向量平面向量的数量积.doc

第3讲平面向量的数量积教学目标：1平面向量数量积的运算 2利用数量积求平面向量的夹角、模 3利用数量积判断两向量的垂直关系【复习指导】本讲复习时，应紧扣平面向量数量积的定义，理解其运算法则和性质，重点解决平面向量的数量积的有关运算，利用数量积求解平面向量的夹角、模，以及两向量的垂直关系基础梳理1两个向量的夹角已知两个非零向量a和b(如图)，作a，b，则AOB(0180)叫做向量a与b的夹角，当0时，a与b同向；当180时，a与b反向；如果a与b的夹角是90，我们说a与b垂直，记作ab.2两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0a0.3向量数量积的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的数量积4向量数量积的性质设a、b都是非零向量，e是单位向量，为a与b(或e)的夹角则(1)eaae|a|cos ；(2)abab0；(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|，特别的，aa|a|2或者|a|；(4)cos ；(5)|ab|a|b|.5向量数量积的运算律(1)abba；(2)ab(ab)a(b)；(3)(ab)cacbc.6平面向量数量积的坐标运算设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，向量a与b的夹角为，则(1)abx1x2y1y2；(2)|a|；(3)cosa，b；(4)abab0x1x2y1y20.7若A(x1，y1)，B(x2，y2)，a，则|a|(平面内两点间的距离公式)备注：一个条件两个向量垂直的充要条件：abx1x2y1y20.两个探究(1)若ab0，能否说明a和b的夹角为锐角？(2)若ab0，能否说明a和b的夹角为钝角？三个防范(1)若a，b，c是实数，则abacbc(a0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c若满足abac(a0)，则不一定有bc，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量(2)数量积运算不适合结合律，即(ab)ca(bc)，这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，a(bc)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(ab)c与a(bc)不一定相等(3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，与的夹角应为120，而不是60.双基自测1(人教A版教材习题改编)已知|a|3，|b|2，若ab3，则a与b的夹角为()A. B. C. D.解析设a与b的夹角为，则cos .又0，.答案C2若a，b，c为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是()A(ab)ca(bc) B(ab)cacbcCm(ab)mamb D(ab)ca(bc)答案D3(2011广东)若向量a，b，c满足ab，且ac，则c(a2b)()A4 B3 C2 D0解析由ab及ac，得bc，则c(a2b)ca2cb0.答案D4已知向量a(1,2)，向量b(x，2)，且a(ab)，则实数x等于()A9 B4 C0 D4解析ab(1x,4)由a(ab)，得1x80.x9.答案A5(2011江西)已知|a|b|2，(a2b)(ab)2，则a与b的夹角为_解析由|a|b|2，(a2b)(ab)2，得ab2，cosa，b，又a，b0，所以a，b.答案考向一求两平面向量的数量积【例1】(2011合肥模拟)在ABC中，M是BC的中点，|1，2，则()_.审题视点 由M是BC的中点，得2.解析如图，因为M是BC的中点，所以2，又2，|1，所以()24|2|2，故填.答案 当向量表示平面图形中的一些有向线段时，要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题目中未知的向量用已知的向量表示出来，在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知识【训练1】 如图，在菱形ABCD中，若AC4，则_.解析，故().而，.所以CA28.答案8考向二利用平面向量数量积求夹角与模【例2】已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|和|ab|.审题视点 由平面向量数量积的运算法则得ab的值，再求其夹角的余弦值，从而得其夹角解(1)(2a3b)(2ab)61，解得ab6.cos ，又0，.(2)|ab|2a22abb213，|ab|.|ab|2a22abb237.|ab|. 在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|要引起足够重视，是求距离常用的公式【训练2】 已知a与b是两个非零向量，且|a|b|ab|，求a与ab的夹角解设a与ab的夹角为，由|a|b|得|a|2|b|2.又由|b|2|ab|2|a|22ab|b|2.ab|a|2，而|ab|2|a|22ab|b|23|a|2，|ab|a|.cos .0180，30，即a与ab的夹角为30.考向三平面向量的数量积与垂直问题【例3】已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)(xR)(1)若ab，求x的值；(2)若ab，求|ab|.审题视点 利用abx1x2y1y20及abx1y2x2y10，求解解(1)若ab，则ab(1，x)(2x3，x)1(2x3)x(x)0.整理，得x22x30，解得x1或x3.(2)若ab，则有1(x)x(2x3)0，即x(2x4)0，解得x0或x2.当x0时，a(1,0)，b(3,0)，ab(2,0)，|ab|2.当x2时，a(1，2)，b(1,2)，ab(2，4)，|ab|2.综上，可知|ab|2或2. 已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程求出其中的参数值在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来，再计算数量积；另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的