2019届高考数学复习三角函数解三角形第7讲解三角形应用举例练习理北师大版.docx

第7讲解三角形应用举例一、选择题1.在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若CAB75，CBA60，则A，C两点之间的距离为()A. km B. kmC. km D.2 km解析如图，在ABC中，由已知可得ACB45，AC2(km).答案A2.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A.10海里 B.10海里C.20海里 D.20海里解析如图所示，易知，在 ABC中，AB20，CAB30，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10(海里).答案A3.(2017合肥调研)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与B的距离为()A.a km B. a kmC.a km D.2a km解析由题图可知，ACB120，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcosACBa2a22aa3a2，解得ABa(km).答案B4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为()A.8 km/h B.6 km/hC.2 km/h D.10 km/h解析设AB与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin ，从而cos ，所以由余弦定理得12221，解得v6.选B.答案B5.如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB等于()A.5 B.15C.5 D.15解析在BCD中，CBD1801530135.由正弦定理得，所以BC15.在RtABC中，ABBCtan ACB1515.答案D二、填空题6.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75的方向，则海轮的速度为_海里/分.解析由已知得ACB45，B60，由正弦定理得，所以AC10，所以海轮航行的速度为(海里/分).答案7.江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m.解析如图，OMAOtan 4530(m)，ONAOtan 303010(m)，在MON中，由余弦定理得，MN10(m).答案108.在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30，60，则塔高为_m.解析如图，由已知可得BAC30，CAD30，BCA60，ACD30，ADC120.又AB200 m，AC(m).在ACD中，由余弦定理得，AC22CD22CD2cos 1203CD2，CDAC(m).答案三、解答题9.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上.(1)求渔船甲的速度；(2)求sin 的值.解(1)依题意知，BAC120，AB12，AC10220，BCA.在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC12220221220cos 120784.解得BC28.所以渔船甲的速度为14海里/时.(2)在ABC中，因为AB12，BAC120，BC28，BCA，由正弦定理，得，即sin .10.(2015安徽卷)在ABC中，A，AB6，AC3，点D在BC边上，ADBD，求AD的长.解设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理，得a2b2c22bccosBAC(3)262236cos1836(36)90，所以a3.又由正弦定理，得sin B，由题设知0B，所以cos B.在ABD中，因为ADBD，所以ABDBAD，所以ADB2B.由正弦定理，得AD.11.(2016全国卷)在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cos A()A. B.C. D.解析设BC边上的高AD交BC于点D，由题意B，BDBC，DCBC，tanBAD1，tanCAD2，tan A3，所以cos A.答案C12.如图所示，D，C，B三点在地面同一直线上，DCa，从D，C两点测得A点仰角分别为，()，则点A离地面的高AB等于()A. B.C. D.解析结合题图示可知，DAC.在ACD中，由正弦定理得：，AC.在RtABC中，ABACsin .答案A13.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于_m.解析如图，ACD30，ABD75，AD60 m，在RtACD中，CD60(m)，在RtABD中，BD60(2)(m)，BCCDBD6060(2)120(1)(m).答案120(1)14.如图，在海岸A处，发现北偏东45方向距A为(1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：2.449).解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则有CD10t(海里)，BD10t(海里).在ABC中，AB(1)海里，AC2海里，BAC4575120，根据余弦定理，可得BC(海里).根据正弦定理，可得sinA