广东省中山市高考数学 备考资料 解析几何专题研究素材.doc

中山2016年高考数学备考研究解析几何专题 “代数几何熔一炉，乾坤变幻坐标书. 图形百态方程绘，曲线千姿运算求.” 这首美妙的诗歌精准的描述了解析几何. 高考如何备战平面解析几何，归纳如下意在抛砖引玉.一、2015年全国卷考试大纲与说明考试大纲涵盖考试范围、命题思想及趋势，考试说明进一步明确试卷结构及示范题型. 高考备考，必须准确把握考试大纲及考试说明的具体要求. 2015年全国高考考试大纲与考试说明（文/理科数学）解析几何内容对比内容2015年全国高考考试大纲要求考试说明具体要求直线与方程 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率计算公式 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离相同圆与方程 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 初步了解用代数方法处理几何问题的思想相同空间直角坐标系 了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置 会推导空间两点间的距离公式相同圆锥曲线 了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 文：掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质 理：掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质 文：了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质 理：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质 理解数形结合的思想 了解圆锥曲线的简单应用几何性质后注明了“（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）”文：无曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系文：无2015年广东高考数学考试大纲中，解析几何部分的要求与全国卷无差异。二、近五年全国卷解析几何考点统计20112015年全国新课标卷i（文科数学）解析几何考点分布统计表年份客观题（选择与填空）解 答 题分值2011第11题 圆的方程、两点间距离公式第16题 双曲线定义与性质、角的内角平分线性质定理第22题 直线方程、平面向量坐标运算、点与椭圆位置关系、直线与椭圆交点坐标、四点共圆222012第4题 椭圆离心率等几何性质第10题 抛物线准线、直线与双曲线位置关系、双曲线方程及几何性质第20题 圆的方程、抛物线定义、直线与抛物线位置关系、点到直线距离公式、平行直线222013第4题 双曲线离心率、渐近线等性质第8题 抛物线方程、焦点、定义第21题 圆的方程、圆与圆的内切、椭圆定义、直线与圆相切、点线距离公式、直线与椭圆相交及弦长222014第4题 双曲线方程、离心率第10题 抛物线方程、定义第20题 圆方程及几何性质、动点轨迹、直线与圆相交及三角形面积222015第5题 抛物线方程、焦点与准线等性质，椭圆方程、离心率与焦点等性质第16题 双曲线的定义、直线与双曲线相交时的交点坐标、几何最值问题第20题 直线与圆的位置关系、平面向量数量积、相交问题的方程组及韦达定理2220112015年全国新课标卷i（理科数学）解析几何考点分布统计表年份客观题（选择与填空）解 答 题分值2011第7题 双曲线方程与几何性质、直线与双曲线位置关系第14题 椭圆方程、定义、性质等第20题 平面向量坐标运算、动点轨迹、直线与抛物线相切、点线距离公式222012第4题 椭圆离心率等几何性质第8题 抛物线准线、直线与双曲线位置关系、双曲线方程及几何性质第20题 圆的方程、抛物线定义、直线与抛物线位置关系、点到直线距离公式、平行直线222013第4题 双曲线离心率、渐近线等性质第8题 直线与椭圆相交的中点问题第20题 圆的方程、圆与圆的内切、椭圆定义、直线与圆相切、点线距离公式、直线与椭圆相交及弦长222014第4题 双曲线焦点到渐近线距离第10题 抛物线方程与性质、向量数乘第20题 椭圆方程及几何性质、直线与椭圆相交问题及三角形面积222015第5题 双曲线方程及焦点坐标、平面向量数量积坐标运算第14题 椭圆方程与顶点等性质、圆的标准方程第20题 抛物线的切线、直线与抛物线的位置关系、相交问题的方程组及韦达定理22三、全国卷解析几何命题特点之剖析1. 题型结构稳定，模型主调清晰近五年全国课标卷i中对解析几何的考查，均是2个客观题和1个解答题，分值22分，说明题型结构十分稳定. 从近五年的考点分布来看，直线单独考查几率小，理科与向量交汇几率大；客观题以双曲线、椭圆、抛物线为主；文科解答题以圆与椭圆为主，理科解答题以椭圆与抛物线为主，符合考纲中关于圆锥曲线的考查要求.2. 立足基本性质，热点问题频现曲线的方程与几何性质，是解析几何考查时的重中之重. 