五年级奥数高等难度练习题一.doc

五年级奥数高等难度练习题一平均数问题：（高等难度）幼儿园有三个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人，老师给小孩分枣，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣，乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣，结果甲班比乙班共多分3个枣，乙班比丙班总共多分5个枣。问：三个班总共分了多少个枣？平均数问题答案：设丙班有x个小孩，那么乙班就有（x+4）个小孩，甲班有（x+8）个小孩。乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣，那么x个小孩就少分5x个枣，而乙班比丙班总共多分5个枣，所以多出来的那4个小孩分了（5x+5）个枣。同理：甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣，那么（x+4）个小孩就少分（3x+12）个枣。而甲班比乙班共多分3个枣，所以多出来的那4个小孩分了 （3x+12+3）即（3x+15）个枣。甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣，4个小孩就少34=12个枣，因此我们得到：5x+5=3x+15+12, 解得 x=11.所以，丙班有11个小孩，乙班有15个小孩，甲班有19个小孩，甲班每人分12个枣，乙班每人分15个枣，丙班每人分20个枣。一共分了1219+1515+2011=673个枣。【小结】通过方程解决问题是常用的方法。最值问题：（高等难度）n是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除。n的最大值是。最值问题答案：n不能含有0，因为不能被0除。n不能同时含有5和偶数，因为此时n的个位将是0。如果含有5，则2，4，6，8都不能有，此时位数不会多。如果n只缺少5，则含有1，2，3，4，6，7，8，9，但是数字和为40，不能被9整除。所以必须再去掉一位，为了最大，应该保留9放到最高位，为了使数字和被9整除，还需要去掉4。此时由1，2，3，6，7，8，9组成，肯定被9整除，还需要考虑被7和8整除。前四位最大为9876，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为312，9876312被7除余5；前四位如果取9873，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为216，9873216被7除余3；前四位如果取9872，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为136，9872136被7除余1；前四位如果取9871，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为632，9871632被7除余1；前四位如果取9867，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为312，9867312被7整除。行程问题：（高等难度）(2010年imc 6年级复赛第22题，10分)有的母牛比一般人具有更健全的头脑，有一位农夫就曾这样认为，瞧！有一天我的那头老家伙，有着斑纹的母牛正站在距离桥梁中心点5英尺远的地方，平静地注视着河水发呆，突然，他发现一列特别快车以每小时90英里的速度向它奔驰而来，此时，火车已经到达靠近母牛一端的桥头附近，只有两座桥长的距离了。母牛毫不犹豫，马上不失时机地迎着飞奔而来的火车作了一次猛烈冲刺，终于得救了。此时距离火车头只剩1英尺了，如果母牛按照人的本能，以同样的速度离开火车逃跑，那么母牛的屁股将有3英寸要留在桥上！试问：桥梁的长度是多少？这只母牛狂奔的速度是多少？（1英尺=12英寸）圆柱体答案：观察可知，老母牛一开始在火车的中心的左端。在相遇过程中，火车走了：2个桥长-1英尺；母牛走了：0.5个桥长-5英尺；在追及过程中：火车走了：3个桥长-0.25英尺；母牛走了：0.5个桥长+4.75英尺。则在相遇和追及过程中：火车共走了5个桥长-1.25英尺；同样的时间，母牛走了1个桥长-0.25英尺。所以火车的速度是母牛狂奔时的5倍。母牛的速度为905=18英里/小时。