开普勒定律的数学解释和现代证明.pdf

第3 5 卷 第1 2 期 数学的实践与认识 V o 1 3 5 N o 1 2 2 0 0 5 年1 2 月 M ATHEM ATI CS I N PRACTI CE AND THE 0RY D e c e m 2 0 0 5 开普勒定律的数学解释及现代证明 吴业明 武警北京指挥学院 北京1 0 0 0 1 2 摘要 牛顿和开普勒关于行星运动的数学解释是科学史上极其重要的两大成就 牛顿对开普勒定律的解 释 虽然包含了许多微积分的基本思想 其推理还是用的相似三角形和几何学 这里 我们可以给出一个 现代的证明方法来解释 牛顿的推算 关键词 开普勒定律 数学解释 现代证明 l 关于行星运动的开普勒定律 我们知道 行星环绕太阳运行 但不是在以太 阳为 中心的圆周轨道上运行 月球环绕地 球运行 但也不是在 以地球为中心的圆周轨道上运行 对星体看似不规则 的行迹 开普勒 K e p l e r J l 5 7 1 1 6 3 0 把二十余年的观测和研究归纳成简洁的几条规律 1 1 开普勒定律 1 每个行星的轨道都是以太 阳为一个焦点的一个椭圆 而且 这些轨道都在包含太阳 在内的一个平面上 2 当一个行星环绕太阳运动时 从太 阳到行星的线段在相同的时间扫过相同的面积 1 1 3 比 值 I 对于每一个环绕太阳运行的行星都是相同的 T为轨道周期 d为轨道的半 长轴 2 牛顿对开普勒定律 的解释 开普 勒定 律 只是描 述性 的 回答 了 是 什么 但没 有解 释 为什 么 而 牛顿 I s a a c N e wt o n 1 6 4 2 一l 7 2 7 的巨大成就在于他发现了导致这些定律的根本原因 2 1 开普勒第二定律和向心运动 我们定义 关于固定点A 的向心运动为加速度向量总是指 向A 的运动 牛顿证 明了向 心运动与服从开普勒第二定律的行星运动是等效的 假设一个物体在一个包含点 的平面上运动 满足从 到物体的线段在相同的时间里 扫过相同的面积 那么这个运动是关于 的向心运动 反之 如果运动是关于 的向心运 动 那么物体是在一个包含 A的平面上运动 而且从 A到物体的线段在相同的时间里扫过 相同的面积 牛顿给出了这个法则的几 向证明 2 2 开普勒第一定律和万有引力 由开普勒第二定律和向心运动的等效性可知 一个行星的加速度 向量总是指 向太阳 但是它的大小是多少 牛顿证明了加速度的大小可以从开普勒第一定律导出 牛顿的结论 收稿 日期 2 0 0 4 1 1 2 6 维普资讯 2 2 0 数学的实践与认识 3 5卷 可表述为 假设一个物体在一个椭 圆上且关于这个椭圆的一个焦点 作 向心运动 设椭圆 的半长轴为d 运动周期为 T 如果 是从物体到焦点 A的距离 那么加速度的大小 n一 这里 与 的平方成反比 矗一 牛顿认识到 当月球围绕地球运行时 必然存在一个力使月球运行的路径弯曲 他领悟 到把苹果拉向地面的力与使月球在它的轨道上加速的力是同一种力 这个力的大小可由万 有引力定律给出F 这里G是一个常数 对于质量为m的行星 绕质量为M的太阳 转动 我们有等式 F 口 了G Mm 即 这里值得关注的是 牛顿对万有引力定律的阐述 解释了开普勒定律不涉及行星质量这 一 事实 同时 也解释了伽利略 G a l il e o G a l i l e i 1 5 6 4 1 6 4 2 的惊人发现 自由落体的 加速度不依赖于该物体的质量 另一方面 由牛顿定律 F mn GM m 导出的关系式 一 代入 d 得 GM 4 Z d 3 可用于计算物体的质量 其中G的实验值大约是 6 6 7 2 6 1 0 叫 牛顿一 米 千克 许多行星的质量就是这样求得的 2 3 开普勒第三定律和轨道数据 2 2 开普勒第三定律说比值 对所有行星是相同的 牛顿证明了常数值 取决于行皇做 轨道运行所围绕物体的质量 即 由此 开普勒第三定理成为我们计算太阳系物体 运动轨道数据的理论依据 3 开普勒定律的现代证明 牛顿在 1 6 8 7年 出版的名著 自然哲学 的数学 原理 P h i l o s o p h i a e Na t u r a l i s P r i n c i p i a Ma t h e ma t i c a 中 严格推导证明了包括开普勒行星运动三大定律 万有引力定律等在内的一 系列结论 对开普勒定律的解释 虽然包含了许多微积分的基本思想 其推理还是用的相似 三角形和几何学 我们给出一个现代的证 明方法 来解释牛顿的推算 3 1 平 面上 的行 星运动 设 是从质量为M 的太 阳中心指 向质量为 的行星中心的径向量 牛顿万有引力定律告诉 我们 行星和太 阳之间的吸引力 F G 丽 M m 1 一 高 图 1 G为万有引力常数 F与 方向相反 图 1 把对作用在行星上的引力同牛顿第二定律F一删 一丌G M m 结合起来 可得n 一一 n与 r的方向表明 加速度在任何时候都指向太阳 同时也可以看出 口是 的数值倍数 维普资讯 l 2 期 吴业明 开普勒定律的数学解释及现代证明 2 2 1 于是 两 向量的叉积 r 口 o 记 一 一 r I 口 百d V 由 一 五 d r 一r r r r 竺 一 r 一 0可 知 r C C为某个常向量 2 这就告诉我们 r和 是位于一个与C相 垂真的一个平面上 如图2 因此 行星在 一 个 过太阳中心且垂直于 C的一个固定平面内 运动 3 2 开普勒第二定律 等面积 证明 图2 开普勒第二定律是说从太阳到行星的径向量在相等的时间里扫过相等的面积 开普勒第一定律的推导用到开普勒第二定律 我们先叙述并证明第二定律 设经过时间 A t 径向量 r 变为 r Z S r 图3 显示r 扫过的面积近似一个三角形 可给出 A A 丢 r r 号 r 丢 丢 r 将上式除以 A t A A 1 r A r 令 一 O 得 d T A 百 1 r V 3 x 由于 r