由方程得几何性质，由几何性质求方程，或者运用几何性质直接解决问题，是解题的必经之路. 从近五年的考点分布表看出，每年均涉及到一些经典的热点问题，例如弦长、中点、轨迹、方程组与韦达定理或判别式、圆锥曲线中的三角形等.3. 姊妹题区分大，解答题大不同对比2015年全国课标卷i中的文科数学与理科数学关于解析几何的考查试题，发现姊妹题的模型不同，问题不同，有别于广东卷中关于姊妹题的设计.（2015年全国卷.文5）已知椭圆e的中心为坐标原点，离心率为，e的右焦点与抛物线的焦点重合，是c的准线与e的两个交点，则（a） （b）6 （c）9 （d）12（2015年全国卷.理5）已知m（x0，y0）是双曲线c：上的一点，f1、f2是c上的两个焦点，若0，则y0的取值范围是（a） （b） （c） （d）（2015年全国卷.文16）已知是双曲线的右焦点，p是c左支上一点，当周长最小时，该三角形的面积为 （2015年全国卷.理14）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 （2015年全国卷.文20）已知过点且斜率为k的直线l与圆c：交于m，n两点.（i）求k的取值范围；（ii），其中o为坐标原点，求.（2015年全国卷.理20）在直角坐标系xoy中，曲线c：y=与直线(0)交与m,n两点.（）当k=0时，分别求c在点m和n处的切线方程；（）y轴上是否存在点p，使得当k变动时，总有opm=opn？说明理由.4. 创新试题缺失，解答探索不够科学技术日新月异的时代，需要培养创新人才，教学与考查中均应重视创新试题的命制. 创新的特点，应当是贴近生活实际，或问题需要探索，结论是开放的，例如是否存在型、新颖定义型等. 从近五年的全国课标卷i的解析几何试题来看，创新试题的力度不够，解答题趋于常规. 在近5年的全国课标卷i中，客观题均未涉及创新，解答题也仅是2015年理科数学第20题涉及了是否存在的探索. 另一遗憾是近5年解几试题无一配图.四、解析几何之解题通法与策略梳理运用高中阶段所学解析几何知识解决问题时，要求所学知识能熟记于心且熟练运用，同时需要掌握解题的一些通法与策略.1. 方程性质与直译法曲线方程与几何性质，是解析几何的主线. 给出曲线的方程，直接得出相关几何性质；给出相关几何性质，直接写出曲线方程，这就是解决解析几何问题时常用的直译法.例1（2014年全国卷.理4）已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为 a. b. 3 c. d. 解析：双曲线c方程化为，则，.又渐近线方程为，即.所以焦点到渐近线距离为：. 选a.评析：将双曲线方程化为标准方程，由此直接写出焦点坐标与渐近线方程，再根据点线距离公式完成计算. 注意由双曲线方程直接写渐近线方程的技巧，同时不能混淆双曲线中的与椭圆中的.2. 焦点半径与定义法利用圆锥曲线的定义，常常能轻松求解圆锥曲线中有关焦半径、过焦点的弦长、与焦点相关的三角形等问题.例2（2014年全国卷.文10）已知抛物线c：的焦点为f，是c上一点，则 a. 1 b. 2 c. 4 d. 8解析：由抛物线c：，知，.根据抛物线定义，得，解得，选a.评析：线段af为抛物线的一条焦半径，容易联想到利用抛物线的定义解决问题，将抛物线上的点到焦点的距离，转化为该点到准线的距离. 将两点距离转化为点线距离，从而减少了计算量.3. 相交相切与方程法相交、相切是解析几何中最为常见的两种位置关系，特别是直线与圆锥曲线的相交，更是热点考查内容. 解决此类问题，常见的办法是联立直线与圆锥曲线的方程组，将几何问题化归为方程求解的代数问题.例3（2014年全国卷.理20）已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.（）求的方程；（）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.解析：（）设由题意可知，解得又，所以. 故的方程为：（）当轴时，不合题意，故设，联立方程组，消y得：当，即时，从而.又点到直线的距离为，所以的面积为：设，则，因为，即时等号成立，且满足，所以的面积最大时，l的方程为：或评析：解答第1问时，扣住椭圆的焦点、离心率，由两点斜率公式及，求出椭圆中的a与b，从而写出椭圆标准方程. 这一过程，相当于联立了三个方程求解.第2问研究直线与椭圆相交时的几何最值问题，由相交而想到联立直线与椭圆方程所组成的方程组；根据几何最值的研究对象（弦与原点构成三角形的面积），想到由弦长公式求出弦长，以及由点线距离公式求高，从而得到目标函数，再进一般研究函数最大值.4. 弦长距离与公式法点线距离与圆锥曲线中的弦长，是解析几何考查的热点，解决这两个问题时，分别需要利用点线距离公式与相关的弦长公式.例4（2014年全国卷ii.理10）设f为抛物线c:的焦点，过f且倾斜角为30的直线交c于a、b两点，o为坐标原点，则的面积为 a. b. c. d. 解析：由知，则，.所以直线ab的方程为：，即.联立方程组，消y得.所以，弦长.又原点o到直线ab的距离为：.所以，的面积为：. 选d.