加强活动积累经验.doc

让“活动”带给“经验”生长的力量如果说，数学“基本活动经验”是学生在从事有明确的数学目标的活动过程中产生和形成的经验，那么很显然的是，使学生获得基本活动经验的前提和核心是要提供好的活动。苏联著名数学教育家斯托利亚尔认为数学教学就是数学活动的教学，也是数学思维的教学。这是一种将整个数学教学都看成是“数学活动”的“大活动”观、“泛活动”观。从现有的研究来看，数学课程标准修订时所提出的“基本活动经验”中的“活动”，其范围和内涵都有所窄化，借用张天孝先生关注数学基本活动经验一文的观点，“主要是对数学材料的具体操作和形象探究活动”。这句话中，“数学材料具体操作活动”并不难理解，而“形象探究活动”，我以为，既包含实物、图形等具体形象，也包含着思维中、想象中的事物，即脑袋瓜中籍以进行思维、想象等活动之“隐形”形象。有了这样的认识，我们有必要进一步深究：什么样的活动才是好的数学活动？好的数学活动能产生怎样的活动经验呢？如何让我们的数学活动向“好的”方向发展？对这些问题的回答既需要时间，更需要实践。对一些典型案例进行分析，或许能为我们提供思考的路径。一、让活动经验触及概念的本质有这样一则案例，从课改初一直讲到现在。案例记录的是某学生与父亲回忆学校学习的一段对话。爸爸：儿子，你今天学习了什么？儿子：学了集合。爸爸：你听懂了吗？ 儿子：懂了！太简单了！爸爸：老师是怎么讲的。儿子：老师先让男小朋友站起来，然后告诉我们这些男小朋友就组成了一个集合。接着让所有女小朋友站起来，告诉我们所有的女小朋友也组成了一个集合。最后老师让全班小朋友都站起来，告诉大家全班小朋友也组成了一个集合。爸爸分别指了指家里的桌子、椅子和一筐土豆问：它们能组成集合吗？明明：家里所有的桌子组成的是一个集合，所有的椅子组成的也是一个集合，一筐土豆组成的不是一个集合。爸爸很惊讶问：为什么？明明：因为桌子椅子是站着的，但土豆不可以站起来。故事是虚构的，但似乎又“合乎情理”地反映了我们平时教学中某些教学现象。活动在活跃课堂气氛，带给了学生乐趣的同时，也夹杂着一些多余的、甚至有干扰的信息孩子在一次次的、并非体现集合本质“起立”活动中，产生了“能不能站起来是区分一些元素组成的是不是集合的依据”这个活动经验。强烈的负效经验干扰了学生对集合本质的理解。经典的例子还有三角形稳定性教学，老师让学生分别拉三角形和平行四边形木架，体验三角形的稳定性和四边形的易变性。热闹的活动、明显的对比，学生学得高兴、印象也很深刻。然而热闹之后再思考，却发现学生“深刻的印象”其实只停留在使劲“拉”上“拉”不动，就具有稳定性”，“拉”得动，就“不”具稳定性。其实三角形稳定性是指“三角形三条边长度确定，其大小、形状也就确定”。其对应的活动应该是让学生用三根小棒围不同的三角形，从而让学生体验三根小棒围成的三角形，“除了姿势不同外，形状和大小都完全一样”。这样让活动经验明确地指向于“边长确定，大小、形状也就确定”这个本质，有效地避免了理解上的歧义。概念是数学的灵魂，也是学生数学学习的根基。围绕概念本质内涵的活动所产生的活动经验才会带着浓浓的数学味，蕴含着无限的扩展力。二、让活动经验触动思维的内核新课程改革前，我们的课堂教学大都着力于对教材提供方法的模仿与训练，新课程改革要求不仅重视“方法的多样化”，而且重视对多种方法的分析、比较、优化。这种变化的实质是强化对数学思维的培养，提升学生的数学思考自觉。顺应此，数学活动也应该成为数学思维的活动，让活动经验要触动思维的内核。以六年级“假设策略”一课为例，常见的教学流程：出示例题：五（1）班的42位同学去划船，他们一共租用了10条船，每只大船能坐5人，每只小船能坐3人，正好每条船都坐满。他们分别租用了几条大船和几条小船？