高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第二节 导数与函数的单调性课件 文.ppt

第二节导数与函数的单调性 总纲目录 教材研读 函数的导数与单调性的关系 考点突破 考点二利用导数求函数的单调区间 考点一利用导数判断 证明 函数的单调性 考点三已知函数的单调性求参数的范围 函数的导数与单调性的关系函数y f x 在某个区间内可导 1 若f x 0 则f x 在这个区间内 单调递增 2 若f x 0 则f x 在这个区间内 单调递减 3 若f x 0 则f x 在这个区间内是 常数函数 教材研读 1 已知函数f x 的导函数f x ax2 bx c的图象如图所示 则f x 的图象可能是 d 答案d由题图可知 当xx1时 由导函数f x ax2 bx c0知相应的函数f x 在该区间上单调递增 2 函数f x x 3 ex的单调递增区间是 a 2 b 0 3 c 1 4 d 2 答案d由f x x 3 ex 得f x x 2 ex 令f x 0 得x 2 故f x 的单调递增区间是 2 d 3 下列函数中 在 0 上为增函数的是 a f x sin2xb f x xexc f x x3 xd f x x lnx 答案b对于a 易得f x sin2x的单调递增区间为 k z 对于b f x ex x 1 当x 0 时 f x 0 函数f x xex在 0 上为增函数 b 对于c f x 3x2 1 令f x 0 得x 或x0 得0 x 1 函数f x 在区间 0 1 上单调递增 综上所述 应选b 4 2015北京四中期中 若函数f x x2 a r 则下列结论正确的是 a a r f x 在 0 上是增函数b a r f x 在 0 上是减函数c a r f x 是偶函数d a r f x 是奇函数 答案c 函数f x x2 a r f x 2x 当x 0 时 2x3 a 0不恒成立 即f x 0不恒成立 f x 在 0 上不恒为增函数 a不正确 也不存在a r 使得2x3 a 0在 0 上恒成立 即f x 0不恒成立 b不正确 当a 0时 f x x2为r上的偶函数 故c正确 f x f x x 2 x2 2x2 0 不存在a r 使f x 为奇函数 d不正确 故选c c 5 已知函数f x 4m 1 x2 15m2 2m 7 x 2在r上为单调递增函数 则实数m的取值范围是 答案 2 4 解析f x x2 2 4m 1 x 15m2 2m 7 由题意可得f x 0在x r上恒成立 2 4 所以 4 4m 1 2 4 15m2 2m 7 4 m2 6m 8 0 解得2 m 4 考点一利用导数判断 证明 函数的单调性 考点突破 典例1 2015北京朝阳一模改编 已知函数f x ex a r 1 当a 0时 求曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 当a 1时 求证 f x 在 0 上为增函数 解析函数f x 的定义域为 x x 0 f x ex 1 当a 0时 f x x ex f x x 1 ex 所以f 1 e f 1 2e 所以曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程是y e 2e x 1 即2ex y e 0 2 证明 当a 1时 f x ex x 0 令g x x3 x2 x 1 则g x 3x2 2x 1 3x 1 x 1 令g x 3x 1 x 1 0 得x 令g x 3x 1 x 1 0 得0 x 所以函数g x 在上是减函数 在上是增函数 所以函数g x 在x 处取得最小值 且g 0 所以g x 在 0 上恒大于零 于是 当x 0 时 f x ex 0恒成立 所以当a 1时 函数f x 在 0 上为增函数 方法技巧用导数法判断函数f x 在 a b 内的单调性的步骤 求f x 确定f x 在 a b 内的符号 作出结论 f x 0时为增函数 f x 0时为减函数 提醒 研究含参数函数的单调性时 需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论 1 1已知函数f x ax3 x2 x r 在x 处取得极值 1 确定a的值 2 若函数g x f x ex 讨论g x 的单调性 解析 1 对f x 求导得f x 3ax2 2x 因为f x 在x 处取得极值 所以f 0 即3a 2 0 