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城区二中九年级数学试题 姓名 一选择题（共7小题）1现有一列式子：552452；55524452；5555244452则第个式子的计算结果用科学记数法可表示为（）A1.11111111016B1.11111111027C1.1111111056D1.111111110172设x、y、z是三个实数，且有，则的值是（）A1BCD3已知实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，则（2xy）2+（2yz）2+（2zx）2的最大值是（）A12B20C28D364如果m为整数，那么使分式的值为整数的m的值有（）A2个B3个C4个D5个5若分式方程有增根，则增根可能是（）A1B1C1或1D06已知方程a=，且关于x的不等式组只有4个整数解，那么b的取值范围是（）A1b3B2b3C8b9D3b47若4与可以合并，则m的值不可以是（）ABCD二填空题（共12小题）8如图，在平面直角坐标系上有个点P（1，0），点P第1次向上跳动1个单位至点P1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，依此规律跳动下去，点P第200次跳动至点P200的坐标是9宋朝时，中国象棋就已经风靡于全国，中国象棋规定马步为：“、”形的对角线（即一次对角线为一步），现定义：在棋盘上从点A到点B，马走的最少步称为A与B的“马步距离”，记作dAB在图中画出了中国象棋的一部分，上面标有A，B，C，D，E共5个点，则在dAB，dAC，dAD，dAE中小的是，最小是步10如图，在平面直角坐标系中，ABC是由ABC经过平移，翻折等变换得到的，其中点P与P是一对对应点若点P的坐标为（a，b），则点P的坐标为（用含a、b的代数式表示）11对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x）即当n为非负整数时，若nxn+，则（x）=n如（0.46）=0，（3.67）=4给出下列关于（x）的结论：（1.493）=1；（2x）=2（x）；若（）=4，则实数x的取值范围是9x11；当x0，m为非负整数时，有（m+2013x）=m+（2013x）；（x+y）=（x）+（y）；其中，正确的结论有（填写所有正确的序号）12若不等式组恰有两个整数解则实数a的取值范围是13若m1，m2，m2015是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若m1+m2+m2015=1525，（m11）2+（m21）2+（m20151）2=1510，则在m1，m2，m2015中，取值为2的个数为14“国十条”等楼市新政的出台，使得房地产市场交易量和楼市房价都一味呈现止涨观望的态势若某一商人在新政的出台前进货价便宜8%，而现售价保持不变，那么他的利润率（按进货价而定）可由目前的x%增加到（x+10）%，x等于15一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的，按照这种倒水的方法，倒了10次后容器内剩余的水量是16一种商品原来的销售利润率是47%现在由于进价提高了5%，而售价没变，所以该商品的销售利润率变成了（注：销售利润率=（售价进价）进价）17阅读材料：的解为；则方程的解x1=2009，x2=18若关于x的分式方程无解，则a=19已知1x2，则的值是三解答题（共11小题）20如图，已知抛物线y=（x27x+6）的顶点坐标为M，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a（xh）2+k（a0），并指出顶点M的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找点R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和点R的坐标；（3）以AB为直径作N交抛物线于点P（点P在对称轴的左侧），求证：直线MP是N的切线21如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与M相交于A、B、C、D四点，其中A、B两点的坐标分别为（1，0），（0，2），点D在x轴上且AD为M的直径点E是M与y轴的另一个交点，过劣弧上的点F作FHAD于点H，且FH=1.5（1）求点D的坐标及该抛物线的表达式；（2）若点P是x轴上的一个动点，试求出PEF的周长最小时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由22抛物线y=ax2+bx+4（a0）过点A（1，1），B（5，1），与y轴交于点C（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB，以CB为边作CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且CBPQ的面积为30，求点P的坐标；（3）如图2，O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E重合），MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值23如图，已知点D在双曲线y=（x0）的图象上，以D为圆心的D与y轴相切于点C（0，4），与x轴交于A，B两点，抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