又根据2个桥长-1英尺=2.5个桥长-25英尺所以0.5个桥长=24英尺。1个桥长=48英尺。圆柱体：（高等难度）如图，一个有底无盖圆柱体容器，从里面量直径为10厘米，高为15厘米在侧面距离底面9厘米的地方有个洞这个容器最多能装毫升水（取3.14）圆柱体答案：解答：942现在要求这个容器尽可能的多装一些水，则将圆柱适当的倾斜，可得新的圆柱的体积为：毫升水。约数倍数：（高等难度）若 a , b , c 是三个互不相等的大于0的自然数，且a + b + c = 1155 ，则它们的最大公约数的最大值为，最小公倍数的最小值为，最小公倍数的最大值为约数倍数答案：解答：165、660、570650851) 由于a + b + c = 1155，而1155=35711。令a=mp，b=mq，c=ms.m为a，b，c的最大公约数，则p+q+s最小取7。此时m=165.2) 为了使最小公倍数尽量小，应使三个数的最大公约数m尽量大，并且使a，b，c的最小公倍数尽量小，所以应使m=165，a=1，b=2，c=4，此时三个数分别为165，330，660，它们的最小公倍数为660，所以最小公倍数的最小值为660。3) 为了使最小公倍数尽量小，应使三个数两两互质且乘积尽量大。当三个数的和一定时，为了使它们的乘积尽量大，应使它们尽量接近。由于相邻的自然数是互质的，所以可以令1155=384+385+386，但是在这种情况下384和386有公约数2，而当1155=383+385+387时，三个数两两互质，它们的最小公倍数为383385387=57065085，即最小公倍数的最大值为57065085。定义新运算：（高等难度）规定：ab表示a、b中较大的数，ab表示a、b中较小的数若（a5b3）（b5+ a3）96，且a、b均为大于0的自然数ab的所有取值有个。定义新运算答案：共5种；分类讨论，由于题目中所要求的定义新运算的符号是较大的数与较大的数，则对于a或者b有3类不同的范围，a小于3，a大于等于3，小于5，a大于等于5。对于b也有类似，两者合起来共有33=9种不同的组合，我们分别讨论。1) 当a3，b3，则（5+b） （5+a）=96=616=812，无解；2) 当3a5，b3时，则有（5+b）（5+3）=96，显然无解；3) 当a5，b3时，则有（a+b）（5+3）=96，则a+b=12.所以有a=10，b=2，此时乘积为20或者a=11,b=1,此时乘积为11。4) 当a3，3b5，有（5+3）（5+a）=96，无解；5) 当3a5，3b5，有（5+3）（5+3）=96，无解；6) 当a5，3b5，有（a+3）（5+3）=27，则a=9.此时b=3后者b=4。则他们的乘积有27与36两种；7) 当a3，b5时，有（5+3）（b+a）=96。此时a+b=12。a与b的乘积有11与20两种；8) 当3a5，b5，有（5+3）（b+3）=96。此时有b=9.不符；9) 当a5，b5，有（a+3）（b+3）=96=812。则a=5,b=9，乘积为45。所以a与b的乘积有11,20,27，36,45共五种。行程：（高等难度）甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走67.5米，丙每分钟走75米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？行程答案：乙丙相遇时间：（6075）2（67.5-60）=36（分钟）。东西两镇之间相距多少米？（67.575）36=5130（米）钢筋截法：（高等难度）把长239米的钢筋截成17米和24米长的钢筋，如何截法最省材料？钢筋截法答案：设截成17米长的钢筋x根，截成24米长的钢筋y根。则有17x+24y=239，可得非负整数解为x7，y=5。乘积相等：（高等难度）把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。乘积相等答案：5=5，7=7，6=23，1427，15=35，这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14（=27）放在第一组，那么7和6（=23）只能放在第二组，继而15（35）只能放在第一组，则5必须放在第二组。这样1415=210=567。这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。