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数学竞赛中的参数方程与极坐标问题 陈 舟 义乌市第四中学 浙江 322000 1 参数方程问题 参数方程是解析几何的重要内容 利用参数方 程解题 或者利用参数法求轨迹方程 有时会显得十 分灵活和便利 例1 1989年全国高中数学联赛试题 若M z z t 1 t 1 t t i t R t 1 t 0 N z z 2 cos arcsin t icos arccost t R t 1 则M N中元素的个数为 A 0 B 1 C 2 D 4 解 M中的点在曲线M x t 1 t y 1 t t t R t 1 t 0 上 N中 的 点 在 曲 线N x 2 1 t2 y 2t t R t 1 上 曲线M和N 的普通方程是 M xy 1 x 0 1 N x2 y2 2 0 x 2 于是 由线M和N的交点的横坐标满足x2 1 x2 2 即x 1 故M N 故选 A 例2 考虑一端在直线y x上 另一端在直线 y 2x上 而长为4的一切线段 求这些线段的中点 的轨迹方程 解 设连接A a a B b 2 b 的线段之中点 为P x y 则 x a b 2 y a 2b 2 1 a b 2 a 2 b 2 16 2 由 1 解得a 2 2x y b 2 y x 代入 2 得25x2 36xy 13y2 4 这就是所求所轨迹方程 合理选用参数 利用参数法求动点的轨迹方程 是一个十分有效的方法 例3 1993年全国高中数学联赛试题 实数 x y满足4x2 5xy 4y2 5 设 s x2 y2 则 1 smax 1 smin的值为 解 显然s x2 y2 0 设 x scos y ssin 代入 4x2 5xy 4y2 5得sin2 8s 10 5s 于 是 8s 10 5s 1 解之得10 13 s 10 3 smax 10 3 smin 10 13 故 1 smax 1 smin 8 5 例4 有一定长线段l l 1 其两端在抛物线 y x2上移动 试求 图1 例4图 1 此线段中点P的轨 迹方程 2 距x轴最底点P之 坐标 解 1 如 图1 设 P1P2 l 我们选P1P2与 x轴的夹角 为参数 设P1 x 1 y1 P 2 x 2 y2 P x y 则y1 x12 y x2 2 且x2 x1 lcos x22 x12 lsin 于是 可得 x1 1 2 tan lcos x2 1 2 tan lcos 542005年第8期 数 学 通 讯 1994 2007 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 从而有 x x1 x2 2 1 2 tan y y1 y2 2 1 4 tan2 l2cos2 此即P的轨迹 参数 方程 2 由 于y 1 4 tan2 l2cos2 1 4 l 2cos4 cos2 1 cos2 1 4 l cos2 1 2 cos2 2l 1 故当lcos2 1 0 即cos 1 l 时y有最小 值 ymin 1 4 2l 1 此时x 1 2 tan 1 2 l 1 所以距x轴最底点P的坐标为 1 2 l 1 1 4 2l 1 思考题1 1989年全国高中数学联赛试题 当 s和t取遍所有实数时 求 s 5 3 cost 2 s 2 sint 2 所能达到的最小值 思考题2 1998年全国高中数学联赛试题 若 椭圆x2 4 y a 2 4与抛物线x2 2y有公共 点 试求实数a的取值范围 思考题3 设在直角坐标平面上 P x y 与 P1 x 1 y1 相对应 且满足 x ax by p y bx ay q 其 中a b p q为常数 且b 0 设有两组互相对应的 点P1 x 1 y1 P 1 x 1 y1 和P2 x 2 y2 P 2 x 2 y2 试问 1 P1P2 与 P1 P2 之间有何关系 2 若点Q与自身对应 求Q之坐标 3 QP1P与 QP1 P2 有何关系 并求其面积 比 2 极坐标问题 解析几何就是用代数方法研究几何问题 建立 坐标系是把几何问题转化为代数问题的第一步 所 以合理地选择坐标系对于问题的解决十分重要 例 如 在极坐标系中圆维曲线便有统一的方程 ep 1 ecos 它给解决圆锥曲线中某些问题带来的方 便是不言自明的 因此选取适当的极坐标系 有时对 解题是很有好处的 例5 1982年全国高中数学联赛试题 极坐标 