解得a 2 由 1 得g x ex 故g x ex ex ex x x 1 x 4 ex 令g x 0 解得x 0或x 1或x 4 当x0 故g x 为增函数 当 10时 g x 0 故g x 为增函数 综上知 g x 在 4 和 1 0 内为减函数 在 4 1 和 0 内为增函数 解析 1 因为函数f x xlnx 所以f x lnx x lnx 1 f 1 ln1 1 1 又因为f 1 0 所以曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为y x 1 2 函数f x xlnx的定义域为 0 由 1 可知 f x lnx 1 令f x 0 解得x f x 与f x 在区间 0 上的变化情况如下 所以 f x 的单调递增区间是 f x 的单调递减区间是 3 当 x e时 f x ax 1 等价于 a lnx 令g x lnx x 则g x x 当x 时 g x 0 所以g x 在区间 1 e 上单调递增 而g lne e e 1 1 5 g e lne 1 1 5 所以g x 在区间上的最大值为g e 1 所以当a e 1时 对于任意x 都有f x ax 1 方法技巧利用导数求函数单调区间的两个方法方法一 1 确定函数y f x 的定义域 2 求导数y f x 3 解不等式f x 0 解集在定义域内的部分为单调递增区间 4 解不等式f x 0 解集在定义域内的部分为单调递减区间 方法二 1 确定函数y f x 的定义域 2 求导数y f x 令f x 0 解此方程 求出在定义区间内的一切实根 3 把函数f x 的间断点 即f x 的无定义点 的横坐标和上面的各实数根 按由小到大的顺序排列起来 然后用这些点把函数f x 的定义区间分成若干个小区间 4 确定f x 在各个区间内的符号 根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性 2 1 2017北京东城二模 设函数f x x a ex a r 1 当a 1时 试求f x 的单调增区间 2 试求f x 在 1 2 上的最大值 解析 1 对f x x a ex求导得f x x a 1 ex 当a 1时 f x x ex 令f x 0 得x 0 所以f x 的单调增区间为 0 2 f x x a 1 ex 令f x 0 得x a 1 所以当a 1 1 即a 2时 在 1 2 上 f x 0恒成立 f x 单调递增 当a 1 2 即a 3时 在 1 2 上 f x 0恒成立 f x 单调递减 当10 f x 单调递增 综上 无论a为何值 当x 1 2 时 f x 的最大值都为f 1 或f 2 f 1 1 a e f 2 2 a e2 f 1 f 2 1 a e 2 a e2 e2 e a 2e2 e 所以当a 时 f 1 f 2 0 f x max f 1 1 a e 当a 时 f 1 f 2 0 f x max f 2 2 a e2 解析 1 因为f 0 1 所以曲线y f x 经过点 0 1 又f x x2 2x a 所以f 0 a 3 所以f x x2 2x 3 令f x 0 解得x1 3 x2 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以函数f x 的单调递增区间为 3 1 单调递减区间为 3 1 2 当函数f x 在区间 2 a 上单调递减时 f x 0对x 2 a 恒成立 即f x x2 2x a 0对x 2 a 恒成立 所以即解得 3 a 0 又 2 a 所以 2 a 0 当函数f x 在区间 2 a 上单调递增时 f x 0对x 2 a 恒成立 只要f x x2 2x a在 2 a 上的最小值大于或等于0即可 易知函数f x x2 2x a图象的对称轴为x 1 2 利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件 构造辅助函数 把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题 再由单调性比较大小或解不等式 3 1 2018北京朝阳高三期中 已知函数f x kx k 1 lnx k r 1 求函数f x 的单调区间 2 当k 0时 若函数f x 在区间 1 2 内单调递减 求k的取值范围 解析 1 函数f x 的定义域为 x x 0 f x k 当k 0时 令f x 0 解得01 此时函数f x 为