【步步高】高考数学总复习 第二讲 不等式的证明及著名不等式配套文档 新人教B版(1).doc

第二讲不等式的证明及著名不等式1基本不等式(1)定理：如果a，br，那么a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立(2)定理(基本不等式)：如果a，b0，那么_，当且仅当_时，等号成立也可以表述为：两个_的算术平均_它们的几何平均(3)利用基本不等式求最值：对两个正实数x，y，如果它们的和s是定值，则当且仅当_时，它们的积p取得最_值；如果它们的积p是定值，则当且仅当_时，它们的和s取得最_值2三个正数的算术几何平均不等式(1)定理如果a，b，c均为正数，那么_，当且仅当_时，等号成立即三个正数的算术平均_它们的几何平均(2)基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，an，它们的算术平均_它们的几何平均，即_，当且仅当_时，等号成立3柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时等号成立(2)设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1,2，n)时，等号成立(3)柯西不等式的向量形式：设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立4证明不等式的方法(1)比较法求差比较法知道abab0，ababb，只要证明_即可，这种方法称为求差比较法求商比较法由ab01且a0，b0，因此当a0，b0时要证明ab，只要证明_即可，这种方法称为求商比较法(2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的_，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式_的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立(5)放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地_，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立(6)数学归纳法设pn是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题p1(或p0)成立；(2)在假设pk成立的前提下，推出pk1也成立，那么可以断定pn对一切自然数成立1已知a0，b，则a，b的大小关系为_2已知a、b、m均为正数，且a0，b0，则plg(1)，qlg(1a)lg(1b)的大小关系为_5设a、b、c是正实数，且abc9，则的最小值为_.题型一柯西不等式的应用例1已知3x22y26，求证：2xy.思维升华使用柯西不等式时，关键是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式子，二维形式的柯西不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时等号成立若3x4y2，则x2y2的最小值为_题型二用综合法或分析法证明不等式例2已知a，b，c(0，)，且abc1，求证：(1)(1)(1)(1)8；(2).思维升华用综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野设a，b，c0，且abbcca1.求证：(1)abc；(2) ()题型三放缩法或数学归纳法例3若nn*，sn，求证：sn.思维升华(1)与正整数n有关的不等式证明问题，如果用常规方法有困难，可以考虑利用数学归纳法来证明在利用数学归纳法证明不等式时，在第二步骤中，要注意利用归纳假设同时，这一步骤往往会涉及分析法、放缩法等综合方法本题可用数学归纳法进行证明，但较麻烦(2)放缩法证明不等式，就是利用不等式的传递性证明不等关系常见的放缩变换有，.上面不等式中kn*，k1.求证：12(n2，nn)利用算术几何平均不等式求最值典例：(5分)已知a，b，c均为正数，则a2b2c22的最小值为_思维启迪(1)a2b2c2，分别用算术几何平均不等式；(2)相加后又构成用算术几何平均不等式的条件解析因为a，b，c均为正数，由算术几何平均不等式得a2b2c23(abc)，3(abc)，所以29(abc).故a2b2c223(abc)9(abc).又3(abc)9(abc)26，当且仅当abc时，式和式等号成立当且仅当3(abc)9(abc)时，式等号成立即当且仅当abc3时，原式取得最小值6.答案6温馨提醒(1)利用算术几何平均不等式求最值问题，是不等式问题中的一个重要类型，重点要抓住算术几何平均不等式的结构特点和使用条件(2)在解答本题时有两点容易造成失分：一是多次运用算术几何平均不等式后化简错误；二是求解等号成立的a，b，c的值时计算出错.