，点P是抛物线上的动点，且线段AP与BC所在直线有交点Q（1）写出点D的坐标并求出抛物线的解析式；（2）证明ACO=OBC；（3）探究是否存在点P，使点Q为线段AP的四等分点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由24如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和PAC的最大面积25已知：如图，在四边形OABC中，ABOC，BCx轴于点C，A（1，1），B（3，1），动点P从点O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为点Q，设点P移动的时间t秒（0t2），OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；（2）用含t的代数式表示点P、点Q的坐标；（3）如果将OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90，是否存在t，使得OPQ的顶点O或顶点Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）求出S与t的函数关系式26问题提出我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差MN，若MN0，则MN；若MN=0，则M=N；若MN0，则MN问题解决如图1，把边长为a+b（ab）的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小解：由图可知：M=a2+b2，N=2abMN=a2+b22ab=（ab）2ab，（ab）20MN0MN类比应用（1）已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克（a、b是正数，且ab），试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低（2）试比较图2和图3中两个矩形周长M1、N1的大小（bc）联系拓广小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图4所示（其中bac0），售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由27化简：，并取一个你喜欢的数代入，求出代数式的值28先化简，再求值：，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的x值，代入求值29先化简，再求值：（），其中x=302017年02月05日zengeshu的初中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共7小题）1（2015河北模拟）现有一列式子：552452；55524452；5555244452则第个式子的计算结果用科学记数法可表示为（）A1.11111111016B1.11111111027C1.1111111056D1.11111111017【分析】根据题意得出一般性规律，写出第8个等式，利用平方差公式计算，将结果用科学记数法表示即可【解答】解：根据题意得：第个式子为55555555524444444452=（555555555+444444445）（555555555444444445）=1.11111111017故选D【点评】此题考查了因式分解运用公式法，以及科学记数法表示较大的数，熟练掌握平方差公式是解本题的关键2设x、y、z是三个实数，且有，则的值是（）A1BCD【分析】首先把通分变为，接着得到xy+yz+zx=2xyz，然后两边同时平方得到x2y2+y2z2+z2x2+2xyz（x+y+z）=4x2y2z2，然后把通分变为=1，然后变为x2y2+y2z2+z2x2=x2y2z2，接着把它代入中即可解决问题【解答】解：，xy+yz+zx=2xyz，两边平方得x2y2+y2z2+z2x2+2xyz（x+y+z）=4x2y2z2，又，=1，x2y2+y2z2+z2x2=x2y2z2，把代入得x2y2z2+2xyz（x+y+z）=4x2y2z2，2xyz（x+y+z）=3x2y2z2，xyz（x+y+z）=3x2y2z22，两边同时除以x2y2z2得=，=故选C【点评】此题主要考查了利用完全平方公式进行恒等式变形然后求代数式的值，是一个竞赛题，比较难，要求学生对于完全平方公式和代数变形比较熟练才能很好的解决问题3（2015黄冈中学自主招生）已知实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，则（2xy）2+（2yz）2+（2zx）2的最大值是（）A12B20C28D36【分析】由题意实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，可以将（2xy）2+（2yz）2+（2zx）2，用x2+y2+z2和（xy+yz+xz）表示出来，然后根据完全平方式的基本性质进行求解【解答】解：实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，（2xy）2+（2yz）2+（2zx）2=5（x2+y2+z2）4（xy+yz+xz）=202（x+y+z）2（x2+y2+z2）=282（x+y+z）228当x+y+z=0时（2xy）2+（2yz）2+（2zx）2的最大值是28故选C【点评】此题主要考查完