=0.40.10.40=1acb故选：c点评：本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的性质的合理运用6（5分）一个几何体的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形，则该几何体的体积等于（）a4b3c2d考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：根据已知三视图，我们结合棱锥的结构特征易判断出几何体为四棱锥，结合三视图中标识的数据，我们易求出棱锥的底面面积及棱锥的高，代入棱锥体积公式即可得到答案解答：解：由已知三视图我们可得：几何体为四棱锥，棱锥以俯视图为底面以侧视图高为高由于侧视图是以2为边长的等边三角形，故h=结合三视图中标识的其它数据，s底面=（1+2）2=3故v=s底面h=故选d点评：本题考查的知识点是根据三视图求几何体的体积，其中根据已知三视图，结合简单几何体的结构特征易判断出几何体的形状，和相关的几何量（底面边长，高）是解答本题的关键7（5分）若向量与的夹角为120，且|=1，|=2，=+，则有（）abcd考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系 专题：计算题分析：求两个向量的数量积，利用向量的分配律展开，将向量的平方用向量模的平方表示，再利用向量的数量积公式求出值；利用向量垂直的充要条件得到判断结论解答：解：=11=0故选a点评：解决向量的特殊关系问题，一般考虑向量的数量积是否为0；考虑向量是否存在数乘关系8（5分）执行如图的程序框图，若输出的n=5，则输入整数p的最大值是（）a15b14c7d6考点：程序框图 专题：图表型分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量s的值，并输出满足退出循环条件时的n值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环 s n循环前/0 1第一圈 是 1 2第二圈 是 3 3第三圈 是 7 4第四圈 是 15 5第五圈 是 31 6第六圈 否故s=15时，满足条件sps=31时，不满足条件sp故p的最大值15故选a点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模9（5分）o为坐标原点，f为抛物线c：y2=4x的焦点，p为c上一点，若|pf|=4，则pof的面积为（）abc2d3考点：抛物线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据抛物线方程求得抛物线的准线方程与焦点坐标，利用|pf|=4，求得p点的横坐标，代入抛物线方程求得纵坐标，代入三角形面积公式计算解答：解：由抛物线方程得：抛物线的准线方程为：x=1，焦点f（1，0），又p为c上一点，|pf|=4，xp=3，代入抛物线方程得：|yp|=2，spof=|0f|yp|=故选：b点评：本题考查了抛物线的定义及几何性质，熟练掌握抛物线上的点所迷住的条件是解题的关键10（5分）已知函数f（x）=x2+bx的图象在点a（1，f（1）处的切线l与直线3xy+2=0平行，若数列的前n项和为sn，则s2014的值为（）abcd考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：利用导数的几何意义赇 出f（x）=x2+x，从而得到an=，由此利用裂项求和法能求出s2014解答：解：f（x）=x2+bx，f（x）=2x+b直线3xy+2=0的斜率为k=3，函数f（x）=x2+bx的图象在点a（1，f（1）处的切线l与直线3xy+2=0平行，f（1）=2+b=3，解得b=1，f（x）=x2+x，an=，sn=（1）+（）+（）=1=，s2014=故选：b点评：本题考查数列的前2014项的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数的几何意义和裂项求和法的合理运用11（5分）已知e是自然对数的底数，函数f（x）=ex+x2的零点为a，函数g（x）=lnx+x2的零点为b，则下列不等式中成立的是（）af（a）f（1）f（b）bf（a）f（b）f（1）cf（1）f（a）f（b）df（b）f（1）f（a）考点：对数函数图象与性质的综合应用 专题：函数的性质及应用分析：根据函数的零点的判定定理，可得0a1b2，再由函数f（x）=ex+x2在（0，+）上是增函数，可得结论解答：解：函数f（x）=ex+x2的零点为a，f（0）=10，f（1）=e10，0a1函数g（x）=lnx+x2的零点为b，g（1）=10，g（2）=ln20，1b2综上可得，0a1b2再由函数f（x）=ex+x2在（0，+）上是增函数，可得 f（a）f（1）f（b），故选a点评：本题主要考查函数的零点的判定定理，函数的单调性的应用，属于中档题12（5分）已知定义在r上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x（1，3时，f（x）=，其中t0，若方程f（x）=恰有3个不同的实数根，则t的取值范围为（）a（0，）b（，2）c（，3）d（，+）考点：根的存在性及根的个数判断；函数的周期性 