平方差：（高等难度）有这样一类数，它们可以写作两个自然数的平方差，如 3=22-12，被称作智慧树，那么从1开始，第1993个智慧数是多少？平方差答案：对于任意奇数2k+1=(k+1)2-k2 ，但1不符合要求，舍去 2，对于所有能被4整除的数， 4k=(k+1)2-(k-1)2，但4不符合要求，舍去 3，对于被4除余2的数，假设4k+2=x2-y2=(x-y)(x+y)，当 奇偶性相同时，(x-y)(x+y)可被4整除，与提设矛盾，舍去；当xy 奇偶性不同时，(x-y)(x+y) 为奇数，与提设矛盾，舍去. 显然，从5开始每4个数中有3个是智慧数，而1到4中只有3只智慧数，第1993个智慧数为(1993-1)34+4=2660。行程：（高等难度）甲,乙两站相距300千米,每30千米设一路标,早上8点开始,每5分钟从甲站发一辆客车开往乙站,车速为60千米每小时,早上9点30分从乙站开出一辆小汽车往甲站,车速每小时100千米,已知小汽车第一次在某两相邻路标之间(不包括路标处)遇见迎面开来的10辆客车,问:从出发到现在为止,小汽车遇见了多少辆客车?行程答案：小汽车出发遇到第一辆客车是在（300601.5）（10060）21/16小时，小汽车每行一段需要301003/10小时，此时在(21/16)(3/10)4又3/8段的地方相遇。遇到第一辆客车后，每隔5（10060）5/160小时遇到一辆客车，当在端点遇到客车时，每断路只能再遇到9辆车（3/10）(5/160)9.6，因此过路标少于3/109(5/160)3/160小时遇到客车时，才能满足条件。当小汽车行完5段，就刚好在路标处遇到第7辆，因此这段只能遇到9辆，下一次刚好能遇到10辆，所以共遇到了791026辆。正方形：（高等难度）右图是由16个同样大小的正方形组成的，如果这个图形的面积是400平方厘米，那么它的周长是多少厘米?正方形答案：每个正方形的面积为40016=25(平方厘米)，所以每个正方形的边长是5厘米。观察右图，这个图形的周长从上下方向来看是由72=14条正方形的边组成，从左右方向来看是由42+34=20条正方形的边组成，所以其周长为514+520=170厘米。答题：（高等难度）100个人回答五道题，有81人答对第一题，91人答对第二题，85人答对第三题，79人答对第四题，74人答对第五题，答对三道题或三道题以上的人算及格，那么，在这100人中，至少有多少人及格。答题答案：答对三道题或三道题以上的人算及格，要使100人中，及格人数尽可能少 则需使每人首先都答对其中的两题，余下 （81+91+85+79+74）-2100=410-200=210道 尽量分配给少数人，这少数人中每人最多再对3道 所以210（5-2）=70（人） 即在这100人中，至少有70人及格。最大值：（高等难度）把1、2、3、4、5、6、7、8填入下面算式中，使得数最大。这个最大得数是多少？最大值答案：要使得数最大，被减数（四位数）应当尽可能大，减数（）应当尽可能小。由例1的原则，可知被减数为8765。下面要做的是把1、2、3、4分别填入的4个中，使乘积最小。要使乘积最小，乘数和被乘数都应当尽可能小。也就是说，它们的十位数都要尽可能小。因为：1234=408而1423=322，1324=312（最小）87651324=8453。数字:（高等难度）2008年第29届奥运会将在北京举办则 20082008的个位数字是多少？数字答案：算式中每个乘数的个位数字都是 ，888l 的个位数字周期性出现：8、4、2、6、8、4、2、6，周期为4， 20084=502，所以 的个位数字是6自然数：（高等难度）对任意两个不同的自然数，将其中较大的数换成这两数之差，称为一次变换。如对18和42可进行这样的连续变换：18，4218，2418，612，66，6。直到两数相同为止。问：对12345和54321进行这样的连续变换，最后得到的两个相同的数是几？为什么？自然数答案：如果两个数的最大公约数是a，那么这两个数之差与这两个数中的任何一个数的最大公约数也是a。因此在每次变换的过程中，所得两数的最大公约数始终不变，所以最后得到的两个相同的数就是它们的最大公约数。因为12345和54321的最大约数是3，所以最后得到的两个相同的数是3。约数：（高等难度）100以内约数个数最多的自然数有五个，它们分别是几？约数答案：如果恰有一个质因数，那么约数最多的是=64，有7个约数；如果恰有两个不同质因数，那么约数最多的是72和396，各有12个约数；如果恰有三个不同质因数，那么约数最多的是3560，3784和25=90，各有12