全平方式的性质及代数式的求值，要学会拼凑多项式4（2016秋乐亭县期末）如果m为整数，那么使分式的值为整数的m的值有（）A2个B3个C4个D5个【分析】分式，讨论就可以了即m+1是2的约数则可【解答】解：=1+，若原分式的值为整数，那么m+1=2，1，1或2由m+1=2得m=3；由m+1=1得m=2；由m+1=1得m=0；由m+1=2得m=1m=3，2，0，1故选C【点评】本题主要考查分式的知识点，认真审题，要把分式变形就好讨论了5（2015秋安陆市期末）若分式方程有增根，则增根可能是（）A1B1C1或1D0【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根所以应先让最简公分母（x+1）（x1）=0，得到增根x=1或1【解答】解：原方程有增根，最简公分母（x+1）（x1）=0，解得x=1或1，增根可能是：1故选：C【点评】增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值6（2014德阳）已知方程a=，且关于x的不等式组只有4个整数解，那么b的取值范围是（）A1b3B2b3C8b9D3b4【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a的值，经检验确定出分式方程的解，根据已知不等式组只有4个正整数解，即可确定出b的范围【解答】解：分式方程去分母得：3aa2+4a=1，即（a4）（a+1）=0，解得：a=4或a=1，经检验a=4是增根，故分式方程的解为a=1，已知不等式组解得：1xb，不等式组只有4个整数解，3b4故选：D【点评】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题意是解本题的关键7（2004十堰）若4与可以合并，则m的值不可以是（）ABCD【分析】根据同类二次根式的定义，把每个选项代入两个根式化简，检验化简后被开方数是否相同【解答】解：A、把代入根式分别化简：4=4=，=，故选项不符合题意；B、把代入根式化简：4=4=；=，故选项不合题意；C、把代入根式化简：4=4=1；=，故选项不合题意；D、把代入根式化简：4=4=，=，故符合题意故选D【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式需要注意化简前，被开方数不同也可能是同类二次根式二填空题（共12小题）8（2012江阴市校级模拟）如图，在平面直角坐标系上有个点P（1，0），点P第1次向上跳动1个单位至点P1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，依此规律跳动下去，点P第200次跳动至点P200的坐标是（51，100）【分析】解决本题的关键是分析出题目的规律，以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第100次跳动后，纵坐标为2002=100；其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第200次跳动得到的横坐标也在y轴右侧P1横坐标为1，P4横坐标为2，P8横坐标为3，依此类推可得到P200的横坐标【解答】解：经过观察可得：以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第200次跳动后，纵坐标为2002=100；其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第200次跳动得到的横坐标也在y轴右侧P1横坐标为1，P4横坐标为2，P8横坐标为3，依此类推可得到：Pn的横坐标为n4+1故点P200的横坐标为：2004+1=51，纵坐标为：2002=100，点P第200次跳动至点P200的坐标是（51，100）故答案填（51，100）【点评】此题主要考查了点的坐标，解决问题的关键是分析出题目的规律，找出题目中点的坐标的规律，总结规律时要注意观察数字之间的联系，大胆的猜想，是近几年出现的常见题目9（2012南京模拟）宋朝时，中国象棋就已经风靡于全国，中国象棋规定马步为：“、”形的对角线（即一次对角线为一步），现定义：在棋盘上从点A到点B，马走的最少步称为A与B的“马步距离”，记作dAB在图中画出了中国象棋的一部分，上面标有A，B，C，D，E共5个点，则在dAB，dAC，dAD，dAE中小的是dAD，最小是2步【分析】此题为新定义题型，要按照题中给出的条件分别找到各个点的马步距离，求出最小的马步距离是dAD，最小是2步【解答】解：答案dAD，最小是2步【点评】主要考查了学生的阅读能力和理解能力，解题的关键是根据题目中所给的材料准确的找到运算法则和规律10（2009长春校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，ABC是由ABC经过平移，翻折等变换得到的，其中点P与P是一对对应点若点P的坐标为（a，b），则点P的坐标为（a+2，b）（用含a、b的代数式表示）【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减【解答】解：由图中可以看出，点B只有向右平移2个单位才能和点B的纵坐标相等，翻折可得到两点关于x轴对称，此时两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数那么点P也是如此转换得到P点P的坐标为（a，b），向右平移2个单位后变为（a+2，b）这点关于x轴的对称点是（a+2，b）故答案为：（a+2