专题：计算题；函数的性质及应用分析：确定f（x）的周期为4，x（5，6）时，f（x）=t（x5），x（6，7）时，f（x）=t（7x），再利用t0，f（x）=恰有3个不同的实数根，可得t（21），t（61）2，即可求出t的取值范围解答：解：由f（x+2）=f（x），f（x+4）=f（x+2）=f（x），故f（x）的周期为4，x（1，2）时，f（x）=t（x1），x（2，3）时，f（x）=t（3x），x（5，6）时，f（x）=t（x5），x（6，7）时，f（x）=t（7x），t0，f（x）=恰有3个不同的实数根，t（21），t（61）22t，故选：b点评：本题考查函数的周期性、根的存在性及根的个数判断，考查学生的计算能力，属于中档题二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20井）13（5分）已知实数x，y满足，则z=x2+y2的最小值是考点：简单线性规划 专题：数形结合；不等式的解法及应用分析：由约束条件作出可行域如图，然后由z=x2+y2的几何意义求其最小值解答：解：由约束条件作出可行域如，z=x2+y2的最小值为定点o到直线x+y=1的距离的平方，等于故答案为：点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题14（5分）若直线y=kx1与圆x2+y2=1相交于p、q两点，且poq=120（其中o为原点），则k的值为考点：直线与圆的位置关系 专题：直线与圆分析：先求出弦心距d=，再由题意可得cos=，求得k的值解答：解：弦心距d=，再由题意可得cos=，解得k=，故答案为：点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题15（5分）定义行列式运算=a1b2a2b2，将函数f（x）=的图象向左平移t（t0）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t的最小值为考点：矩阵与向量乘法的意义 专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：由题意求得f（x）=2sin（2x），把它的图象变换后对应的函数解析式 y=2sin为奇函数，可得2t=k，kz，由此求得t的最小值解答：解：由题意可得函数f（x）=cos2xsin2x=2sin（2x），把它的图象向左平移t（t0）个单位，得到的图象对应的函数为y=2sin，由于y=2sin=sin（2x+2t）为奇函数，2t=k，kzt的最小值为，故答案为：点评：本题考查的知识点是函数y=asin（x+）的图象变换，其中根据已知中行列式运算法则及辅助角公式，求出函数的解析式是解答本题的关键16（5分）在abc中，a=60，bc=，d是ab边上的一点，cd=，cbd的面积为1，则ac边的长为考点：余弦定理的应用；正弦定理 专题：解三角形分析：bdc中，通过三角形的面积，求出cosdcb，由余弦定理求出cosbdc，即可求解dcb，然后在adc中，由正弦定理可求ac解答：解：bc=，cd=，cbd的面积为1，sindcb=1，sindcb=cosdcb=bd2=cb2+cd22cdcbcosdcb=4，bd=2，bdc中，由余弦定理可得cosbdc=，bdc=135，adc=45adc中，adc=45，a=60，dc=由正弦定理可得，ac=故答案为：点评：本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本知识三、解答题：（本丈题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）17（12分）已知函数f（x）=cos2xsin2x+2cosxsinx（0），f（x）的图象的两条相邻对称轴间的距离等于，在abc中，角a，b，c所对的边依次为a，b，c，若a=，b+c=3，f（a）=1，求abc的面积考点：余弦定理；三角函数中的恒等变换应用 专题：解三角形分析：f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，根据f（x）的图象的两条相邻对称轴间的距离等于，确定出f（x）周期为，确定出的值，得出f（x）解析式，由f（a）=1，求出a的度数，再由a的值，利用余弦定理列出关系式，与b+c=3联立求出bc的值，再由sina的值，利用三角形面积公式即可求出三角形abc面积解答：解：f（x）=cos2x+sin2x=2cos（2x），0，f（x）的图象的两条相邻对称轴间的距离等于，函数f（x）的最小正周期为，即=1，f（x）=2cos（2x），由f（a）=1，得到2cos（2a）=1，即cos（2a）=，2a=，即a=，a=，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosa，即b2+c2bc，b+c=3，（b+c）2=b2+c2+2bc=9，联立，解得：bc=2，则sabc=bcsina=点评：此题考查了余弦定理，三角函数的周期性及其求法，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键18（12分）对某校2015届高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取m名学生作为样本，得到这m名学生参加社区服务的次数根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率勾股定理求得a1d、de和a1e的值，可得a1dde进而求得的值，再根据三棱锥ca1de的体积为cd，运算求得结果解答：解：（）证明：连接ac1 