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北京五中2010/2011学年度上学期期中考试试卷高三数学(文科)一 选择题(每题5分,共40分,请把答案填在第3页表中)1设集合,则满足的集合B的个数是( ) 1 3 4 82给出下列命题 :; ;“”的充要条件是“,或”,其中正确命题的个数是 ( ) 0 1 2 33. 设非零向量满足,则与的夹角为( ) 30 60 90 1204.已知等差数列的前20项的和为100,那么的最大值为( ) 25 50 100 不存在5将函数的图象向左平移个单位长度,向上平移1个单位长度,所得图象对应的函数解析式是( ) 6若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点,则的取值范围是( ) 7函数是偶函数,且在区间上单调递减,则与的大小关系为( ) 不能确定8一根竹竿长2米,竖直放在广场的水平地面上,在时刻测得它的影长为4米,在时刻的影长为1米这个广场上有一个球形物体,它在地面上的影子是椭圆,问在、这两个时刻该球形物体在地面上的两个椭圆影子的离心率之比为( ) 1:1 :1 :1 2:1二 填空题(每题5分,共30分,请把答案填在第3页表中)2侧视图2正视图9与垂直的单位向量为_10如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为 1俯视图11已知函数,当时,都有成立,则实数的取值范围为 12已知当时,且恒成立,则当时, 13已知点在曲线上,如果该曲线在点处切线的斜率为,那么 ,此时函数,的值域为 14定义运算符号:“”,这个符号表示若干个数相乘,例如:可将123n记作,其中为数列中的第项.若,则= ; 若 三 解答题(共80分)15在中,、为角、的对边,已知、为锐角,且,(1)求的值; (2)若,求、的值16设关于的二次函数 (I)设集合P=1,2, 4和Q=-1,1,2,分别从集合P和Q中随机取一个数作为函数中和的值,求函数有且只有一个零点的概率;(II)设点(,)是随机取自平面区域内的点,求函数上是减函数的概率.17如图, 在直三棱柱中,,,点是 的中点,(1) 求证:; (2) 求证: 18已知函数.()当时,求的极值;()当时,求的单调区间. 19已知的顶点在椭圆上,在直线上,且()当边通过坐标原点时,求的长及的面积;()当,且斜边的长最大时,求所在直线的方程20已知数列的前项和和通项满足(是常数且)。()求数列的通项公式;() 当时,试证明; ()设函数,是否存在正整数,使对都成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 北京五中2010/2011学年度上学期期中考试试卷高三数学(文科)答案四 选择题(每题5分,共40分,请把答案填在第3页表中)1设集合,则满足的集合B的个数是( C ) 1 3 4 82给出下列命题 :; ;“”的充要条件是“,或”,其中正确命题的个数是 ( C ) 0 1 2 33. 设非零向量满足,则与的夹角为( D ) 30 60 90 1204.已知等差数列的前20项的和为100,那么的最大值为( A ) 25 50 100 不存在5将函数的图象向左平移个单位长度,向上平移1个单位长度,所得图象对应的函数解析式是( A ) 6若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点,则的取值范围是( A ) 7函数是偶函数,且在区间上单调递减,则与的大小关系为( C ) 不能确定8一根竹竿长2米,竖直放在广场的水平地面上,在时刻测得它的影长为4米,在时刻的影长为1米这个广场上有一个球形物体,它在地面上的影子是椭圆,问在、这两个时刻该球形物体在地面上的两个椭圆影子的离心率之比为( A ) 1:1 :1 :1 2:1五 填空题(每题5分,共30分,请把答案填在第3页表中)2侧视图2正视图9与垂直的单位向量为_, _10如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为 1俯视图11已知函数,当时,都有成立,则实数的取值范围为 12已知当时,且恒成立,则当时, 13已知点在曲线上,如果该曲线在点处切线的斜率为,那么 -3 ;函数,的值域为 -2,18 14定义运算符号:“”,这个符号表示若干个数相乘,例如:可将123n记作,其中ai为数列中的第项.若,则T4= 280 ; 若 . 选择题答案题号12345678答案填空题答案9. 10. 11. 12. 13. 14. 六 解答题(共80分)15在中,、为角、的对边,已知、为锐角,且,(1)求的值; (2)若,求、的值解:()、为锐角,又, 6分()由()知,. 由正弦定理得,即, w.w.w. .c.o.m , ,16设关于的一元二次函数 (I)设集合P=1,2, 4和Q=-1,1,2,分别从集合P和Q中随机取一个数作为函数中和的值,求函数有且只有一个零点的概率;(II)设点(,)是随机取自平面区域内的点,求函数上是减函数的概率.解:(I)要使函数有且只有一个零点,当且仅当 2分分别从集合P和Q中随机取一个数作为和,可以是共9个基本事件,其中满足的事件有共2个,所求事件的概率为 . 6分(II)函数的图象的对称轴为 由函数上是减函数,得且0,.8分依条件可知试验的全部结果所构成的区域为,即三角形区域.且 .10分构成所求事件的区域为三角形区域(如图). 由 12分所求事件的概率为 13分17如图, 在直三棱柱中,,,点是 的中点,(3) 求证:; (4) 求证:证明:()可证()设,交于可证所以18已知函数.()当时,求的极值;()当时,求的单调区间. 解: 1分令则 2分00极大值极小值4分当时,5分当时,6分() 7分 当时, 令 得或 8分令 得 9分的单调增区间为,减区间为 .10分当时, 令得或 11分令得 12分的单调增区间为,.减区间为 .13分综上可知,当时,的单调增区间为,单调减区间为;当时,的单调增区间为,单调减区间为 . 19已知的顶点在椭圆上,在直线上,且()当边通过坐标原点时,求的长及的面积;()当,且斜边的长最大时,求所在直线的方程解:()因为,且边通过点,所以所在直线的方程为设两点坐标分别为由 得所以又因为边上的高等于原点到直线的距离所以,()设所在直线的方程为,由得因为在椭圆上,所以设两点坐标分别为,则,所以又因为的长等于点到直线的距离,即所以所以当时,边最长,(这时)此时所在直线的方程为20.已知数列的前项和和通项满足(是常数且
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