接着，组织学生先独立思考，再小组讨论、大组交流。最后，分析比较出最优方法，重点学习：假设全班同学都坐小船，坐船的就有103=30人，比实际多出42-30=12人。事实上，每只小船换成大船就会多出2人，共有122=6条小船换成大船，10-6=4条小船。笔者曾对这节课做过一项调查：超过一半的同学认为，在学过假设法后，如果长时间不接触这类题目，很容易遗忘。究其原因，学生上述学习过程其实只是停留在模仿、训练、机械记忆层面，并未能深入到思维的里层。针对此，我的做法是：在学生独立思考、小组讨论、大组交流时增加一个让学生在操作中“凑”答案的体验活动（以为大船，为小船）。学生独立活动后，各学习小组汇报，将所有情况有序展示在黑板上（图略）：大船只数109876 5432 10小船只数012345678910人 数5048464442403836343230接着组织学生带着活动经验比较操作题与例题的联系两题都要假设大船和小船的只数，求出人数。不同的是，操作题根据假设的人数就可以求出可能的人数，而例题实际人数已经告诉了我们，而且往往与假设的人数不一致，这说明假设的大、小船的只数有问题。这时需要调整：如果求出的人数比实际人数少了，说明要用小船换大船，每换一次相差2人；如果求出的人数比实际人数多了，说明要用大船换小船这样调整若干次直至人数吻合。应该说，动手操作“凑”答案，活动虽然有些土气、原始，但充分展开的“凑答案”过程却意蕴十足从0开始，一组数、一组数有序地“凑”，答案逐渐浮出水面。这种由“无”生“有”、由“虚”渐“实”的“凑”的活动经验，既蕴含着“假设法”中假设的必要性，也揭示了“假设法”中“调整”这个环节的“关门过节”“1只大船”和“1只小船”替换就会相差2人。由此，我们可以说“假设法”是学生积足了“凑答案”的活动经验之后的“由熟生巧”，而近乎接近学生本能的“凑答案”所产生的体验和形成的思维经验，具有“根基”的作用，即便学生一段时间忘了后，解决问题的路径仍能由根“再生”出来。三、让活动经验触摸创造的萌芽新课程标准在修订时再次突出“培养学生创新精神和实践能力”的改革方向和目标价值取向，东北师大史宁中校长在论及创新能力时指出：“创新能力依赖于三个方面：知识的掌握、思维的训练、经验的积累，三方面同等重要”。尽管我们很难直接传递创造的经验，但是，数学活动应该为学生提供更多创造的机会，让他们触摸创造的萌芽，积淀更多的具有创造潜质和基质的活动经验。以“自然数两种分类之间的关系”为例：自然数按是不是2的倍数，可以分为奇数和偶数；而根据因数的个数，又可以分为0、1、质数、合数。同一数集的两种不同角度的分类，使得奇数、偶数、质数、合数等数之间的关系错综复杂。学生在遇到诸如“所有的奇数都是质数”“所有的质数都是奇数”“所有的合数都是偶数”“所有的偶数都是合数”之类的辨析题时，很是头疼。对此，我们设计、组织了一次“数形结合借助操作理解奇、偶数和质、因数之间的关系”的画图辨析关系活动。下图是学生陆杰“创造”的自然数两种分类之间的关系图： 【图解】用长方形代表自然数，从中间画一条竖线将自然数分为奇数和偶数两部分。在奇数中，“1”既不是质数也不是合数用方框框出来；剩下的数中，一部分是质数，另一部分是合数。在偶数中，“0”去掉既不是质数也不是合数用方框框出来；剩下的数中，只有2是质数，其余都是合数。换个角度看，质数部分，除了2是偶数，其余的都是奇数；再看合数部分既有奇数又有偶数。应该说，学生创造性地设计直观形象集合图，将知识间千丝万缕的联系浓缩到一张结构图中，既有助于看出知识间的联系，加深知识的理解，也便于知识经验的灵活调用，有助于“活化”经验。当然，最重要的是这种创造性活动中所积累的经验，有如冬天里埋在雪地下的种子，春风吹来时就会生出创造的嫩芽，充满着无限的生机。