函数与方程思想总结(很好很全面).doc

学习资料收集于网络，仅供参考函数与方程思想函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。1函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。2方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；3函数方程思想的几种重要形式(1)函数和方程是密切相关的，对于函数yf(x)，当y0时，就转化为方程f(x)0，也可以把函数式yf(x)看做二元方程yf(x)0。(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数yf(x)，当y0时，就转化为不等式f(x)0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；(4)函数f(x)(1+x)n (nN*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。【例1】. 关于x的方程(x21)2|x21|k0，给出下列四个命题：存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.其中真命题是_解答：根据题意可令x21t(t0)，则方程化为t2tk0，(*)作出函数tx21的图象，结合函数的图象可知当t0或t1时，原方程有两上不等的根，当0t1时，原方程有4个根，当t1时，原方程有3个根.(1)当k2时，方程(*)有一个正根t2，相应的原方程的解有2个；(2)当k时，方程(*)有两个相等正根t，相应的原方程的解有4个；(3)当k0时，此时方程(*)有两个不等根t0或t1，故此时原方程有5个根；(4)当0k时，方程(*)有两个不等正根，且此时方程(*)有两正根且均小于1，故相应的满足方程|x21|t的解有8个答案：1234【例2】若不等式x2ax10对于一切x(，成立，则a的最小值为_解答：. 分离变量，有a(x)，x(，恒成立.右端的最大值为，a.2. 看成关于a的不等式，由f(0)0，且f()0可求得a的范围.3. 设f(x)x2ax1，结合二次函数图象，分对称轴在区间的内外三种情况进行讨论.4. f(x)x21，g(x)ax，则结合图形(象)知原问题等价于f()g()，即a.【例3】 设f(x)，g(x)分别是定义在上的奇函数和偶函数，当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)，且g()，则不等式f(x)g(x)0的解集为_解析：以函数为中心，考查通性通法，设(x)f(x)g(x)，由f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)，即F(x)为奇函数.又当x0时，F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)0，所以x0时，F(x)为增函数.因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x0时，F(x)也为增函数.因为F(3)f(3)g(3)0F(3).如上图，是一个符合题意的图象，观察知不等式F(x)0的解集是(，)(，) 【例4】已知实数分别满足，则=_解答：已知的等式都是三次方程,直接通过方程解出有一定的困难,但是,题设的两个等式的左边的结构相同,使我们想到用统一的式子来表示这两个等式,对题设的两个等式变形为,根据这两个等式的特征,构造函数.函数是一个奇函数,又是上的增函数,则有 于是, 因而得 【例5】 若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是_解答： 圆整理为，圆心坐标为(2，2)，半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于， ， ， ， ，直线的倾斜角的取值范围是【例6】如果实数满足等式那么的最大值为_解答：根据已知等式,画出以为圆心,以为半径的圆,则的几何意义是圆上一点与原点所连直线的斜率.显然, 的最大值是过原点与圆相切的直线的斜率,由可得.于是,的最大值是【例7】设是方程的两个不等实根，那么过点和的直线与圆的位置关系是_解答：由题意，因此和都在直线上，原点到该直线的距离，过的直线与单位圆相切【例8】设定义域为R的函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是_ 解答：画出函数的图像,该图像关于对称,且,令,若有7个不同实数解,则方程有2个不同实数解,且为一正根,一零根.因此, 充要条件是且【例9】. 设函数x21，对任意x，恒成立，则实数m的取值范围是_【答案】解析：(解法1)不等式化为f(x1)4f(m)f4m2f(x)0，即(x1)214m2414m2x24m20，整理得x22x30，因为x20，所以14m2，设g(x)，x.于是题目化为14m2g(x)，对任意x恒成立的问题为此需求g(x)，x的最大值设u，则0u.函数g(x)h(u)3u22u在区间上是增函数，因而在u处取得最大值h3，所以14m2g(x)max，整理得12m45m230，即(4m23)(3m21)0，所以4m230，解得m或m，因此实数m的取值范围是m.(解法2)(前面同解法1)原题化为14m2g(x)，对任意x恒成立的问题为此需求g(x)，x的最大值设t2x3，则t6，)g(x)h(t).因为函数t在(3，)上是增函数，所以当t6时，t取得最小值6.从而h(t)有最大值.所以14m2gmax(x)，整理得12m45m230，即(4m23)(3m21)0，所以4m230，解得m或m，因此实数m的取值范围是m.