【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第十一章概率与统计11．5条件概率与事件的独立性教学案 新人教B版.doc

11.5条件概率与事件的独立性1了解条件概率和两个事件相互独立的概念2理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题1条件概率对于任何两个事件a和b，在已知事件a发生的条件下，事件b发生的概率叫做_，用符号“p(b|a)”来表示我们把由事件a和b同时发生所构成的事件d，称为事件a与b的_(或_)，记做dab(或dab)一般地，我们有条件概率公式p(b|a)_，p(a)0.2事件的相互独立性事件a是否发生对事件b发生的概率没有影响，即p(b|a)_，这时，我们称两个事件a，b_，并把这两个事件叫做_一般地，当事件a，b相互独立时，a与_，_与b，a与_也相互独立3独立重复试验与二项分布在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重复试验一般地，事件a在n次试验中发生k次，共有c种情形，由试验的独立性知a在k次试验中发生，而在其余nk次试验中不发生的概率都是pk(1p)nk，所以由概率加法公式知，如果在一次试验中事件a发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，事件a恰好发生k次的概率为pn(k)_(k0,1,2，n)此时称随机变量x服从二项分布，记作xb(n，p)1在一段时间内，甲去某地的概率是，乙去此地的概率是，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是()a. b.c. d.2一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率为_一、条件概率【例11】甲乙两市位于长江下游，根据一百多年来的记录知道，一年中雨天的比例，甲为20%，乙为18%，两市同时下雨的天数占12%.求：(1)乙市下雨时甲市也下雨的概率；(2)甲乙两市至少一市下雨的概率【例12】把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个其中，第一个盒子中有7个球标有字母a,3个球标有字母b；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母a的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母b的球，则在第三个盒子中任取一个球如果第二次取出的是红球，则称试验为成功，求试验成功的概率方法提炼1求p(b|a)时，可把a看作新的基本事件空间来计算b发生的概率，也就是说把b发生的样本空间缩小为a所包含的基本事件2若事件b，c互斥，则p(bc|a)p(b|a)p(c|a)，即为了求得比较复杂事件的概率，往往可以先把它分解成若干个互不相容的较简单事件之和，先求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率请做演练巩固提升2二、相互独立事件同时发生的概率【例2】 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响求：(1)至少有1人面试合格的概率；(2)签约人数的分布列方法提炼1当从意义上不易判定两个事件是否相互独立时，可运用公式p(ab)p(a)p(b)计算判定求相互独立事件同时发生的概率时，要搞清事件是否相互独立若能把复杂事件分解为若干简单事件，则运用对立事件可把问题简化2由两个事件相互独立的定义，可推广到三个或三个以上相互独立事件的概率计算公式，即若a1，a2，an相互独立，则p(a1a2an)p(a1)p(a2)p(an)3在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰有一个发生”、“都发生”、“都不发生”、“不都发生”等词语的意义若能把相关事件正确地表示出来，同时注意使用逆向思考的方法，常常能使问题的解答变得简便请做演练巩固提升3三、二项分布【例3】 甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，且各人答对正确与否相互之间没有影响用表示甲队的总得分(1)求随机变量的分布列；(2)设c表示事件“甲得2分，乙得1分”，求p(c)方法提炼1独立重复试验是相互独立事件的特例，注意二者的区别独立重复试验必须具备如下的条件：(1)每次试验的条件完全相同，有关事件的概率不变；(2)各次试验结果互不影响，即每次试验相互独立；(3)每次试验只有两种结果，这两种可能结果的发生是对立的2判断某随机变量是否服从二项分布，主要看以下两点：(1)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生；(2)在每一次试验中，事件发生的概率相同若满足，则在n次独立重复试验中就可把事件发生的次数作为随机变量，此时该随机变量服从二项分布在写二项分布时，首先要确定x的取值，再直接用公式p(xk)计算概率即可请做演练巩固提升4服从二项分布的随机变量的求解【典例】 (12分)(2012四川高考)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)a和b，系统a和系统b在任意时刻发生故障的概率分别为和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；(2)设系统a在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望e.