当然，数学活动不是“哪里需要贴哪里”的狗皮膏药，也不是“贴哪里，瘦哪里”的灵丹妙药。需不需要实际操作？活动的成本有多大？每一次的活动能否如我们所愿能给学生留下很好的活动经验？这些都是我们帮助学生积累活动经验时应该全面考虑的问题。但无论如何，着力设计短小精悍、彰显数学本质、强化数学思考、追求实践创新的活动给学生留下“最具生长力”的活动经验，是值得我们每一位教师持续关注并积极付诸教学改革的。帮助学生积累怎样的基本活动经验以“分数的认识”教学为例著名教育家陶行知关于人如何获得知识曾做过一个形象的比喻：“我们要有自己的经验做根，以这经验所发生的知识做枝，然后别人的知识才能接得上去，别人的知识方才成为我们知识的一个有机组成部分。”可见，基本活动经验是学生数学学习的必要前提，是其获得数学直觉的源泉。那么对于学生的数学学习而言，什么才是可以用来做“根”的基本活动经验呢？本文试以“分数的教学”为例，阐述我们要帮助学生积累怎样的数学基本活动经验。 一、重观察，重操作，丰富学生的表象，积累体验性经验有研究表明，就智力和经验对学生概念学习的影响程度来看，经验的作用更大。孩子们的内心世界往往不是按照定义的方式来理解的，他们更多地按照先前眼睛看到的，尔后积累在脑海中的先前经验来给所学的抽象概念加以编码的。丰富的经验背景是学生理解概念的前提，否则将容易导致死记硬背概念的字面定义而不能领会概念的内涵。这里的“经验”，除了从学校学习中获得以外，学生从日常生活中获得的经验也起着非常重要的作用。事实上，学生掌握的数学概念大多是对自身经验经过辨别、分化、抽象、概括以后发展而来的。学生认识分数远不像当初认识整数时那样来得顺利。这是因为，在学生的已有的活动经验中，来自有关“分数”方面的储备，远不如整数那样多。生活中，学生更多接触到的是可以一个一个地来数的自然数，当“1”需要再分时，人们又更喜欢用小数来表示（如商场里物品的标价等）。由于缺少丰富的表象来支撑，也缺少外显操作活动中来自感觉、知觉的经验，这给学生建立分数的概念带来了不小的困难。尽管如此，教学还是得从学生所熟悉的感性材料入手，因为概念的形成过程实质上是抽象出某一类对象或事物的共同本质特征的过程，毫无疑问，辨别各种刺激模式，并在知觉水平上进行分析、筛选、辨认，根据事物的外部特征进行概括，是建立正确概念的第一步。既与分数的概念相通，又存在于学生的已有经验之中的，就是学生“均分”物体的经验了。分蛋糕、分苹果，的确是生活中较好的关于“均分”的模型，因为学生都有过这样的经历。只是生活中人们并不习惯把一个蛋糕平均分成8块后，将其中的一块称为，而更多是称作“一小块”。但这并不妨碍学生对分数产生的感知，因为学生从分苹果、分蛋糕中，已经完成了初级阶段的抽象，即学生能够明白，以前经验中最小的“1”还是可以继续分下去的，这样分得的结果我们就得用新的数来表示了。这就把新的认知起点与旧有的经验联系起来了。相比之下，有的教材从“折纸”切入，学生便不能从操作中感受到“分”的必要性，由此引入分数多少显得牵强和生硬，这是对学生经验缺少深入细致的考察所导致的。概念的抽象往往不是一次性完成的，分数概念的建立也不例外。我们可以从皮亚杰等人的研究成果中得到启发：“4-4岁半的儿童能把小的正规图形分成两半；6-7岁的儿童能把小的正规图形分成三份；7-9岁的儿童能把小的正规图形通过试错分成六份。”皮亚杰等人的研究成果告诉我们，学生通过面积的模型来认识分数比较容易。依此，组织折纸、填图等操作性活动，可以引导学生向更高一层的抽象发展，亦即线段、长方形、圆，以致一个整块的物体，都也可以像分苹果、分蛋糕那样均分下去，在这方面它们具有共同的属性，这就是所谓的“二阶抽象”。较之于“连续量模型”，学生对于“离散量模型”的理解，似乎来得更为困难。