方程 1 1 cos sin 所确定的曲线是 A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 解 原方程可经为 1 1 2cos 4 由 离心率e 2 1 知所确定的是双曲线 故选 C 例6 1996年全国高中数学联赛试题 曲线C 的极坐标方程是 1 cos 点A的极坐标为 2 0 曲线C在它所在的平面内绕A旋转一周 求它 扫过的图形的面积 解 设 P 是曲线C上的任意一点 则 OP 1 cos 在三角形OA P中 由余弦定理 得 A P 2 OP 2 OA 2 2 OP OA cos 1 cos 2 4 2 2 1 cos cos 5 2cos 3cos2 16 3 3 cos 1 3 2 16 3 当 arccos 1 3 时 上式取等号 故 A P 的 最大值是 16 3 易知点A在曲线C上 当 从0增 大到arccos 1 3 时 A P 从0增大到 16 3 所以 曲线C扫过的图形是以A为圆心 16 3 为半径的 圆所围的部分 它的面积是16 3 图2 例7图 例7 已知双曲线 x2 a2 y2 b2 1 b a 0 的弦PQ对 中心O张直角 试求S OPQ的 最小值 解 如图2 以双曲线中 心O为极点 x轴正半轴为极轴建立坐标系 那么 双曲线方程为 2cos2 a2 1 2sin2 b2 64数 学 通 讯 2005年第8期 1994 2007 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 设 P 1 Q 2 2 其中 2 0 12 a2b2 b2cos2 a2sin2 OQ 2 0 22 a2b2 b2sin2 a2cos2 由于S OPQ 1 2 OP OQ 1 2 1 2 1 4 12 22 故 S OPQ2 1 4 12 22 a4b4 4 1 b 2cos2 a2sin2 b 2sin2 a2cos2 a4b4 sin22 a4 b4 a2b2 tan2 cot2 0 sin22 1 tan2 cot2 2 sin22 1 且tan2 cot2 2时 分母有最大值 a 2 b2 2 S OPQ2的最小值为 a4b4 a 2 b2 2 即 S OPQ的 最小值为 a2b2 b2 a2 思考题4 1984年全国高中数学联赛试题 对 所有满足1 n m 5的m n 极坐标方程 1 1 Cnmcos 表示的不同双曲线条数是 A 15 B 10 C 7 D 6 思考题5 1997年全国高中数学联赛试题 过 双曲线x2 y2 2 1的右焦点作直线l交双曲线于 A B两点 若实数 使得 AB 的直线l恰好有 3条 求 思考题6 1991年全国高中数学联赛试题 设 O为抛物线的顶点 F为焦点 且PQ为过F的弦 已知 OF a PQ b 求 OPQ的面积 思考题答案和提示 1 考 虑 直 线 x s 5 y s 和 椭 圆 弧 x 3 cost y 2 sint 则原式表示直线上任意一点与椭圆弧 上任意一点之间的距离的平方 显然 3 0 点到直线 的垂直距离最短 故所求的最小值为2 2 由x2 4 y a 2 4 设x 2cos y a sin 代入x2 2y得a 2cos2 sin 2 sin 1 4 2 17 8 因为 1 sin 1 则0 sin 1 4 2 25 16 从 而 1 a 17 8 3 1 P 1P 2 a2 b2 P1P2 2 Q 1 a p bq 1 a 2 b2 1 a q bq 1 a 2 b2 3 QP1P2 QP 1P 2 S QP1P2 S QP 1 P 2 1 a2 b2 4 D 5 过双曲线x2 y2 2 1的右焦点且与右支交 于两点的弦 当且仅当该弦与x轴垂直时 取得最 小长度2 b2 a2 4 事实上 该双曲线的极坐标方程为 2 1 3cos 又设AB是过右焦点F仅与右支相交 的弦 AB 2 1 3cos 2 1 3cos 4 1 3cos2 4 当 2 时等号成立 由于满足条件的直线恰有 3条时 只有两种可能 1 与双曲线左 右支都相交的只有一条 由对称 性 该直线必为双曲线的实轴 而仅与右支相交的 有两条 不难验证此时不满足题设条件 2 与双曲线左 右支都相交的只有二条 而仅与 右支相交的只有一条 由对称性 知这条弦必与x 轴垂直 此时 AB 4 当 4时 可以证明与 双曲线左 右支都相交且弦长为4的弦有两条 故 4 6 以F为极点 OF为极轴建立极坐