方法与技巧1不等式的证明方法灵活，要注意体会，要根据具体情况选择证明方法2柯西不等式的证明有多种方法，如数学归纳法，教材中的参数配方法(或判别式法)等，参数配方法在解决其它问题方面应用比较广泛柯西不等式的应用比较广泛，常见的有证明不等式，求函数最值，解方程等应用时，通过拆常数，重新排序、添项，改变结构等手段改变题设条件，以利于应用柯西不等式失误与防范1利用基本不等式必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合几个著名不等式的特征2注意检验等号成立的条件，特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立.a组专项基础训练1若|b|；ab2；2ab.其中正确的是_2若t1，t2，则当s，m，nr时，t1与t2的大小为_3设0x0，y0，m，n，则m、n的大小关系为_6若a，br，且ab，m，n，则m、n的大小关系为_7若a，b，c(0，)，且abc1，则的最大值为_8已知a，b，c为正实数，且a2b3c9，则的最大值为_9(2013天津)设ab2，b0，则当a_时，取得最小值10设a0，b0，则以下不等式，a|ab|b；a2b24ab3b2；ab2中恒成立的序号是_b组专项能力提升1已知x0，y0，且1，则xy的最小值为_2函数yx2(13x)在上的最大值是_3(2013陕西)已知a，b，m，n均为正数，且ab1，mn2，则(ambn)(bman)的最小值为_4已知a，b为实数，且a0，b0.则的最小值为_5p(x0，y0，z0)与3的大小关系是_6已知x22y23z2，则3x2yz的最小值为_7设a，b，c都是正数，那么三个数a，b，c_.(填序号)都不大于2；都不小于2；至少有一个大于2；至少有一个不小于2.答案基础知识自主学习要点梳理1(2)ab正数不小于(即大于或等于)(3)xy大xy小2(1)abc不小于(2)不小于a1a2an4(1)ab01(2)充分条件(4)相反(5)放大或缩小夯基释疑1ab2mn解析mn0，即mbc解析分子有理化得a，b，cabc.4pq解析lg(1a)lg(1b)lg.(1a)(1b)1(ab)ab12ab(1)2，1，lg(1)lglg(1a)lg(1b)，即lg(1)lg(1a)lg(1b)pq.52解析(abc)()2()2()2()2()2()2218.2.的最小值为2.题型分类深度剖析例1证明由于2xy(x)(y)，由柯西不等式(a1b1a2b2)2(aa)(bb)得(2xy)2()2()2(3x22y2)()6611，|2xy|，2xy.跟踪训练1解析由柯西不等式(3242)(x2y2)(3x4y)2，得25(x2y2)4，所以x2y2.不等式中当且仅当时等号成立，x2y2取得最小值，由方程组解得因此当x，y时，x2y2取得最小值，最小值为.例2证明(1)a，b，c(0，)，ab2，bc2，ca2，(1)(1)(1)8.(2)a，b，c(0，)，ab2，bc2，ca2，2(abc)222，两边同加abc得3(abc)abc222()2.又abc1，()23，.跟踪训练2证明(1)要证abc，由于a，b，c0，因此只需证明(abc)23.即证：a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即证：a2b2c2abbcca.而这可以由abbccaa2b2c2 (当且仅当abc时等号成立)证得原不等式成立(2) .在(1)中已证abc.因此要证原不等式成立，只需证明.即证abc1，即证abcabbcca.而a，b，c.abcabbcca (abc时等号成立)原不等式成立例3证明n(n1)n2，sn12n.又n，sn(1)(2)(n).snk2k(k1)，k2，即，分别令k2,3，n得1；将上述不等式相加得：1，即1，1a2，a0，b0得ba.又cb(1x)0得cb，知c最大44解析(1)(1)(1)24.5mm.6mn解析ab，2，2，22，.即mn.7.解析()2(111)2(121212)(abc)3.当且仅当abc时，等号成立()23.故的最大值为.8.解析 ，故最大值为.92解析由于ab2，所以，由于b0，|a|0，所以21，因此当a0时，的最小值是1；当a0，b0，ab2.故不恒成立中ab|ab|恒成立中a2b24ab3b2a24ab4b2(a2b)20，故不恒成立中由ab0及ab22恒成立，因此只有正确b组116解析x0，y0，1，xy(xy)1061016，当且仅当时，上式等号成立又1，x4，y12时，(xy)min16.2.解析由yx2(13x)xx(13x)3.32解析由柯西不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时“”成立，得(amb