，b）【点评】解决本题的关键是根据图形中关键点的转换得到转换方法11（2013乐山）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x）即当n为非负整数时，若nxn+，则（x）=n如（0.46）=0，（3.67）=4给出下列关于（x）的结论：（1.493）=1；（2x）=2（x）；若（）=4，则实数x的取值范围是9x11；当x0，m为非负整数时，有（m+2013x）=m+（2013x）；（x+y）=（x）+（y）；其中，正确的结论有（填写所有正确的序号）【分析】对于可直接判断，、可用举反例法判断，、我们可以根据题意所述利用不等式判断【解答】解：（1.493）=1，正确；（2x）2（x），例如当x=0.3时，（2x）=1，2（x）=0，故错误；若（）=4，则4x14+，解得：9x11，故正确；m为整数，但x不是整数，故（m+2013x）m+（2013x），故错误；（x+y）（x）+（y），例如x=0.3，y=0.4时，（x+y）=1，（x）+（y）=0，故错误；综上可得正确故答案为：【点评】本题考查了理解题意的能力，关键是看到所得值是个位数四舍五入后的值，问题可得解12（2012谷城县校级模拟）若不等式组恰有两个整数解则实数a的取值范围是a1【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知不等式组有两个整数解得出不等式组12a2，求出不等式组的解集即可【解答】解：，解不等式得：x，解不等式得：x2a，不等式组的解集为x2a，不等式组有两个整数解，12a2，a1，故答案为：a1【点评】本题考查了解一元一次不等式（组），不等式组的整数解，关键是能根据不等式组的解集得出关于a的不等式组，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目13（2015雅安）若m1，m2，m2015是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若m1+m2+m2015=1525，（m11）2+（m21）2+（m20151）2=1510，则在m1，m2，m2015中，取值为2的个数为510【分析】通过m1，m2，m2015是从0，1，2这三个数中取值的一列数，（m11）2+（m21）2+（m20151）2=1510从而得到1的个数，由m1+m2+m2015=1525得到2的个数【解答】解：（m11）2+（m21）2+（m20151）2=1510，m1，m2，m2015是从0，1，2这三个数中取值的一列数，m1，m2，m2015中为1的个数是20151510=505，m1+m2+m2015=1525，2的个数为（1525505）2=510个故答案为：510【点评】此题考查完全平方的性质，找出运算的规律利用规律解决问题14（2014重庆模拟）“国十条”等楼市新政的出台，使得房地产市场交易量和楼市房价都一味呈现止涨观望的态势若某一商人在新政的出台前进货价便宜8%，而现售价保持不变，那么他的利润率（按进货价而定）可由目前的x%增加到（x+10）%，x等于15【分析】首先设进货价钱为X，售价为Y，由题意可得，=（x+10）%x%，然后求解即可求得答案【解答】解：设进货价钱为X，售价为Y，由题意可得，=（x+10）%x%，解得，Y=115%x，代入 =（x+10）%，=x%，解得：x=15，x等于15故答案为15【点评】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是根据题意列方程：=（x+10）%x%15（2013成都校级自主招生）一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的，按照这种倒水的方法，倒了10次后容器内剩余的水量是【分析】根据题意，易知倒出的水的规律，第n次倒出的水=，然后从1升水中逐次减去每一次倒的水，再进行计算即可【解答】解：根据题意可知第一次倒出：，第二次倒出：，第三次倒出：，第n次倒出：，第10次倒出：，倒了10次后容器内剩余的水量=1（+）=1（+）=1（1）=故答案是【点评】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是注意寻找规律，如：第n次倒出：；以及=16（2013河北模拟）一种商品原来的销售利润率是47%现在由于进价提高了5%，而售价没变，所以该商品的销售利润率变成了40%（注：销售利润率=（售价进价）进价）【分析】因为销售利润率=（售价进价）进价，设原来的售价是b，进价是a，可得到用a表示b的关系式，然后根据现在由于进价提高了5%，而售价没变，可得到现在的利润率【解答】解：设原来的售价是b，进价是a，100%=47%b=1.47a100%=40%故答案为：40%【点评】本题考查理解题意的能力，关键是设出进价和售价两个未知数，以及知道销售利润率=（售价进价）进价从而求出结果17（2012深圳模拟）阅读材料：的解为；则方程的解x1=2009，x2=【分析】根据题中的阅读材料可知：把所求方程两边加上1，变为的形式，得到相应的m和c的值，与阅读材料中解的特点即可求出方程的两个解【解答】解：把方程变为：（x+1）+=2010+，根据题意可知：m=1，c=2010，即x+1=c或x+1=，则原方程的解为：x1=c1=2009，x2=1=故答案为：【点评】本题属于阅读理解型的题，学生作此类题应注意从阅读材料中提取有价值的结论，同时利用题中的结论类比得到所求方程的解做此题时注意所求方程的未知数是x+118（2009鸡西）若关于x的分式方程无解，则a