必修二直线与圆选修圆锥曲线知识点+例题+练习.doc

直线与圆1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转过的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线与轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，即tan(90)；倾斜角为90的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点、的直线的斜率为练习：（1）实数满足 ()，则的最大值、最小值分别为_ （2）过点的直线的倾斜角的范围值的范围是_ 3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点斜率为，则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线。（2）斜截式：已知直线在轴上的截距为和斜率，则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线。（3）两点式：已知直线经过、两点，则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线。（4）截距式：已知直线在轴和轴上的截距为,则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。（5）一般式：任何直线均可写成(A,B不同时为0)的形式。提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点。练习：（1）过点，且纵横截距的绝对值相等的直线共有_条 （2）、经过圆的圆心C，且与直线垂直的直线方程是 4.设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距，常设其方程为；（2）知直线横截距，常设其方程为(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点，当斜率存在时，常设其方程为，当斜率不存在时，则其方程为；（4）与直线平行的直线可表示为；（5）与直线垂直的直线可表示为.5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：（1）点到直线的距离；（2）两平行线间的距离为练习：（1） 已知圆440的圆心是P，则P到直线10的距离是 6、直线与直线的位置关系：（1）平行（斜率）且（在轴上截距）；（2）相交；（3）重合且。提醒：（1） 、仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（3）直线与直线垂直。练习：（1）设直线和，当_时；当_时；当_时与相交；当_时与重合 （2）已知两条直线和互相垂直，则等于（ ）（A）2（B）1（C）0（D）（3）若直线与直线平行，则 （4）已知直线的方程为，则与平行，且过点（1，3）的直线方程是_（5）两条直线与相交于第一象限，则实数的取值范围是_ 7、直线与线性规划的原理形如二元一次不等式表示直线的右边区域求最优解的步骤：(选择题可用端点代入验证法)写出要求的目标函数和其约束条件在直角坐标系中作出可行域确定平移直线，在可行域内平移找到最值对应的点解方程组求出其坐标把上述坐标回代目标函数求出最值.（1）已知变量x、y满足条件则的最大值是 _（2）若实数x、y满足，则的取值范围是( )A.（0，2） B.（0，2） C.(,+) D.，+)（3）已知的最大值为8，则= . 8、关于点和直线的对称问题（1） 求点关于点的对称（中点坐标公式）（2） 求点关于直线的对称点（解方程组）（3） 求直线关于直线的对称（利用（2）练习：（1）已知圆：+=1，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ）（A）+=1 （B）+=1（C）+=1 （D）+=1（2）圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为 9、圆方程的三种形式（1）标准式：，（2）一般式：，其中圆心，半径二元二次方程表示圆的充要条件（3）参数式：原点为圆心：； 圆心）：（为参数）练习：（1）若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是（ ）A BCDrd（2）圆心在直线上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是_ 10、 求直线与圆相交弦长度垂径定理+勾股定理:练习：（1）设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则_ _（2）直线被曲线所截得的弦长等于 11、判断点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有：点在圆外、圆上、圆外三种；可把点坐标代入圆的方程判断；（2）直线与圆的位置关系：直线和圆有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：代数方法：（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：相交；相离；相切；几何方法：（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为，则相交；相离；相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。（3）圆与圆的位置关系有：（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为，半径分别为，则（1）当时，两圆外离；（2）当时，两圆外切；（3）当时，两圆相交；（4）当时，两圆内切；（5）当时，两圆内含。练习：（1）直线与圆的位置关系为（ ）A相切 B相交但直线不过圆心 C直线过圆心D相离（2）圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是（ ）(A)相离(B)相交(C)外切(D)内切（3）若过的直线与曲线有公共点，则的斜率的取值范围为（ ） A B CD12、求两圆的相交弦方程用两圆方程直接相减得出的方程便是两圆相交弦方程（你可以说出其中的原理吗？）练习：（1）已知两圆和相交于两点，则的方程是 （2）若圆与圆（a0）的公共弦的长为，则 13、求过一定点的圆的切线先判断定点是否在圆上，如在圆上，此点就是切点，切线只有一条；如在圆外，则应有两条直线。（1）点在圆上：有一条切线，用直接法求 A(2) 点在圆外：有两条切线，用待定系数法求，注意斜率不存在的情况A练习：（1）已知直线与圆相切，则的值为 。（2）设A为圆上动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为_ （3）已知圆O：和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 14、解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!圆锥曲线的方程与性质1椭圆（1）椭圆概念：平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若为椭圆上任意一点，则有。椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。注：以上方程中的大小，其中；在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。例如椭圆（，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。（2）椭圆的性质范围：由标准方程知，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，且，即；离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。当且仅当时，两焦点重合，图形变为圆，方程为。练习：1、椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则 ；的大小为 .2、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A. B. C. D. 3、若椭圆的离心率，则的值是_ ；2双曲线（1）双曲线的概念：平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）。注意：式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；当时，表示两条射线；当时，不表示任何图形；两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。（2）双曲线的性质范围：从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧。即，即双曲线在两条直线的外侧。