(解法3)不等式化为f(x1)4f(m)f4m2f(x)0，即(x1)214m2414m2x24m20，整理得x22x30，令F(x)x22x3.由于F(0)30，则其判别式0，因此F(x)的最小值不可能在函数图象的顶点得到，所以为使F(x)0对任意x恒成立，必须使F为最小值，即实数m应满足解得m2，因此实数m的取值范围是m.【例10】某工厂2005年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，一月份投入的建设资金恰与一月份的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到十二月份投入的建设资金又恰与十二月份生产利润相同，问全年总利润W与全年总投入资金N的大小关系是_解答：设第一个月的投入资金与一月份的利润均为a，每月的增加投入百分率为r则每月的利润组成数列，每月投入资金组成数列，如图，由两函数图象特点可知，有，可见，故WN1. (2011北京)已知函数若关于x的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是_2.(2011广东)等差数列an前9项的和等于前4项的和若a11，aka40，则k_. 3.(2009福建)若曲线f(x)ax3lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_4. (2010天津)设函数f(x)x，对任意x1，)，f(mx)mf(x)0(1) 若m1，求证：函数f(x)是增函数；(2) 如果函数f(x)的值域是0,2，试求m的取值范围；(3) 如果函数f(x)的值域是0，m2，试求实数的最小值解答：(1) 证明：当m0，所以f(x)是增函数，(2) 解：令g(x)x|x23|，x0，则g(x)当0x时，g(x)33x2，由g(x)0得x1，所以g(x)在0,1上是增函数，在1，上是减函数当x时，g(x)3x230，所以g(x)在，)上是增函数，所以x0，时，g(x)maxg(1)2，g(x)ming(0)g()0，所以0m时，在x0，时，f(x)0,2，在x，m时，f(x)0，f(m)，这时f(x)的值域是0,2的充要条件是f(m)2，即m33m2，(m2)(m1)20，解得m2.综上，m的取值范围是1,2(3) 由(2)可知，0m2时，函数f(x)的最大值为f(m)m33m，由题意知m33mm2，即m，这是增函数， .综上，当m2时，实数取最小值为.变式训练已知函数g(x)xlnx，设0ab，求证：0g(a)g(b)2g(ba)ln2.点拨：确定变量，构造函数证明不等式证明：g(x)xlnx，g(x)lnx1.构造函数F(x)g(a)g(x)2g，则F(x)g(x)2lnxln.当0xa时，F(x)0，在此F(x)在(0，a)内为减函数；当xa时，F(x)0，因此F(x)在(a，)上为增函数从而，当xa时，F(x)有极小值F(a)因为F(a)0，ba，所以F(b)0，即0g(a)g(b)2g.再构造函数G(x)F(x)(xa)ln2，则G(x)lnxlnln2lnxln(ax)当x0时，G(x)0.因此G(x)在(0，)上为减函数因为G(a)0，ba，所以G(b)0，即g(a)g(b)2g(ba)ln2.综上得0g(a)g(b)2g(ba)ln2.【例2】已知二次函数yg(x)的导函数的图象与直线y2x平行，且yg(x)在x1处取得最小值m1(m0)设函数f(x).(1) 若曲线yf(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为，求m的值(2) k(kR)如何取值时，函数yf(x)kx存在零点，并求出零点解：(1) 设g(x)ax2bxc，则g(x)2axb；又g(x)的图象与直线y2x平行， 2a2，a1.(1分)又g(x)在x1取极小值，1，b2， g(1)abc12cm1，cm；(2分)f(x)x2，设P(x0，y0)，则|PQ|2x(y02)2x22x2m22m，(4分)当且仅当2x02时，|PQ|2取最小值，即|PQ|取最小值.当m0时，2m2m2， m1(6分)当m0，若m0，k1，函数yf(x)kx有两个零点x；(10分)若m0，kbc，且abc=0，抛物线被x轴截得的弦长为l，求证：证明：，且从而故抛物线与x轴有两个不同的交点，即方程必有两个不相等的实数根，由韦达定理得可见，是的二次函数由及，得，解得在上是减函数，即题型三函数与方程思想在三角函数中的应用【例5】已知函数f(x)=x2(m1)xm(mR)(1)若tanA，tanB是方程f(x)4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角.求证：m5；(2)对任意实数，恒有f(2cos)0，证明m3;(3)在(2)的条件下，若函数f(sin)的最大值是8，求m（1）证明：f(x)4=0即x2(m1)xm4=0依题意：又A、B锐角为三角形内两内角，ABtan(AB)0，即m5(2)证明：f(x)=(x1)(xm)，又1cos1，12cos3，恒有f(2cos)0即1x3时，恒有f(x)0即(x1)(xm)0，mx但xmax=3，mxmax=3(3)解：f(sin)=sin2(m1)sinm=，且2，当sin=1时，f(sin)有最大值8即1(m1)m=8，m=3题型四函数与方程思想在解析几何中的应用【例6】直线和双曲线的左支交于A、B两点，直线l过点P(2，0)和线段AB的中点M，求l在y轴上的截距b的取值范围解：由消去y，得（）因为直线m与双曲线的左支有两个交点，所以方程（）有两个不相等的负实数根所以解得设，则由三点共线，得出设，则在上为减函数，说来说去 写来写去 游来游去，且，或，四、反义词，或题型五函数与方程思想在立体几何中的应用【例7】如图，已知面，于D，女字旁：奶、妈、姑、妹和风细雨 万紫千红 鸟语花香 山清水秀 蒙蒙细雨 古往今来（1）令，试把表示为x的函数，并求其最大值；花儿真香啊！ 我们学校多