=1或2【分析】分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的x能令最简公分母为0，据此进行解答【解答】解：方程两边都乘x（x1）得，x（xa）3（x1）=x（x1），整理得，（a+2）x=3，当整式方程无解时，a+2=0即a=2，当分式方程无解时：x=0时，a无解，x=1时，a=1，所以a=1或2时，原方程无解故答案为：1或2【点评】分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根19（1997内江）已知1x2，则的值是2【分析】由于（）2=x12+=x+3，又，由此可以得到（）2=4，又由于1x2，由此可以得到的值0，最后即可得到的值【解答】解：（）2=x12+=x+3，又，（）2=4，又1x2，0，=2故填：2【点评】此题解题关键是把所求代数式两边平方，找到它和已知等式的联系，然后利用联系解题三解答题（共11小题）20（2015柳州）如图，已知抛物线y=（x27x+6）的顶点坐标为M，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a（xh）2+k（a0），并指出顶点M的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找点R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和点R的坐标；（3）以AB为直径作N交抛物线于点P（点P在对称轴的左侧），求证：直线MP是N的切线【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式，然后根据二次函数的性质求出抛物线的顶点坐标；（2）连接BC，则BC与对称轴的交点为R，此时CR+AR的值最小；先求出点A、B、C的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，进而求出其最小值和点R的坐标；（3）设点P坐标为（x，x2+x3）根据NP=AB=列出方程（x）2+（x2+x3）2=（）2，解方程得到点P坐标，再计算得出PM2+PN2=MN2，根据勾股定理的逆定理得出MPN=90，然后利用切线的判定定理即可证明直线MP是N的切线【解答】（1）解：y=（x27x+6）=（x27x）3=（x）2+，抛物线的解析式化为顶点式为：y=（x）2+，顶点M的坐标是（，）；（2）解：y=（x27x+6），当y=0时，（x27x+6）=0，解得x=1或6，A（1，0），B（6，0），x=0时，y=3，C（0，3）连接BC，则BC与对称轴x=的交点为R，连接AR，则CR+AR=CR+BR=BC，根据两点之间线段最短可知此时CR+AR的值最小，最小值为BC=3设直线BC的解析式为y=kx+b，B（6，0），C（0，3），解得，直线BC的解析式为：y=x3，令x=，得y=3=，R点坐标为（，）；（3）证明：设点P坐标为（x，x2+x3）A（1，0），B（6，0），N（，0），以AB为直径的N的半径为AB=，NP=，即（x）2+（x2+x3）2=（）2，化简整理得，x414x3+65x2112x+60=0，（x1）（x2）（x5）（x6）=0，解得x1=1（与A重合，舍去），x2=2，x3=5（在对称轴的右侧，舍去），x4=6（与B重合，舍去），点P坐标为（2，2）M（，），N（，0），PM2=（2）2+（2）2=，PN2=（2）2+22=，MN2=（）2=，PM2+PN2=MN2，MPN=90，点P在N上，直线MP是N的切线【点评】本题是二次函数的综合题，其中涉及到二次函数的图象与性质、待定系数法求一次函数的解析式、轴对称最短路线问题以及切线的判定等知识，综合性较强，难度适中第（3）问求出点P的坐标是解题的关键21（2015烟台）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与M相交于A、B、C、D四点，其中A、B两点的坐标分别为（1，0），（0，2），点D在x轴上且AD为M的直径点E是M与y轴的另一个交点，过劣弧上的点F作FHAD于点H，且FH=1.5（1）求点D的坐标及该抛物线的表达式；（2）若点P是x轴上的一个动点，试求出PEF的周长最小时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由【分析】（1）首先根据圆的轴对称性求出点D的坐标，将A、B、D三点代入，即可求出本题的答案；（2）由于点E与点B 关于x轴对称，所以，连接BF，直线BF与x轴的交点，即为点P，据此即可得解；（3）从CM=MQ，CM=CQ，MQ=CQ三个方面进行分析，据此即可得解【解答】解：（1）连接BD，AD是M的直径，ABD=90AOBABD，=，在RtAOB中，AO=1，BO=2，根据勾股定理得：AB=，AD=5，DO=ADAO=51=4，D（4，0），把点A（1，0）、B（0，2）、D（4，0）代入y=ax2+bx+c可得：，解得：，抛物线表达式为：；（2）连接FM，在RtFHM中，FM=，FH=，MH=2，OM=AMOA=1=，OH=OM+MH=+2=，F（，），设直线BF的解析式为y=kx+b，则：，直线BF的解析式为：y=x2，连接BF交x轴于点P，点E与点B关于x轴对称，点P即为所求，当y=0时，x=2，P（2，0）；（3）如图，CM=抛物线的对称轴为直线x=，OM=，点M在直线x=上，根据圆的对称性可知，点C与点B关于直线x=对称，点C（3，2），当CM=MQ=时，点Q可能在x轴上方，也可能在x轴下方，Q1（，），Q2