评析：求抛物线过焦点的弦与原点构成三角形的面积，需要计算弦长及原点到弦的距离，从而联立直线与抛物线的方程组，由抛物线过焦点的弦长公式求弦长，由点线距离公式求三角形高，再由三角形面积公式计算面积. 牢记公式并熟练运用显得特别重要.5. 斜率中点与点差法直线与圆锥曲线相交时，若遇弦的中点研究，可以设两交点坐标，代入圆锥曲线方程，两式相减，通过适当的代数变形，化为与中点坐标公式及直线斜率公式关联的代数式，这是解弦的中点问题或被点平分问题常用的点差法，方法的巧妙之处就是设而不求.例5（2013年全国卷i.理10）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点. 若的中点坐标为，则的方程为 a. b. c. d. 解析：设，则：，.两式相减得，即.所以，从而，整理得.又，解，. 选d.评析：点差法的步骤可以归纳为“设两点坐标 代入方程 两式相减 代数变形 结果代入”. 利用点差法，计算量比联立方程组少许多.6. 解几问题与几何法抓住解析几何中图形的几何特征，将几何关系转化为代数关系，这是解析几何中常用的几何法，其实质就是数行结合思想方法的运用.例6（2013年全国卷i.理20）已知圆，圆，动圆p与m外切并且与圆n内切，圆心p的轨迹为曲线 c.（）求c的方程；（）l是与圆p、圆m都相切的一条直线，l与曲线c交于a、b两点，当圆p的半径最长时，求|ab|.解析：由已知得圆m的圆心为，半径；圆n的圆心为，半径设动圆的圆心为，半径为（） 圆与圆外切并且与圆内切， .由椭圆的定义可知，曲线是以为左、右焦点，长半轴长为，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为：（）对于曲线上任意一点，由于（当且仅当圆的圆心为时，）当圆的半径最长时，其方程为：当的倾斜角为时，则与轴重合，可得：；当的倾斜角不为时，由知：不平行轴 设与轴的交点为，则，可求得：点的坐标为：，可设：，由与圆相切得：，解得：当时，将代入，并整理得：，解得：.当时，由图形的对称性可知：综上所述，或评析：动圆与两定圆相切时圆心的轨迹，是最为经典的一例轨迹问题，求此轨迹方程的最佳方法就是几何法，即将三圆的几何关系转化为与椭圆定义相关的几何关系，再根据椭圆的几何特征直接写出方程. 解答第2问时，则可抓住已知条件中的相切与相交的构图，分析图形的几何特征，运用相应几何性质简化运算.五、解析几何高考复习备考策略探讨与广东卷相比，数学高考全国卷的解析几何小题计算量明显加大，解答题则偏向常规，在新常态下，解析几何的高考复习备考该如果应对呢？在“信心比黄金还重要”的年代，首先教师要给自己信心，学生也要给自己信心，然后在知晓近几年考查情况的基础上，切合学生的实际情况，尝试如下通法并灵活变通.1. 知识清，方法清，题型清从对近几年的全国高考数学卷的分析来看，解析几何大题以常规题为主，一般处在倒数第二题的位置，说明命题者也无意加大解析几何的难度. 因此，解析几何复习时，知识、方法、题型三方面可以如下尝试：（1）第一轮复习应以小题与中档解答题为主，确保知识的全覆盖，灵活选用代入检验、筛选排除等方法，掌握解析几何小题的解题技巧，避免“小题大做”. 这些小题以中等难度为主，主要考查方程的求解和简单几何性质的应用，每年常为一选择一填空，是多数学生可以得分的部分. （2）第二轮复习以本文中归纳的六种方法类型为主要方向，采用题组的形式，进行针对性强化训练. 让学生会一题，懂一类，举一反三，触类旁通. 解析几何大题一般的解题模式是“由方程画曲线结合图形审题破题相对繁杂的数式运算求得结果”，过好画图的基础关，突破运算关是解析几何大题的得分关键. 近年的广东卷解析几何大题有减少运算量的尝试，譬如避免使用韦达定理，全国卷没有这方面的特别意图！2. 形铺路，数行路，法探路近几年的全国课标卷i，解析几何题一律没给出图形，而画图是解题的第一关，强调学生养成读题画图的习惯，特别是遇到审题困难时. 审题之后，运用所学解析几何知识，训练形成扎实的数学运算功底，稳健迈出解题各步，结合高中数学常用的数学思想方法（数形结合、函数与方程、分类讨论、等价转化），探索解决解题时遇到的障碍.3. 课时练，单元练，周周练有效练习来自有效的阶段设计与过程监控与反馈. 由于解析几何题大多难度中上，课时练要从学生实际出发，适当分散难点，适当控制难中易的比例. 难点过于集中会影响学生的练习量，制约复习的广度，同时对学生的复习热情也会有负面影响. 周周练是一周复习效果的检验，以本周重要题型为考查重点，兼顾易错题再检测，查漏补缺，贴近实战. 单元练，要通过选题突显重点思想方法的考查，兼顾同类题与变式题的训练，在“反复练，练反复”中达到切实掌握常规题型常规解法，克服存在的问题，达到有效得分的目的.课时练、周周练与单元练是一个整体，是一个由低到高、由点到面的过程. 在练习卷定稿之前教师务必要先做一遍，亲自体会题目的难易程度、知识点考查的吻合度、题目是否有误等，提高选编题的质量.4. 查错误，查疏漏，查边缘文理科数学对解析几何的要求大致相同，但有所区别. 区别之一，理科对“抛物线”的要求是理解层次，而文科是了解层次；区别之二，理科对计算与转化能力的要求也明显高于文科. 因此，在复习策略上，文理科要有所区别，对照考纲与考题“查错误，查疏漏，查边缘”