广东省潮州市饶平县第一中学高二数学下学期校级竞赛试题 理.doc

饶平县第一中学2014-2015年高中（理科）数学竞赛试题 （满分120分 考试时间：120分钟） 一、选择题：(本大题共12小题每小题3分；共36分)1、已知复数的虚部为（ ）a b c d 12、已知a(1，a)、a(a，8)两点的直线与直线2xy+1=0平行，则a的值为a.10 b. 2 c. 10 d.-23、已知x与y之间的一组数据： x0123 y1357则y与x的线性回归方程为 必过点 （ ） a .(2,2) b.(1,2) c.(1.5,0) d(1.5,4)4、曲线y=与直线x=1,x=4及x轴所围成的区域的面积是（ ）a bln2 c2ln2 dln225、设随机变量等于 ( ) a. b. c. d.6、某班有48名学生，其中男生32人，女生16人，李老师随机地抽查8名学生的作业，用x表示抽查到的女生人数，则e（x）的值为（ ）abc3d47、把语文、数学、物理、历史、外语这五门课程安排在一天的五节课里，如果数学必须比历史先上，则不同的排法有（）a48 b24c60d1208、设是离散随机变量，且. 又，则的值等于（ ） a.b. c. d.9、一个坛子里有编号为1，2，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（ ）abcd10、如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：是函数的极值点； 是函数的最小值点；在处切线的斜率小于零；在区间上单调递增。则正确命题的序号是（ ）a b c d11、函数（ ）a在上单调递增b在上单调递增，在上单调递减 c在上单调递减 d在上单调递减，在上单调递增12、若关于x的方程x3 3x+m=0在0,2上有根，则实数m的取值范围是（ ）a2,2 b0,2 c2,0 d(,2)(2, )二、填空题：（本大题共6小题；每小题4分，共24分）13. 在直角坐标系中，过双曲线的左焦点作圆的一条切线（切点为）交双曲线右支于，若为线段的中点，则= 14. 如右图，从双曲线的左焦点f引圆的切线fp交 双曲线右支于点p，t为切点，m为线段fp的中点，o为坐标原点，则 momt等于 15.设正数数列的前项之和是，数列前项之积是，且，则数列中最接近108的项是第 项16.若，在区间上是增函数，则方程有且只有一解时p的取值范围是 17. 有一个正四面体，它的棱长为，现用一张圆型的包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小半径为 18. .使关于x的不等式有解的实数k的取值范围是 .三、解答题：（本大题共5小题；共60分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19(本题满分10分)在中，内角，的对边分别为，向量，且（1）求角；（2）若，求的面积的最大值 20 (本题满分12分)如图，在斜三棱柱abca1b1c1中，侧面a1acc1是边长为2的菱形，a1ac60o在面abc中，ab2，bc4，m为bc的中点，过a1，b1，m三点的平面交ac于点n (1)求证：n为ac中点； (2)平面a1b1mn平面a1acc121. （本小题满分10分）甲、乙两名同学参加一项射击游戏，两人约定，其中任何一人每射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两名同学射击的命中率分别为和p ，且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为，假设甲、乙两人射击互不影响.(1)求p的值；(2) 记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为，求的分布列和数学期望.22（本小题满分14分）设（），曲线在点处的切线方程为（）(1)求、的值；(2)设集合，集合，若，求实数的取值范围23（本小题满分14分）已知数列an的相邻两项an，an+1是关于x 的方程x22n x+ bn=0 (nn*)的两根，且a1=1.(1)求数列 an和bn的通项公式；(2)设sn是数列an的前n项的和，问是否存在常数，使得bnsn0对任意nn*都成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.饶平县第一中学2014-2015年高中（理科）数学竞赛试题参考答案一、选择题：(本大题共12小题每小题3分；共36分)题号123456789101112答案dadcbbccdbaa二、填空题：（每题4分，共16分） 13 14 15110 16 17 18 三、解答题：(本大题共5小题共60分)19(本题10分)在中，内角，的对边分别为，向量，且（1）求角；（2）若，求的面积的最大值（1）因为，所以，所以，即， 所以，又，所以 （2）在中，由余弦定理有，所以，由基本不等式，可得，当且仅当时，取等，所以的面积，故的面积的最大值为 21 (本题12分)如图，在斜三棱柱abca1b1c1中，侧面a1acc1是边长为2的菱形，a1ac60o在面abc中，ab2，bc4，m为bc的中点，过a1，b1，m三点的平面交ac于点n (1)求证：n为ac中点； (2)平面a1b1mn平面a1acc1解 (1)由题意，平面abc/平面a1b1c1，平面a1b1m与平面abc交于直线mn，与平面a1b1c1交于直线a1b1，所以mn/ a1b1因为ab/ a1b1，所以mn/ab，所以bca1b1c1mna因为m为ab的中点，所以1，所以n为ac中点 (2)因为四边形a1acc1是边长为2的菱形，a1ac60o 在三角形a1an中，an1，aa12，由余弦定理得a1n， 故a1a2an2a1n2，从而可得a1na90o，即a1nac在三角形abc中，ab2，ac2，bc4，则bc2ab2ac2，从而可得bac=90o，即abac又mn/ab，则acmn因为mna1nn，mn 面a1b1mn，a1n面a1b1mn，所以ac平面a1b1mn 又ac平面a1acc1，所以平面a1b1mn平面a1acc122. （本小题满分10分）甲、乙两名同学参加一项射击游戏，两人约定，其中任何一人每射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两名同学射击的命中率分别为和p ，且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为，假设甲、乙两人射击互不影响.(1)求p的值；(2) 记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为，求的分布列和数学期望.解：(1)设“甲射击一次，击中目标”为事件a，“乙射击一次，击中目标”为事件b，“甲射击一次，未击中目标”为事件，“乙射击一次，未击中目标”为事件，则依题意得， 解得，故p的值为. (2)的取值分别为0，2，4. ， ， ， 的分布列为024pe= 22（本小题满分14分）设（），曲线在点处的切线方程为（）(1)求、的值；(2)设集合，集合，若，求实数的取值范围18【解析】(1)，由题设，又切点为在切线上，。 (2) ，即，设，即，若，在上为增函数，这与题设矛盾；若方程的判别式，当，即时，.在上单调递减， ，即不等式成立，当时，方程，设两根为， ， ，当,单调递增，与题设矛盾，综上所述，23（本小题满分14分）已知数列an的相邻两项an，an+1是关于x 的方程x22n x+ bn=0 (nn*)的两根，且a1=1.(1)求数列 an和bn的通项公式；(2)设sn是数列an的前n项的和，问是否存在常数，使得bnsn0对任意nn*都成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.(1)证法1：an，an+1是关于x 的方程x22n x+ bn=0 (nn*)的两根， 由an+an+1=2n，得，故数列是首项为，公比为1的等比数列. 证法2：an，an+1是关于x 的方程x22n x+ bn=0 (nn*)的两根， ，故数列是首项为，公比为1的等比数列. (2)解：由(1)得，即， sn=a1+ a2+ a3+ an=(2+22+23+2n)(1)+ (1)2