2019届高考数学复习函数概念与基本初等函数Ⅰ2.4二次函数性质的再研究与幂函数学案理北师大版.docx

2.4二次函数与幂函数最新考纲考情考向分析1.理解并掌握二次函数的定义，图象及性质2.能用二次函数，方程，不等式之间的关系解决简单问题3.了解幂函数的概念4.结合函数yx，yx2，yx3，y，y的图象，了解它们的变化情况.以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程，转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度.1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)ax2bxc(a0)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，顶点坐标为(m，n)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点(2)二次函数的图像和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0，当时，恒有f(x)0.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是.()(2)二次函数yax2bxc，xR不可能是偶函数()(3)在yax2bxc(a0)中，a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小()(4)函数y是幂函数()(5)如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点()(6)当n0时，幂函数yxn是定义域上的减函数()题组二教材改编2已知幂函数f(x)kx的图像过点，则k等于()A. B1 C. D2答案C解析由幂函数的定义，知k1，.k.3已知函数f(x)x24ax在区间(，6)内是减少的，则a的取值范围是()Aa3 Ba3Ca3 Da3答案D解析函数f(x)x24ax的图像是开口向上的抛物线，其对称轴是x2a，由函数在区间(，6)内是减少的可知，区间(，6)应在直线x2a的左侧，2a6，解得a3，故选D.题组三易错自纠4幂函数f(x)(aZ)为偶函数，且f(x)在区间(0，)上是减函数，则a等于()A3 B4 C5 D6答案C解析因为a210a23(a5)22，f(x)(aZ)为偶函数，且在区间(0，)上是减函数，所以(a5)22bc且abc0，则它的图像可能是()答案D解析由abc0和abc知，a0，c0，由c0，排除C.6已知函数yx22x3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为_答案1,2解析如图，由图像可知m的取值范围是1,2题型一求二次函数的解析式典例 (1)已知二次函数f(x)x2bxc满足f(0)3，对任意xR，都有f(1x)f(1x)成立，则f(x)的解析式为_答案f(x)x22x3解析由f(0)3，得c3，又f(1x)f(1x)，函数f(x)的图像关于直线x1对称，1，b2，f(x)x22x3.(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(2,0)且有最小值1，则f(x)_.答案x22x解析设函数的解析式为f(x)ax(x2)，所以f(x)ax22ax，由1，得a1，所以f(x)x22x.思维升华 求二次函数解析式的方法跟踪训练 (1)已知二次函数f(x)ax2bx1(a，bR且a0)，xR，若函数f(x)的最小值为f(1)0，则f(x)_.(2)若函数f(x)(xa)(bx2a)(a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x)_.答案(1)x22x1(2)2x24解析(1)设函数f(x)的解析式为f(x)a(x1)2ax22axa，由已知f(x)ax2bx1，a1，故f(x)x22x1.(2)由f(x)是偶函数知f(x)图像关于y轴对称，a，即b2，f(x)2x22a2，又f(x)的值域为(，4，2a24，故f(x)2x24.题型二二次函数的图像和性质命题点1二次函数的图像典例 (2017郑州模拟)对数函数ylogax(a0且a1)与二次函数y(a1)x2x在同一坐标系内的图像可能是()答案A解析当0a1时，ylogax为减函数，y(a1)x2x开口向下，其对称轴为x0，排除C，D；当a1时，ylogax为增函数，y(a1)x2x开口向上，其对称轴为x0，排除B.故选A.命题点2二次函数的单调性典例 函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是减少的，则实数a的取值范围是()A3,0) B(，3C2,0 D3,0答案D解析当a0时，f(x)3x1在1，)上递减，满足题意当a0时，f(x)的对称轴为x，由f(x)在1，)上是减少的知解得3a0.综上，a的取值范围为3,0引申探究若函数f(x)ax2(a3)x1的递减区间是1，)，则a_.答案3解析由题意知f(x)必为二次函数且a2xm恒成立，则实数m的取值范围是_答案(，1)解析f(x)2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0，令g(x)x23x1m，要使g(x)x23x1m0在1,1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1,1上是减少的，g(x)ming(1)m1.由m10，得m1.因此满足条件的实数m的取值范围是(，1)(2)已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零，则实数a的取值范围为_答案解析2ax22x30在1,1上恒成立当x0时，30，成立；当x0时，a2，因为(，11，)，当x1时，右边取最小值，a.综上，实数a的取值范围是 .