因为对学生而言，这是更高一层次的“三阶抽象”。把多个物体看做一个整体进行均分，在学生的已有活动经验中储备不多，加之整体“1”的类型并不像想象的那么简单，例如，形成分数至少关涉到以下几种不同的类型：数量刚好为5个；数量在5个以上并被分成了5等份；数量比5多但不能被5整除；数量比1多但比5少。日常生活并不能为学生提供这些经过高度结构化处理的素材，只有教学这一专业活动才凸显这一功能，这是教师“浓缩”了前人探索的结果，使得素材本身更具“数学味儿”，它可以避免学生走太多的弯路，耗费太多的时间。“几乎所有的人不仅在思维过程中避免使用语言，甚至还避免使用代数符号或任何其他的固定符号，总是运用模糊的表象进行思考。”很显然，学生建立分数的概念必须先积累大量的感官经验、操作经验，且这些体验性经验又具有某些相似性、共通性，然后经由多个层次的“抽象”这一心智活动才得以完成。而若不能以丰富的表象做支撑，概念的建立就成为无源之水、无本之木。 二、重探究，重思考，优化学生的策略，积累方法性经验这里的“探究”指的是融行为操作与思维操作于一体的活动。对于行为操作和思维操作，我们不妨用“操作地思考”和“思考地操作”来界定两者的区别。行为操作的价值取向是问题解决，而不是仅仅为了获取第一手的直接感受、体验和经验，但是，探索所获得的经验一般是直接经验，我们称之为“操作地思考”；思维操作指的是在思维过程中开展活动而获得的经验，即，思维操作经验，比如，归纳的经验、类比的经验、证明的经验。思考的经验不仅可以产生于逻辑地思考的过程，也可以产生于归纳地思考的过程，甚至产生于某些实验过程之中，我们称之为“思考地操作”。显然，前者侧重于直接经验的获得，而后者侧重于间接经验的获得。学生对“均分”后产生分数有了初步的感知，就可以安排一些带有思维性质的操作性活动，如：通过引导学生进行折纸和画图等活动，想想和哪个大？用涂色的方法说明和哪个大？这样的活动，既有外显操作的行为，也伴随着内隐的思维参与，但更侧重于的是操作本身，让学生从图像中直观地感悟分数的大小，获取的直接经验占据主要的成分。显然，不同的呈现方式，对学生的思维的要求是有区别的，即便是分桃子，将一只桃子进行均分，与将一大一小两只桃子进行均分，对学生的思维挑战就不在一个层面上。如上图，学生当然可以通过“操作地思考”，寻求到解决问题的答案。但是，更适宜的方法却是进行“思考地操作”，亦即，这一操作的过程可以在脑中完成，然后只要通过实验去验证一下就可以了，其思考的依据是，两个部分量的相加，应该等于整个量的。再如：小明看了一本书的，小红看了一本书的，他们俩谁看得页数多？一个图形的是，原来的图形是怎样的？事实上，解决这两个问题，学生如果先行实验，或许会对寻求问题的正解产生误导。比如学生用一样大小的纸做实验模型，结果只能发现小明看的页数多。同样，学生处理第二个问题时，画成，也会影响其对离散图形的进一步思考。不难分析，对实验之前的先行思考，即“思考地操作”恰恰反映了学生对概念的本质的认知水平，因为这种先行的思考，带有很强的策略意味儿，是学生多次开展类似的开放性活动后形成的心理敏感机制，属于典型的个体知识。应该说，这种方法性活动经验对学生的学习而言，显得尤为重要，它是将学生的数学学习上升到“数学思想”境界的必要桥梁。 三、重概括、重反思，增进学生的内隐能力，积累“数学地思考”的经验概括是形成和掌握概念的直接前提。如果没有概括，学生就不可能掌握概念，从而由概念所引申的定义、定理、法则、公式等就无法被学生所掌握；没有概括，就无法进行逻辑推理，思维的深刻性和批判性就无从谈起；没有概括，就不可能产生灵活的迁移，思维的灵活性和创造性就无法形成；没有概括，就无法实现思维的“缩减”与“浓缩”，思维的敏捷性也就无从体现，学生掌握概念，直接受思维概括水平的制约。