（，），当CM=CQ时，过点C作CNMQ，MN=NQ=2，MQ=4，Q3（，4），当CQ4=MQ4时，过点C作CRMQ，Q4VCM，则：MV=CV=，Q4V=，RtCRMRtQ4VM，解得：MQ4=，Q4（，）综上可知，存在四个点，即：Q1（，），Q2（，），Q3（，4），Q4（，）【点评】本题主要考查了二次函数的抛物线的解析式的求法，以及根据对称求线段的最小值的问题，还考查了等腰三角形的知识和相似三角形的知识，是一道综合性很强的题目，注意认真总结22（2015济南）抛物线y=ax2+bx+4（a0）过点A（1，1），B（5，1），与y轴交于点C（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB，以CB为边作CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且CBPQ的面积为30，求点P的坐标；（3）如图2，O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E重合），MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式，得到关于a、b的方程，从而可求得a、b的值；（2）设点P的坐标为P（m，m26m+4），由平行四边形的面积为30可知SCBP=15，由SCBP=S梯形CEDPSCEBSPBD，得到关于m的方程求得m的值，从而可求得点P的坐标；（3）首先证明EABNMB，从而可得到NB=，当MB为圆的直径时，NB有最大值【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：抛物线得解析式为y=x26x+4（2）如图所示：设点P的坐标为P（m，m26m+4）平行四边形的面积为30，SCBP=15，即：SCBP=S梯形CEDPSCEBSPBDm（5+m26m+4+1）55（m5）（m26m+5）=15化简得：m25m6=0，解得：m=6，或m=1点P的坐标为（6，4）或（1，11）（3）连接AB、EBAE是圆的直径，ABE=90ABE=MBN又EAB=EMB，EABNMBA（1，1），B（5，1），点O1的横坐标为3，将x=0代入抛物线的解析式得：y=4，点C的坐标为（0，4）设点O1的坐标为（3，m），O1C=O1A，解得：m=2，点O1的坐标为（3，2），O1A=，在RtABE中，由勾股定理得：BE=6，点E的坐标为（5，5）AB=4，BE=6EABNMB，NB=当MB为直径时，MB最大，此时NB最大MB=AE=2，NB=3【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，利用两点间的距离公式求得圆的半径是解题的关键23（2015龙岩）如图，已知点D在双曲线y=（x0）的图象上，以D为圆心的D与y轴相切于点C（0，4），与x轴交于A，B两点，抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，点P是抛物线上的动点，且线段AP与BC所在直线有交点Q（1）写出点D的坐标并求出抛物线的解析式；（2）证明ACO=OBC；（3）探究是否存在点P，使点Q为线段AP的四等分点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据切线的性质得到点D的纵坐标是4，所以由反比例函数图象上点的坐标特征可以求得点D的坐标；过点D作DEx轴，垂足为E，连接AD，BD，易得出A，B的坐标，即可求出抛物线的解析式；（2）连接AC，tanACO=，tanCBO=，即可得出ACO=CBO（3）分别过点Q，P作QFx轴，PGx轴，垂足分别为F，G，设P（t，t2t+4），分三种情况AQ：AP=1：4，AQ：AP=2：4，AQ：AP=3：4，分别求解即可【解答】解：（1）以D为圆心的D与y轴相切于点C（0，4），点D的纵坐标是4，又点D在双曲线y=（x0）的图象上，4=，解得x=5，故点D的坐标是（5，4）如图1，过点D作DEx轴，垂足为E，连接AD，BD，在RTDAE中，DA=5，DE=4，AE=3，OA=OEAE=2，OB=OA+2AE=8，A（2，0），B（8，0），设抛物线的解析式为y=a（x2）（x8），由于它过点C（0，4），a（02）（08）=4，解得a=，抛物线的解析式为y=x2x+4（2）如图2，连接AC，在RTAOC中，OA=2，CO=4，tanACO=，在RTBOC中，OB=8，CO=4，tanCBO=，ACO=CBO（3）B（8，0），C（0，4），直线BC的解析式为y=x+4，如图3，分别过点Q，P作QFx轴，PGx轴，垂足分别为F，G，设P（t，t2t+4），AQ：AP=1：4，则易得Q（，），点Q在直线y=x+4上，+4=，整理得t28t36=0，解得t1=4+2，t2=42，P1（4+2，11），P2（42，11+），AQ：AP=2：4，则易得Q（，），点Q在直线y=x+4上，+4=，整理得t28t12=0，解得P3=4+2，P4=42，P3（4+2，5），P4（42，5+）；AQ：AP=3：4，则易得Q（，），点Q在直线y=x+4上，+4=，整理得t28t4=0，解得t5=4+2，t6=42，P5（4+2，3），P6（42，3+），综上所述，抛物线上存在六个点P，使Q为线段AP的四等分点，其坐标分别为P1（4+2，11），P2（42，11+），P3（4+2，5），P4（42，5+）；P5（4+2，3），P6（42，3+）【点评】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