思维升华 解决二次函数图像与性质问题时要注意(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域跟踪训练 (1)设abc0，二次函数f(x)ax2bxc的图像可能是()答案D解析由A，C，D知，f(0)c0，从而由abc0，所以ab0，所以对称轴x0，知A，C错误，D满足要求；由B知f(0)c0，所以ab0，所以x0，B错误(2)已知函数f(x)x22ax2a4的定义域为R，值域为1，)，则a的值为_答案1或3解析由于函数f(x)的值域为1，)，所以f(x)min1.又f(x)(xa)2a22a4，当xR时，f(x)minf(a)a22a41，即a22a30，解得a3或a1.(3)设函数f(x)ax22x2，对于满足1x0，则实数a的取值范围为_答案解析由题意得a对1x4恒成立，又22，1，max，a.题型三幂函数的图像和性质1幂函数yf(x)经过点(3，)，则f(x)是()A偶函数，且在(0，)上是增函数B偶函数，且在(0，)上是减函数C奇函数，且在(0，)上是减函数D非奇非偶函数，且在(0，)上是增函数答案D解析设幂函数的解析式为yx，将(3，)代入解析式得3，解得，y，故选D.2若四个幂函数yxa，yxb，yxc，yxd在同一坐标系中的图像如图所示，则a，b，c，d的大小关系是()AdcbaBabcdCdcabDabdc答案B解析由幂函数的图像可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图像越接近x轴，由题图知abcd，故选B.3若(2m1)(m2m1)，则实数m的取值范围是()A. B.C(1,2) D.答案D解析因为函数y的定义域为0，)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于解2m10，得m；解m2m10，得m或m.解2m1m2m1，得1m2，综上所述，m2.思维升华(1)幂函数的形式是yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用典例 (12分)设函数f(x)x22x2，xt，t1，tR，求函数f(x)的最小值思想方法指导 研究二次函数的性质，可以结合图像进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图像的影响，进行分类讨论规范解答解f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，函数图像的对称轴为x1.2分当t11，即t0时，函数图像如图(1)所示，函数f(x)在区间t，t1上为减函数，所以最小值为f(t1)t21；5分当t1t1，即0t1时，函数图像如图(2)所示，在对称轴x1处取得最小值，最小值为f(1)1；8分当t1时，函数图像如图(3)所示，函数f(x)在区间t，t1上为增函数，所以最小值为f(t)t22t2.11分综上可知，f(x)min12分1幂函数yx (mZ)的图像如图所示，则m的值为()A0 B1 C2 D3答案C解析y(mZ)的图像与坐标轴没有交点，m24m0，即0m4.又函数的图像关于y轴对称且mZ，m24m为偶数，m2.2(2018江西九江七校联考)若幂函数f(x)(m24m4)在(0，)上为增函数，则m的值为()A1或3 B1C3 D2答案B解析由题意得m24m41，m26m80，解得m1.3(2017汕头一模)若命题“ax22ax30恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是()Aa0或a3 Ba0或a3Ca0或a3 D0a3答案A解析若ax22ax30恒成立，则a0或可得0a3，故当命题“ax22ax30恒成立”是假命题时，a0或a3.4已知二次函数f(x)满足f(2x)f(2x)，且f(x)在0,2上是增函数，若f(a)f(0)，则实数a的取值范围是()A0，) B(，0C0,4 D(，04，)答案C解析由题意可知函数f(x)的图像开口向下，对称轴为x2(如图)，若f(a)f(0)，从图像观察可知0a4.5已知二次函数f(x)2ax2ax1(a0)，若x1f(x2)Cf(x1)f(x2)D与a值有关答案C解析该二次函数的图像开口向下，对称轴为直线x，又依题意，得x10，又x1x20，当x1，x2在对称轴的两侧时，x1x2，故f(x1)f(x2)当x1，x2都在对称轴的左侧时，由单调性知f(x1)f(x2)综上，f(x1)”连接)答案PRQ解析P3，根据函数yx3是R上的增函数，且，得333，即PRQ.8已知幂函数f(x)x，当x1时，恒有f(x)1时，恒有f(x)1时，函数f(x)x的图像在yx的图像的下方，作出幂函数f(x)x在第一象限的图像(图略)，由图像可知0，故00时，f(x)(x1)2，若当x时，nf(x)m恒成立，则mn的最小值为_答案1解析f(x)为偶函数，当x0，f(x)f(x)(x1)2(x1)2，当x时，f(x)max1，f(x)min0，0f(x)1，m1，n0，(mn)min1.12已知函数f(x)x2(2a1)x3.(1)当a2，x2,3时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在1,3上的最大值为1，求实数a的值解(1)当a2时，f(x)x23x3，x2,3，对称轴x2,3，f(x)minf3，f(x)maxf(3)15，函数f(x)的值域为.(2)对称轴为x.当1，即a时，f(x)maxf(3)6a3，6a31，即a满足题意；当1，即a时，f(x)maxf(1)2a1，2a11，即a1满足题意综上可知，a或1.13已知在(，1上递减的函数f(x)x22tx1，且对任意的x1，x20，t1，总有|f(x1)f(x2)|2，则实数t的取值范围为()A， B1，C2,3 D1,2答案B解析由于函数f(x)x22tx1的图像的对称轴为xt，函数f(x)x22tx1在区间(，1上是减少的，t1.当x0，t1时，f(x)maxf(0)1，f(x)minf(t)t22t21t21，要使对任意的x1，x20，t1，都有|f(x1)f(x2)|2，只需1(t21)2，解得t.又t1，1t.故选B.14当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是_答案