从前面的分析可以看出，学生掌握分数的概念，大致要经历几个不同的阶段：首先，对已有生活经验和教师呈现的具体事例的各种属性进行分化，在经过分析、综合、比较而抽象出共同的、本质的属性或特征，然后再概括起来。其次，再进行类化，把概括而得的本质属性推广到同类事物中去，这既是一个概念的运用过程，又是一个在高层次上的抽象概括过程。最后，把新获得的概念纳入到概念系统中去，即要建立起新概念与已有的相关概念之间的联系，这是概括的高级阶段。因此，教师应该把学生对具体例证进行分化和类化当成概念教学的重要环节，使学生掌握分化和类化的基本技巧，从而逐步学会自己分析材料、比较属性，并概括出关键属性，以逐步培养概括能力。学生概括能力的强弱，带有很强的个性特征，是学生的一种内隐能力。教学无法也不必让所有的学生达到一致的水平。但是，通过传授相关的策略，特别是，引导学生通过适当的反思，可以帮助学生在原有的基础得到适当的提高。为此，教师要帮助学生反思他们自己在学习活动中的缄默知识，使他们学会不断地从自己显性的观点和想法中分析自己所使用的那些缄默的认识模式，从而不断地提高他们元认知的水平，提高对自己的学习行为进行自我分析和自我管理的能力。引导学生进行反思，不仅是课堂教学的一个重要环节，也是帮助学生积累基本活动经验的一个重要渠道。如果学生在获得数学概念后就此终止，不对获得概念的过程进行回顾和反思，那么数学活动就有可能停留在经验水平上，事倍功半。如果学生在抽象出概念后能对思路进行检验和自我评价，探索成功的经验或失败的教训，那么学生的思维就会在更高的层次上进行再概括，从而可以对概念的认识上升到理性水平，长此以往，学生便学会了“数学地思考”，使自己的思维变得条理化、清晰化、精确化、概括化，而这，便促进了数学素养的形成。从概念本身的教学来看，我们固然希望学生的已有经验既要有我们想象的相似性、共通性，又不要有太多与概念无关的干扰。但是，学生的活动经验相当部分来自于日常的生活，而生活经验的提供途径和方式并不遵守学校教育的法则，所以学生所获取的经验成分中，带有相当程度的模糊性、片面性，甚至有不少的错误藏匿其中。学生由整数加法的经验迁移而产生“+=”的想法，便是较好的例证。教学的任务就在：对学生既有的经验进行筛选、整理、优化和提升，实现经验的改造或重新改组，以帮助学生生成新的经验，促进学生的经验上升到更高水平，让模糊的变得清晰起来，让片面的变得完善起来，让错误的变得正确起来。让零散的变得结构化起来，而这，就是基于了学生的基本活动经验，引领学生经历的“数学化”过程。这是基本活动经验培养的高级境界 以生活经验推动数学理解著名数学家华罗庚说:“人们对数学产生枯燥无味、神秘难懂的印象，成因之一便是脱离实际。”数学来源于生活，并且应用于生活。因此，数学教学要重视激活并利用学生的生活经验。如果脱离了那些丰富多彩而又错综复杂的生活背景材料，小学生将很难展开生动有趣的数学学习活动。一、以生活情境类比心理学研究表明，当学习内容和学生熟悉的生活情境越贴近，学生自觉接纳知识的程度就越高。所以，教师要善于挖掘数学内容中的生活情境，从中引出数学问题，引发学习的需要，从而使学生能积极主动地投入到学习和探索中。有位教师教学组合图形面积的计算，在导入新课时，教师出示生活中常见的家具图片，学生指出分别是“橱”与“柜”之后，教师再出示“组合家具”图片。在学生说出“组合家具”并说明是将不同的橱、柜组合成为一个整体之后，教师指出：家具可以组合，图形也可以组合。接着，让学生从课前准备的长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形纸板中选择两个或两个以上的图形组合成新的图形，并计算组合图形的面积。