复数的发展过程.doc

复数的发展过程高祥旭 在高中数学的学习中我们就学习了有关“复数”的知识，知道这是根据实际的需要，在实数的基础上扩充得到的新的数域。这是许多数学家经过200多年不懈努力的结果,下面来看看它的发展过程： 16世纪意大利米兰学者卡当在1545年发表了重要的艺术一书中,公布了三次方程的一般解法,被后人称为“卡当公式”,他是第一个把复数的平方根邪道公式中得数学家.他在讨论能否把10分成两部分,使它们的积为40时.尽管他认为 是没有意义的,可还是把答案写成 就这样把10分成两部分,而答案为40. 1637年,法国数学家笛卡尔在几何学一书中提出：“虚的数”与“实的数相对应”.自此,虚数流传开来,但却引起数学系的一片困惑.很多大数学家都不承认.1702年德国数学家莱布尼茨说：“虚数是神灵循迹的精微而奇异的隐避所,它大概是存在和虚妄两界种的两栖物”.欧拉也说过：“一切形如 , 的数学式子是不可能有的”,“它们纯属虚幻的”. 然而.真理是经得起考验的. 1747年,法国数学家达朗贝尔指出按照多项式的四则运算法则对虚数进行运算法则对虚数进行运算结果总是 （a,b是实数）的形式. 1730年,法国数学家棣莫佛发现公 1748年,欧拉发现了有名的关系式 并且在1777年发表的微分公式中第一次用了i来表示-1的平方根. 1779年,挪威的测量学家成塞尔给虚数以直观的几个解释并首先发表了其作法,但没有引起学术界的重视. 1806年,德国数学家高斯公布了虚数的图象表示法,又在1832年提出“复数”这个名词,并且将复数的知识系统的表述出来.终于虚数在高斯手中得到发展. 自此复数理论才比较完整和系统的建立起来. 然而复数概念的进化是数学史中最奇特的一章，那就是数系的历史发展完全没有按照教科书所描述的逻辑连续性。人们没有等待实数的逻辑基础建立之后，才去尝试新的征程。在数系扩张的历史过程中，往往许多中间地带尚未得到完全认识，而天才的直觉随着勇敢者的步伐已经到达了遥远的前哨阵地。1545年，此时的欧洲人尚未完全理解负数、无理数，然而他们智力又面临一个新的“怪物”的挑战。笛卡尔（Descartes,1596-1650）也抛弃复根，并造出了“虚数”（imaginary number）这个名称。对复数的模糊认识，莱布尼兹（Leibniz,1646- 1716）的说法最有代表性：“圣灵在分析的奇观中找到了超凡的显示，这就是那个理想世界的端兆，那个介于存在与不存在之间的两栖物，那个我们称之为虚的1的平方根。”直到18世纪，数学家们对复数才稍稍建立了一些信心。因为，不管什么地方，在数学的推理中间步骤中用了复数，结果都被证明是正确的。特别是1799年，高斯（Gauss,1777- 1855）关于“代数基本定理”的证明必须依赖对复数的承认，从而使复数的地位得到了近一步的巩固。当然，这并不是说人们对“复数”的顾虑完全消除了。甚至在1831年，棣莫甘（De Morgan,1806- 1871） 在他的著作论数学的研究和困难中依然认为：已经证明了记号 是没有意义的，或者甚至是自相矛盾或荒唐可笑的。然而，通过这些记号，代数中极其有用的一部分便建立起来的，它依赖于一件必须用经验来检验的事实，即代数的一般规则可以应用于这些式子.我们知道，18世纪是数学史上的“英雄世纪”，人们的热情是如何发挥微积分的威力，去扩大数学的领地，没有人会对实数系和复数系的逻辑基础而操心。既然复数至少在运算法则上还是直观可靠的，那又何必去自找麻烦呢？1797年，挪威的韦塞尔写了一篇论文“关于方向的分析表示”，试图利用向量来表示复数，遗憾的是这篇文章的重大价值直到1897年译成法文后，才被人们重视。瑞士人阿甘达给出复数的一个稍微不同的几何解释。他注意到负数是正数的一个扩张，它是将方向和大小结合起来得出的，他的思路是：能否利用新增添某种新的概念来扩张实数系？在使人们接受复数方面，高斯的工作更为有效。他不仅将 a+ bi 表示为复平面上的一点 ( a, b)，而且阐述了复数的几何加法和乘法。他说几何表示可以使人们对虚数真正有一个新的看法，他引进术语“复数”（complex number）以与虚数相对立。在澄清复数概念的工作中，爱尔兰数学家哈米尔顿（Hamilton,1805 1865） 是非常重要的。哈米尔顿所关心的是算术的逻辑，并不满足于几何直观。他指出：复数a+ bi 不是 2 3意义上的一个真正的和，加号的使用是历史的偶然，而 bi 不能加到a 上去。复数a+ bi 只不过是实数的有序数对（a，b），并给出了有序数对的四则运算，同时，这些运算满足结合律、交换率和分配率。 回顾数系的历史发展，似乎给人这样一种印象：数系的每一次扩充，都是在旧的数系中添加新的元素。如分数添加于整数，负数添加于正数，无理数添加于有理数，复数添加于实数。但是，现代数学的观点认为：数系的扩张，并不是在旧的数系中添加新元素，而是在旧的数系之外去构造一个新的代数系，其元素在形式上与旧的可以完全不同，但是，它包含一个与旧代数系同构的子集，这种同构必然保持新旧代数系之间具有完全相同的代数构造。当人们澄清了复数的概念后，新的问题是：是否还能在保持复数基本性质的条件下对复数进行新的扩张呢？答案是否定的。当哈米尔顿试图寻找三维空间复数的类似物时，他发现自己被迫要做两个让步：第一，他的新数要包含四个分量；第二，他必须牺牲乘法交换率。这两个特点都是对传统数系的革命。他称这新的数为“四元数”。“四元数”的出现昭示着传统观念下数系扩张的结束。1878年，富比尼（F.Frobenius, 1849 1917) 证明：具有有限个原始单元的、有乘法单位元素的实系数先行结合代数，如果服从结合律，那就只有实数，复数和实四元数的代数。 数学的思想一旦冲破传统模式的藩篱，便会