V C是一个常向量 3 式说明面积是在 一 个不变的速率下扫出的 这就是开普勒第二定律 的结 论 3 3 开普勒第一定律 椭圆轨道 证明 开普勒第一定律是说行星的轨道是以太阳为焦点的 椭圆 我们需要把行星的径 向量r表示成 0的函数 引入 极坐标系 见图 4 设 单 位 向 量 U c o s a i 4 s i n 0 j U 0 一 s i n O i c o s O j 指向 方向 且r I r I 垂直 指 向 0 增加的方 向 那么 一一 s i n O i c s O j一 c s O i一 n 一 图 3 将 对 求寻 d u r d ur d O 一 ao 警 d O 一一 dO 因此 速度 d r 一 d r 一 d 五 r 图 十 r r r 加速度 口 d V d 一 一 一 十 2 J 考虑到加速度指向原点 可知 的系数 r 2 r 为 由 口一一 一 7一一r f 维普资讯 2 2 2 数学的实践与认识 3 5 卷 r 一 刑 一 当行星在近 日点 如图5 设 0 可得初始条件 I 一 r o I 0 I I 一 I r r O I I r O I 一 I r O I I I o 一 r 再 讨论 C V r r 十r O r U r r u o 一r r O z 这 里 0 z 令 0 C r r I 0 z r o o Z即 r 一 把结果 代入 4 式 r 一 r z G 了 M 一 G M 将微分方程降阶可得 图5 4 Ft 一 5 一 簧 2G M 一 去 c5 现在用 表示 让 r 2 0 r o T 3 o 的平方 除方程 5 两端得 1 f d r 1 I 2 G Mf 1 1 I J一 一 十 I r r 0 J 整理并积分可得 1 2 GM f 1 2 G M 口 r o T 3 5 2 G M 1一 C O S 丽十I F o 一丽 J 一 一 其 中 P一 GM l P l L b 结果表明行星的轨道是 以太 阳为一个焦点的椭圆 且离心率 一 r o v g l 这就是开普勒第 一 定律的现代表述 3 4 开普勒第三定律 时间一 距离 证明 开普勒第三定律说轨道周期 T 和轨道的半长轴 d 之 比为常数 我们从行星轨道所围 成的面积来推导这个结论 几何公式 椭圆面积 丌 d f 为半长轴 f为半短轴 定 积 分 公 式 椭 圆 面 积 T d J T 1o o r 出 丢 7 1r J J 厶 两个面积相等 可得 7 1 一 f 胛 7 O UO O UO 为 求 利 用 6 式 r 令 丌 得 椭 圆 极 半 径 最 大 值 r 芝r 0 而 长 轴 2 r 0 r n1 r n 2 r 半 长 轴 r 由 7 式 平 方 后 可 得 7 1 一 c 一 T 2 一 2 2 c 一 一 c 一 r o 维普资讯 l 2期 吴业明 开普勒定律的数学解释及现代证明 2 2 3 对于特定的太阳系 等式 一 右端是常数 这就是开普勒第三定律所耍证明的结论 4 结束语 开普勒经验性地发现了行星的运动规律 并对 当时知道的六大行星进行 了描述 牛顿 对开普勒定律的论证 充分显示了数学工具的威力 现代推导表明 从牛顿定律导出开普勒 定律是微积分应用成功的范例 注 释 1 参 见 Tr i s a n Ne e d h a m Ne wt o n a n d t h e Tr a n s mu t a t i o n o f F o r c e Th e Ma t h e ma t i c a l Mo n t h l y V o 1 1 0 0 1 9 9 3 P P 1 1 9 1 3 7 关于牛顿的方法 的报告 参考文献 1 董达英等译 多元微积分E M 北京 高等教育出版社 2 0 0 3 2 叶其孝等译 托马斯微积分 1 0 版 M 北京 高等教育出版社 2 0 0 3 3 赵凯华 罗蔚茵 新概念物理教程 力学 M 北京 高等教育出版社 2 0 0 3 4 李文林 数学史概论 z 版 M 北京 高等教育出版社 2 0 0 2 M a t h e m a t i c a l Ex pl a na t i o n s a nd M o d e r n De mo ns t r a t i o ns a b o u t Ke pl e r La w W U Ye mi n g Ch i n e s e Pe o p l e s Ar me d P o l i c e C o mma n d Ac a d e my o f B e i j i n g Te a c h i n g Di v i s i o n o f Ma t h e ma t i c s a n d Ph y s i c s B e i j i n g 1 0 0 0 1 2 Ch i n a Ab s t r a c t Th e ma t h e ma t i c a l e x p l a n a t i o n s a b o u t p l a n e t s mo t i o n g i v e n b y Ne wt o n a n d Ke p l e r a r e t wo o f t h e m o s t i mp o r t a n t a c hie v e me n t s i n s c i e n c e h i s t o r y Al t h o u g y i n c l u d i n g l o t s o f c a l c u l u s t h i n k i n g t h e e x p l a n a t i o n s t O Ke p l e r l a w g i v e n b y Ne wt o n i s i n f e r r e d wi t h S i mi l a r t r i a n g l e s a n d g e