交a1c于点f，则f为ac1的中点直棱柱abca1b1c1中，d，e分别是ab，bb1的中点，故df为三角形abc1的中位线，故dfbc1由于df平面a1cd，而bc1不在平面a1cd中，故有bc1平面a1cd（）aa1=ac=cb=2，ab=2，故此直三棱柱的底面abc为等腰直角三角形由d为ab的中点可得cd平面abb1a1 ，cd=a1d=，同理，利用勾股定理求得 de=，a1e=3再由勾股定理可得+de2=，a1dde=，=cd=1点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，求三棱锥的体积，体现了数形结合的数学思想，属于中档题20（12分）设数列满足a1=2，an+1an=322n1（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=nan，求数列bn的前n项和sn考点：数列递推式；数列的求和 专题：计算题分析：（）由题意得an+1=+a1=3（22n1+22n3+2）+2=22（n+1）1由此可知数列an的通项公式为an=22n1（）由bn=nan=n22n1知sn=12+223+325+n22n1，由此入手可知答案解答：解：（）由已知，当n1时，an+1=+a1=3（22n1+22n3+2）+2=3+2=22（n+1）1而a1=2，所以数列an的通项公式为an=22n1（）由bn=nan=n22n1知sn=12+223+325+n22n1从而22sn=123+225+n22n+1得（122）sn=2+23+25+22n1n22n+1即点评：本题主要考查数列累加法（叠加法）求数列通项、错位相减法求数列和等知识以及相应运算能力21（12分）已知函数，其中a0（）求函数f（x）的单调区间；（）若直线xy1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；（）设g（x）=xlnxx2f（x），求g（x）在区间上的最大值（其中e为自然对数的底数）考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 专题：计算题；压轴题；分类讨论分析：（）先求导函数，直接让导函数大于0求出增区间，导函数小于0求出减区间即可；（）直接利用切线的斜率即为切点处的导数值以及切点是直线与曲线的共同点联立方程即可求实数a的值；（）先求出g（x）的导函数，分情况讨论出函数在区间上的单调性，进而求得其在区间上的最大值解答：解：（）因为函数，f（x）=f（x）00x2，f（x）0x0，x2，故函数在（0，2）上递增，在（，0）和（2，+）上递减（）设切点为（x，y），由切线斜率k=1=，x3=ax+2，由xy1=x1=0（x2a）（x1）=0x=1，x=把x=1代入得a=1，把x=代入得a=1，把x=代入得a=1，a0故所求实数a的值为1（）g（x）=xlnxx2f（x）=xlnxa（x1），g（x）=lnx+1a，且g（1）=1a，g（e）=2a当a1时，g（1）0，g（e）0，故g（x）在区间上递增，其最大值为g（e）=a+e（1a）；当1a2时，g（1）0，g（e）0，故g（x）在区间上先减后增且g（1）=0，g（e）0所以g（x）在区间上的最大值为g（e）=a+e（1a）；当a2时，g（1）0，g（e）0，g（x）在区间上递减，故最大值为g（1）=0点评：本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值以及利用导数研究函数的单调性，是2015届高考的常考题型四、选做题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，答时用2b铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑【选修4-1：几何证明选讲】22（10分）已知，在abc中，d是ab上一点，acd的外接圆交bc于e，ab=2be（）求证：bc=2bd；（）若cd平分acb，且ac=2，ec=1，求bd的长考点：与圆有关的比例线段 专题：综合题；立体几何分析：（）连接de，证明dbecba，即可证明bc=2bd；（）先求de，利用cd是acb的平分线，可得da=1，根据割线定理求出bd解答：（）证明：连接de，四边形abcd 是圆的内接四边形，bde=bca，又dbe=cba，dbecba，=，又ab=2be，bc=2bd （5分） （）由（）dbecba，知=，又ab=2be，ac=2de，ac=2，de=1，而cd 是acb 的平分线，da=1，设bd=x，根据割线定理得bdba=bebc即x（x+1）=（x+1），解得x=1，即bd=1