由“组合家具”引出“组合图形”，有利于学生理解“组合图形”的意义。同时，突出组合图形的形成过程，对后继面积计算的教学起到了铺垫作用。以生活情境作类比，有助于学生理解抽象的数学内容。二、以生活素材感知数学教学应从学生熟悉的、感兴趣的事物出发，为他们提供观察和操作的机会。把教材内容与生活实际有机结合起来，符合学生的认知规律，能使他们体验到数学就在身边，领悟到数学的魅力，感受数学的乐趣。一位教师教学圆柱的表面积时，以一种活动式的组装塑料笔筒（笔筒构成：一张长方形塑料纸，一只塑料圆圈，一只塑料圆形底面）为学具，让学生组装笔筒，认真观察，动脑思考，发现有关的数学知识。学生兴趣盎然地动手操作，在操作中发现：塑料圈是圆柱的底面周长；做笔筒底的圆塑料片相当于圆柱的底面；圆柱的侧面沿着它的一条高展开，是一个长方形，长方形的长和圆柱的底面周长相等，长方形的宽和圆柱的高相等。教师巧妙地以学生熟悉的学习用品作为素材，在操作中感知了圆柱侧面积的构成，为理解侧面积的计算方法积累丰富的感性经验。三、以生活实例启发在数学教学中，教师要注重引导学生调度生活经验解决数学问题，让学生在生活实践中的感知积累为解决数学问题所用。六年级的学生解决这样一个问题：把一个棱长4分米的钢块，锻造成宽是2.5分米，高是2分米的长方体钢块，能锻造多长？理解钢块锻造时形状变了，体积不变是解题的关键。一位教师受美术课上教学生捏橡皮泥的启发，课上先出示一团橡皮泥，迅速把圆柱橡皮泥搓成圆球并启发学生思考：捏橡皮泥时大家有没有注意到，橡皮泥的形状在变，但什么不变呢？学生在这一生活事例的启发下，一下子感悟到解决上述数学问题的关键。学生印象深刻。 动手操作：价值与实施摘 要：小学数学学习过程中的动手操作，其价值不仅在于激发学生的学习兴趣，还在于让学生通过感知积累表象，使学生在亲力亲为中加深认知体验，将学生的思维从无序引向有序，提高课堂交流的准确性和有效性。组织动手操作，要明确操作目的，关注学生已有经验，做好充分准备，引导学生思考操作的数学本质，在交流中提升认识。关键词：动手操作 价值 实施 思考 数学本质新课程实施以来，动手操作成为我们普遍重视的学习方式，小学数学课堂上学生动手操作的机会也明显增加。但在问及为什么要组织学生动手操作时，一些教师会给出这样的理由：动手操作是学生的兴趣所在，有利于活跃数学课堂气氛。基于这样的理由在数学教学中组织动手操作，当然无可厚非，但对动手操作的认识如果仅限于此，则对充分发挥动手操作在数学学习中的价值是不够的。审视小学数学课堂现实，进一步探讨动手操作的价值与实施仍很有必要。一、深刻认识动手操作的价值1动手操作过程中的不断感知，有助于学生在头脑中积累大量表象。布鲁纳认为，动作表象符号是儿童认知发展的程序，也是学生学习过程的认知序列。由动作而积累表象是小学生进行数学学习的重要一环。以图形的学习为例，学生形成图形概念的过程，实质上是一个图形表象不断积累、加工提炼的过程。如何不断积累图形表象，特别是积累大量图形变式的表象，一种非常重要的途径就是经历与图形有关的各种操作活动。比如，在认识某个图形时，可以让学生用各种方法“做”出所要认识的图形，教师也可以将图形提供给学生操作，操作过程中相互之间的交流又可以使学生能够观察到更多的这一图形的变式。这样的过程无疑可以帮助学生在头脑中积累大量的图形表象，从而为学生进一步提升对图形的理性认识奠定坚实的基础。事实上，与图形相关的概念，在小学生的头脑中也是以表象来支撑的。例如，三角形、平行四边形、梯形这几个基本图形都有“高”的概念，学生对于“高”的理解，可以借助教材中的描述性定义来实现，但更为重要的是在不断观察和作图的过程中，积累起关于“高”的各种表象，形成一个动态的、可操作的“高”。