高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 1.1 椭圆及其标准方程课件 北师大版选修11.ppt

第二章 1椭圆 1 1椭圆及其标准方程 学习目标1 了解椭圆的实际背景 经历从具体情境中抽象出椭圆的过程 椭圆标准方程的推导与化简过程 2 掌握椭圆的定义 标准方程及几何图形 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点一椭圆的定义 给你两个图钉 一根无弹性的细绳 一张纸板能画出椭圆吗 固定两个图钉 绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键 答案 思考2 在上述画出椭圆的过程中 你能说出笔尖 动点 满足的几何条件吗 笔尖 动点 到两定点 绳端点的固定点 的距离之和始终等于绳长 答案 梳理 把平面内到两个定点f1 f2的距离之和等于的点的集合叫作椭圆 这两个定点f1 f2叫作椭圆的焦点 两个焦点f1 f2间的距离叫作椭圆的焦距 常数 大于 f1f2 知识点二椭圆的标准方程 思考1 椭圆方程中 a b以及参数c有什么几何意义 它们满足什么关系 答案 椭圆方程中 a表示椭圆上的点m到两焦点间距离之和的一半 可借助图形帮助记忆 a b c 都是正数 恰构成一个直角三角形的三条边 a是斜边 c是焦距的一半 a b c始终满足关系式a2 b2 c2 思考2 椭圆定义中 为什么要限制常数 pf1 pf2 2a f1f2 答案 只有当2a f1f2 时 动点m的轨迹才是椭圆 当2a f1f2 时 点的轨迹是线段f1f2 当2a f1f2 时 满足条件的点不存在 梳理 f1 c 0 f2 c 0 f1 0 c f2 0 c c2 a2 b2 题型探究 类型一求椭圆的标准方程 命题角度1焦点位置已知求椭圆的方程例1求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 焦点在x轴上 a b 2 1 c 解答 又由a b 2 1 得a 2b 代入 得4b2 b2 6 解得b2 2 a2 8 又 焦点在x轴上 解答 2a 12 即a 6 c 4 b2 a2 c2 62 42 20 方法二由题意可设椭圆的标准方程为 解得 11或 21 舍去 用待定系数法求椭圆的标准方程的基本思路 首先根据焦点的位置设出椭圆的方程 然后根据条件建立关于待定系数的方程 组 再解方程 组 求出待定系数 最后写出椭圆的标准方程 反思与感悟 跟踪训练1求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 两个焦点的坐标分别是 0 2 0 2 并且椭圆经过点 解答 椭圆的焦点在y轴上 由椭圆的定义知 b2 a2 c2 6 2 焦点在x轴上 且经过两个点 2 0 和 0 1 解答 椭圆的焦点在x轴上 又椭圆经过点 2 0 和 0 1 命题角度2焦点位置未知求椭圆的方程 解答 方法一若焦点在x轴上 设椭圆的标准方程为 同理 得a2 4 b2 8 而a2 b2 与焦点在y轴上矛盾 方法二设椭圆的一般方程为ax2 by2 1 a 0 b 0 a b 如果不能确定焦点的位置 那么求椭圆的标准方程有以下两种方法 一是分类讨论 分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上设出椭圆的标准方程 再解答 二是设出椭圆的一般方程ax2 by2 1 a 0 b 0 a b 再解答 反思与感悟 解答 这与a b相矛盾 故应舍去 方法二设椭圆的标准方程为mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 类型二椭圆方程中参数的取值范围 答案 解析 解得1 m 2 故选a 1 利用椭圆方程解题时 一般首先要化成标准形式 反思与感悟 跟踪训练3已知x2sin y2cos 1 0 表示焦点在x轴上的椭圆 求 的取值范围 解答 x2sin y2cos 1 类型三椭圆定义的应用 例4如图所示 点p是椭圆 1上的一点 f1和f2是焦点 且 f1pf2 30 求 f1pf2的面积 解答 又 p在椭圆上 由余弦定理知 pf1 2 pf2 2 2 pf1 pf2 cos30 f1f2 2 2c 2 4 式两边平方 得 pf1 2 pf2 2 2 pf1 pf2 20 引申探究在例4中 若图中的直线pf1与椭圆相交于另一点b 连接bf2 其他条件不变 求 bpf2的周长 解答 由椭圆的定义 可得 bpf2的周长为 pb pf2 bf2 pf1 pf2 bf1 bf2 1 对于求焦点三角形的面积 结合椭圆定义 建立关于 pf1 或 pf2 的方程求得 pf1 或 pf2 有时把 pf1 pf2 看成一个整体 运用公式 pf1 2 pf2 2 pf1 pf2 2 2 pf1 pf2 及余弦定理求出 pf1 pf2 而无需单独求出 这样可以减少运算量 2 焦点三角形的周长等于2a 2c 设 f1pf2 则焦点三角形的面积为b2tan 反思与感悟 解答 从而 f1f2 2c 2 在 pf1f2中 由勾股定理可得 pf2 2 pf1 2 f1f2 2 即 pf2 2 pf1 2 4 又由椭圆定义知 pf1 pf2 2 2 4 所以 pf2 4 pf1 从而有 4 pf1 2 pf1 2 4 当堂训练 2 3 4 5 1 1 已知f1 f2是定点 f1f2 8 动点m满足 mf1 mf2 8 则动点m的轨迹是a 椭圆b 直线c 圆d 线段 mf1 mf2 8 f1f2 点m的轨迹是线段f1f2 答案 解析 2 3 4 5 1 2 已知椭圆4x2 ky2 4的一个焦点坐标是 0 1 则实数k的值是a 1b 2c 3d 4 答案 解析 3 m n 0 是 方程mx2 ny2 1表示焦点在y轴上的椭圆 的a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分又不必要条件 答案 解析 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 4 已知椭圆的焦点在y轴上 其上任意一点到两焦点的距离和为8 焦距为2 则此椭圆的标准方程为 b2 a2 c2 16 15 1 答案 解析 2 3 4 5 1 5 已知椭圆 1上一点p与椭圆两焦点f1 f2的连线夹角为直角 则 pf1 pf2 48 答案 解析 由于pf1 pf2 所以由勾股定理得 pf1 2 pf2 2 f1f2 2 即 pf1 2 pf2 2 100 又由椭圆定义知 pf1 pf2 2a 14 所以 pf1 pf2 2 2 pf1 pf2 100 即196 2 pf1 pf2 100 解得 pf1 pf2 48