及双曲线，一次函数，三角函数及二次函数的知识，解题的关键是分三种情况讨论求解24（2014黔南州）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和PAC的最大面积【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A点坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；（2）根据抛物线的解析式，易求得对称轴l的解析式及B、C的坐标，分别求出直线AB、BD、CE的解析式，再求出CE的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可；（3）过P作y轴的平行线，交AC于Q；易求得直线AC的解析式，可设出P点的坐标，进而可表示出P、Q的纵坐标，也就得出了PQ的长；然后根据三角形面积的计算方法，可得出关于PAC的面积与P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出PAC的最大面积及对应的P点坐标【解答】解：（1）设抛物线为y=a（x4）21，抛物线经过点A（0，3），3=a（04）21，；抛物线为；（2）相交证明：连接CE，则CEBD，当时，x1=2，x2=6A（0，3），B（2，0），C（6，0），对称轴x=4，OB=2，AB=，BC=4，ABBD，OAB+OBA=90，OBA+EBC=90，AOBBEC，=，即=，解得CE=，2，故抛物线的对称轴l与C相交（3）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；可求出AC的解析式为；设P点的坐标为（m，），则Q点的坐标为（m，）；PQ=m+3（m22m+3）=m2+mSPAC=SPAQ+SPCQ=（m2+m）6=（m3）2+；当m=3时，PAC的面积最大为；此时，P点的坐标为（3，）【点评】此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系、图形面积的求法等知识25（2014黄冈）已知：如图，在四边形OABC中，ABOC，BCx轴于点C，A（1，1），B（3，1），动点P从点O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为点Q，设点P移动的时间t秒（0t2），OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；（2）用含t的代数式表示点P、点Q的坐标；（3）如果将OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90，是否存在t，使得OPQ的顶点O或顶点Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）求出S与t的函数关系式【分析】（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx（a0），然后把点A、B的坐标代入求出a、b的值，即可得解，再把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点M的坐标；（2）根据点P的速度求出OP，即可得到点P的坐标，再根据点A的坐标求出AOC=45，然后判断出POQ是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出点Q的坐标即可；（3）根据旋转的性质求出点O、Q的坐标，然后分别代入抛物线解析式，求解即可；（4）求出点Q与点A重合时的t=1，点P与点C重合时的t=1.5，t=2时PQ经过点B，然后分0t1时，重叠部分的面积等于POQ的面积，1t1.5时，重叠部分的面积等于两个等腰直角三角形的面积的差，1.5t2时，重叠部分的面积等于梯形的面积减去一个等腰直角三角形的面积分别列式整理即可得解【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx（a0），把点A（1，1），B（3，1）代入得，解得，抛物线解析式为y=x2x，y=x2x=（x2）2，顶点M的坐标为（2，）；（2）点P从点O出发速度是每秒2个单位长度，OP=2t，点P的坐标为（2t，0），A（1，1），AOC=45，点Q到x轴、y轴的距离都是OP=2t=t，点Q的坐标为（t，t）；（3）OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90，旋转后点O、Q的对应点的坐标分别为（2t，2t），（3t，t），若顶点O在抛物线上，则（2t）2（2t）=2t，解得t=（t=0舍去），t=时，点O（1，1）在抛物线y=x2x上，若顶点Q在抛物线上，则（3t）2（3t）=t，解得t=1（t=0舍去），t=1时，点Q（3，1）在抛物线y=x2x上（4）点Q与点A重合时，OP=12=2，t=22=1，点P与点C重合时，OP=3，t=32=1.5，t=2时，OP=22=4，PC=43=1，此时PQ经过点B，所以，分三种情况讨论：0t1时，S=SOPQ=（2t）=t2，1t1.5时，S=SOPQSAEQ=（2t）（t）2=2t1；1.5t2时，S=S梯形OABCSBGF=（2+3）11（2t3）2=2（t2）2+=2t2+8t；所以，S与t的关系式为S=【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数图象上点的坐