数学课程标准在描述空间观念的主要表现时，要求学生“能从复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系”。能否达到这样一个要求，与学生头脑中的图形表象有着密切的关系，而要有效合理地获得这些表象，动手操作是重要的途径。2动手操作过程中的亲历亲为，有助于加深学生的认知体验。有关脑科学的研究表明，在学习活动中如果大脑左右两个半球都能被激活，学习效果将大为增强。在数学学习过程中融入动手操作，有助于同时激活大脑的左右半球，从而使学生对在操作过程中获得的认知体验更为深刻。例如，一位教师教学3的倍数的特征，在引导学生借助计数器探索出“如果拨一个数所用数珠的颗数是3的倍数，这个数就是3的倍数；否则就不是3的倍数”这一结论之后，组织操作活动启发学生进一步抽象、概括3的倍数的特征。教师首先设问：如果给你一个数，不做除法，你怎样很快地判断它是不是3的倍数？学生回答：看在计数器上拨它要用几颗数珠，然后再判断。随后，教师引导学生在计数器上分别拨出75、203进行判断，在发现有的学生没有操作计数器后教师对此适当暗示。及至让学生判断111是否是3的倍数时，教师鼓励“看谁判断最快”，大多数学生则不再使用计数器拨数，而是说只要把每个数位上的数加起来就是所用数珠的颗数，所以不拨出来照样可以判断。教师顺水推舟：同学们想到的办法真好，连计数器都可以不用了。既然这样，我们就用这样的方法再判断一些数是不是3的倍数。进而，教师引导学生摆脱对计数器的依赖，抽象、概括出3的倍数的特征。上述教学过程不仅通过操作活动让抽象的结论在具体感知中自然得出，而且引导学生经历了比较、分析、抽象、概括等一系列思维活动，拓展了学生参与学习的广度和深度，学生由此获得的体验无疑是深刻的。 3动手操作过程中的直观感受，有助于学生自主发现问题，并使思维从无序走向有序。培养学生发现和提出问题的能力，是创新的基础。在小学数学学习活动中，问题的发现更多依赖于对情境中具体素材的观察和思考，而动手操作则创造了更为生动和丰富的素材。就图形的认识而言，图形特征的最终确认需要经过推理验证，但在推理验证之前，对图形特征的感知大多从无序的直观开始。教学三角形三条边之间的关系，苏教版教材先让学生从4根小棒中任选3根围三角形，在实际操作过程中，学生能够直观地感受能否围成三角形的各种情况，从而发现问题：为什么有的能围成三角形，而有的不能围成三角形呢？至于怎样的3根小棒才能围成三角形这一问题，则需要进一步操作，并观察、体验3根小棒能围成三角形或不能围成三角形的细微过程，再通过交流，使学生的思维从无序走向有序，逐步认识到只有任意两根小棒相加的长度大于第三根小棒，才能够围成三角形。上述教学，学生正是在动手操作中发现了问题，也正是通过操作使思考逐步条理化，从而解决了问题。4操作过程中的动作和材料，有助于克服语言表达能力的局限性，让交流变得更加准确和有效。交流离不开语言，但小学生的语言表达能力具有一定的局限性。年龄越低，学习内容越抽象，这种局限性表现得越明显。如何克服学生语言表达能力的局限性，让数学学习过程中的交流变得更为有效，操作的材料以及操作过程本身可以为交流提供新的媒介。例如，学生在交流关于平行四边形的特性时，未必能够清楚地用语言说明两组对边分别平行并且相等，即使说清楚了，其他同学也未必能清楚地领会其所表述的意思。这时，教师就可以启发学生借助自己的操作演示和所“做”的平行四边形，来准确表达自己的发现。操作过程中的动作和材料，克服了语言表达能力的局限性，让交流变得更加准确和便捷有效。二、精心组织动手操作活动1从已有经验出发，把握动手操作的起点与目的。学生学习数学的已有经验，主要包括知识层面、技能层面和方法层面。以学生到四年级时进一步认识三角形、平行四边形和梯形为例，在知识层面