规范解答：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件c，那么1p()1p.(4分)解得p.(5分)(2)由题意，p(0)c3，(6分)p(1)c2，(7分)p(2)c2，(8分)p(3)c3.(9分)所以，随机变量的概率分布列为0123p故随机变量的数学期望：(11分)e()0123.(12分)答题指导：解决离散型随机变量分布列时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)对随机变量的理解不到位，造成对随机变量的取值求解错误；(2)求错随机变量取值的概率，造成所求解的分布列概率之和大于1或小于1，不满足分布列的性质；(3)要注意语言叙述的规范性，解题步骤应清楚、正确、完整，不要漏掉必要说明及避免出现严重跳步现象1甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为()a. b. c. d.2一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为a，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为b，求p(ab)，p(a|b)3在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率4某小学三年级的英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词；每周星期五对一周内所学过的单词随机抽取若干个进行检测(一周所学的单词每个被抽到的可能性相同)(1)英语老师随机抽了4个单词进行检测，求至少有3个是后两天学习过的单词的概率；(2)某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为，对前两天所学过的单词每个能默写对的概率为；若老师从后三天所学过的单词中各抽取了一个进行检测，求该学生能默写对的单词数的分布列参考答案基础梳理自测知识梳理1条件概率交积2p(b)相互独立相互独立事件3cnkpk(1p)nk基础自测1c解析：记甲去某地的概率是p(a)，乙去此地的概率是p(b)，故至少有1人去此地的概率为1p()1p()p()1.2.解析：设此射手的命中率为p，由1(1p)4，得p.考点探究突破【例11】 解：分别用a，b表示事件“甲下雨”和“乙下雨”，按题意有，p(a)20%，p(b)18%，p(ab)12%.(1)乙市下雨时甲市也下雨的概率为p(a|b).(2)甲乙两市至少一市下雨的概率为p(ab)p(a)p(b)p(ab)20%18%12%26%.【例12】 解：设a从第一个盒子中取得标有字母a的球，b从第一个盒子中取得标有字母b的球，r第二次取出的球是红球，w第二次取出的球是白球，则容易求得p(a)，p(b)，p(r|a)，p(w|a)，p(r|b)，p(w|b).事件“试验成功”表示为rarb，又事件ra与事件rb互斥，故由概率的加法公式，得p(rarb)p(ra)p(rb)p(r|a)p(a)p(r|b)p(b)0.59.【例2】 解：用a，b，c分别表示事件甲、乙、丙面试合格由题意知a，b，c相互独立，且p(a)p(b)p(c).(1)至少有1人面试合格的概率是1p()1p()p()p()13.(2)的可能取值为0,1,2,3.p(0)p(b)p(c)p()p()p(b)p()p()p()p(c)p()p()p()333，p(1)p(a c)p(ab)p(a)p(a)p()p(c)p(a)p(b)p()p(a)p()p()333，p(2)p(bc)p()p(b)p(c)，p(3)p(abc)p(a)p(b)p(c).所以，的分布列是0123p【例3】 解：(1)由题意知，的可能取值为0,1,2,3，且p(0)c03，p(1)c2，p(2)c2，p(3)3，所以的分布列为0123p(2)甲得2分，乙得1分，两事件是独立的，由上表可知，甲得2分，其概率p(2)，乙得1分，其概率为p.根据独立事件概率公式，得p(c).演练巩固提升1d解析：由甲、乙两队每局获胜的概率相同，知甲每局获胜的概率为，甲要获得冠军有两种情况：第一种情况是再打一局甲赢，甲获胜概率为；第二种情况是再打两局，第一局甲输，第二局甲赢则其概率为.故甲获得冠军的概率为.2解：由图可知，n()9，n(a)3，n(b)4，n(ab)1，所以p(ab)，p(a|b).3解：分别记这段时间内开关ja，jb，jc能够闭合为事件a，b，c.由题意可知，这段时间内该3个开关是否能够闭合相互之间是没有影响的根据相互独立事件的概率乘法公式，可得这段时间内3个开关都不闭合的概率是p()p