对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点。令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2）实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：；2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： ；（2）渐近线互相垂直。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。3）注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为： ，当时交点在轴，当时焦点在轴上。注意与的区别：三个量中不同（互换）相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。练习：1、双曲线的渐近线与圆相切，则 2、双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为 3、双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则( )A B C D4、已知双曲线 的一条渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为( )（A） (B ) (C) (D) 5、已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则（ ） A. 12 B. 2 C. 0 D. 46、设是等腰三角形，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为（ ）A B C D7、设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，则C的方程为_ 8、双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于_ 3抛物线（1）抛物线的概念：平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。方程叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），它的准线方程是 ；（2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程图形焦点坐标准线方程范围对称性轴轴轴轴顶点离心率说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离。练习：1、抛物线的焦点到准线的距离是 .2、抛物线的准线方程是 3、抛物线上的点到直线距离的最小值是( )A B C D4、设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A是抛物线上一点，若4，则点A的坐标是（ ）A（2，2） B. (1，2) C.（1，2） D.(2，2)5、过双曲线的右顶点为A，右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则AFB的面积为_4、 求圆锥曲线的方程，待定系数法例1、已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为, 短轴一个端点到右焦点的距离为. 求椭圆C的方程;解：设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为例2、已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.求椭圆C的方程； 解:()设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得：， 所以椭圆的标准方程为 5、求动点轨迹四种常用方法（1）定义法 （2）直接设点列式法（3）辅助点代入法例3、已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.（1）求该椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；解：(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1. 又椭圆的焦点在x轴上, 椭圆的标准方程为(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0)，由，得 由,点P在椭圆上,得, 线段PA中点M的轨迹方程是.(4) 参数法步骤： 1）引入参数（如直线的斜率，圆锥曲线的参数方程）2）设动点，分别建立参数与x与y的关系3）消去参数，得到一般方程0xyAMB例4、过抛物线（0）的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB（1）设OA的斜率为k，试用k表示点A、B的坐标；（2）求弦AB中点M的轨迹方程。解：（1）OA的方程为联立方程 解得 以代上式中的，解方程组 解得 A（，），B（，）。（1） 设AB中点M（x，y），则由中点坐标公式，得消去参数k，得 ；即为M点轨迹的普通方程。6、用判别式、韦达定理、弦长公式研究直线与圆锥曲线位置关系弦长公式：= 直线ykxb与椭圆交于A、B两点，记AOB的面积为S( I )求在k0，0b1的条件下，S的最大值；（)当AB2，S1时，求直线AB的方程解：(I)设点A的坐标为(，点B的坐标为，由，解得所以当且仅当时，S取到最大值1（）解：由得 AB 又因为O到AB的距离所以代入并整理，得解得，代入式检验，0 故直线AB的方程是:或或或7、用向量、解方程组求解坐标、函数工具解决几何问题直线y=x与抛物线y=x24交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=5交于Q点. （1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时, 求OPQ面积的最大值.解：(1) 解方程组：解得：A(4,2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).由kAB=,直线AB的垂直平分线方程：y1=(x2). 令y=5, 得x=5, Q(5,5) (2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x, x24).点P到直线OQ的距离d=,SOPQ=.P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上, 4x44或44x8.函数y=x2+8x32在区间4,8 上单调递增, 当x=8时, OPQ的面积取到最大值30已知直线与椭圆相交于、两点，是线段上的一点，且点M在直线上 （1）求椭圆的离心率； （2）若椭圆的焦点关于直线的对称点在单位圆上，求椭圆的方程。解：（1）由知是的中点， 设、两点的坐标分别为 由 得： 点的坐标为 又点的直线上： （2）由（1）知，不妨设椭圆的一个焦点坐标为，设关于直线 的对称点为， 则有 解得： 由已知， ， 。所求的椭圆的方程为8、用导数工具求圆锥曲线切线斜率或切点坐标AyxOBGFF1设，椭圆方程为，抛物线方程为如图4所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）解：（1）由得，当得，G点的坐标为，过点G的切线方程为即，令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，同理 以为直角的只有一个。 以AB为直径的圆的方程： 联合：得 方程有两个不同的根，即圆与抛物线有两个不同的交点即以为直角的有两个，因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。9、数形结合,存在性问题的探索已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.(1)求椭圆G的方程 (2)求的面积(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.解：（1）设椭圆G的方程为： （）半焦距为c; 则 , 解得 , 所求椭圆G的方程为：. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2 )点的坐标为（3）若，由可知点（6，0）在圆外， 若，由可知点（-6，0）在圆外； 不论K为何值圆都不能包围椭圆G.10、证明一些定值和结论以及求一些长度问题设动点到定点的距离比到轴的距离大1，记的轨迹为曲线。（1）求点的轨迹方程；（2）设圆过，且圆心在曲线上，是圆在轴上截得的弦，试探究当运动时，弦长是否为定值？为什么？解：（1）依题意知，动点到定点的距离等于到直线的距离，曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线 曲线方程是（2）设圆的圆心为，圆过，圆的方程为令得：设圆与轴的两交点分别为，,设，由求根公式得：，又点在抛物线上，即4当运动