概率习题答案5.doc

第五章 数理统计的基础知识5.1 数理统计的基本概念习题一已知总体X服从0,上的均匀分布(未知),X1,X2,Xn为X的样本，则().(A)1ni=1nXi-2是一个统计量；(B)1ni=1nXi-E(X)是一个统计量；(C)X1+X2是一个统计量；(D)1ni=1nXi2-D(X)是一个统计量.解答：应选(C).由统计量的定义：样本的任一不含总体分布未知参数的函数称为该样本的统计量.(A)(B)(D)中均含未知参数.习题2观察一个连续型随机变量，抽到100株“豫农一号”玉米的穗位(单位：cm),得到如下表中所列的数据. 按区间70,80),80,90),150,160),将100个数据分成9个组，列出分组数据计表(包括频率和累积频率),并画出频率累积的直方图.解答：分组数据统计表组序号12345组限组中值组频率组频率%累计频率%70807533380908599129010095131325100110105161661110120115262667组序号6789组限组中值组频率组频率%累计频率%1201301252020871301401357794140150145449815016015522100频率直方图见图(a),累积频率直方图见图(b).习题3测得20个毛坯重量(单位：g),列成如下简表：毛坯重量185187192195200202205206 频数11111211毛坯重量207208210214215216218227 频数21112121将其按区间183.5,192.5),219.5,228.5)组，列出分组统计表，并画出频率直方图.解答：分组统计表见表组序号12345 组限组中值组频数组频率/%183.5,192.5192.5,201.5201.5,210.5210.5,219.5219.5,228.518819720621522432861151040305频率直方图见下图习题4某地区抽样调查200个居民户的月人均收入，得如下统计资料：月人均收入(百元)5-66-77-88-99-1010-1111-12合计 户数18357624191414200求样本容量n,样本均值X，样本方差S2.解答：对于抽到的每个居民户调查均收入，可见n=200.这里，没有给出原始数据，而是给出了整理过的资料(频率分布),我们首先计算各组的“组中值”，然后计算X和S2的近似值：月人均收入(百元)5-66-77-88-99-1010-1111-12合计 组中值ak5.56.57.58.59.510.511.5- 户数fk18357624191414200X=1nkakfk=1200(5.518+11.514)=7.945,S21n-1k(ak-X)2fk=1n-1kak2fk-X2=1199(5.5218+11.5214)-7.945266.0402-63.123025=2.917175.习题5设总体X服从二项分布B(10,3100),X1,X2,Xn为来自总体的简单随机样本，X=1ni=1nXi与Sn2=1ni=1n(Xi-X)2分别表示样本均值和样本二阶中心矩，试求E(X),E(S2).解答：由XB(10,3100),得E(X)=103100=310,D(X)=10310097100=2911000,所以E(X)=E(X)=310,E(S2)=n-1nD(X)=291(n-1)1000n.习题6设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料日售出台数k23456合计 天数fk2030102515100求样本容量n,经验分布函数Fn(x).解答：(1)样本容量n=100;(2)经验分布函数Fn(x)=0,x20.20,2x30.50,3x40.60,4x50.85,5xx=1-PX1x,X2x,Xnx =1-PX1xPX2xPXnx =1-1-PX1x1-PX2x1-PXnx =1-1-F(x)n,F1(x)=f1(x)=n1-F(x)n-1f(x).习题8设总体X服从指数分布e(),X1,X2是容量为2的样本，求X(1)，X(2)的概率密度.解答：f(x)=e-x,x00,其它, F(x)=1-e-x,x00,x0,X(2)的概率密度为f(2)(x)=2F(x)f(x)=2e-x(1-e-x),x00,其它,又X(1)的概率密度为f(1)(x)=21-F(x)f(x)=2e-2x,x00,其它.习题9设电子元件的寿命时间X(单位：h)服从参数=0.0015的指数分布，今独立测试n=6元件，记录它们的失效时间，求：(1)没有元件在800h之前失效的概率；(2)没有元件最后超过3000h的概率.解答：(1)总体X的概率密度f(x)=(0.0015)e-0.0015x,x00,其它,分布函数F(x)=1-e-0.0015x,x00,其它,没有元件在800h前失效=最小顺序统计量X(1)800,有PX(1)800=PX8006=1-F(800)6=exp(-0.00158006)=exp(-7.2)0.000747.(2)没有元件最后超过3000h=最大顺序统计量X(6)3000PX(6)3000=PX30006=F(3000)6 =1-exp-0.001530006=1-exp-4.560.93517.习题10设总体X任意，期望为,方差为2,若至少要以95%的概率保证X-0.1,问样本容量n应取多大？解答：因当n很大时，X-N(,2n),于是PX-0.1=P-0.1X+0.1 (0.1/n)-(-0.1/n)=2(0.1n)-10.95,则(0.1n)0.975,查表得(1.96)=0.975,因(x)非减，故0.1n1.96,n384.16,故样本容量至少取385才能满足要求.5.2 常用统计分布习题1对于给定的正数a(0aF1-a(n1,n2)=P1F1F1-a(n1,n2)由于1FF(n2,n1),所以P1F1F1-a(n1,n2)=P1FFa(n2,n1)=a,即F1-a(n1,n2)=1Fa(n2,n1). 故(D)也是对的.习题2(1)2.设总体XN(0,1),X1,X2,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布?(1)X1-X2X32+X42;解答：因为XiN(0,1),i=1,2,n,所以：X1-X2N(0,2),X1-X22N(0,1),X32+X422(2),故X1-X2X32+X42=(X1-X2)/2X32+X422t(2).习题2(2)2.设总体XN(0,1),X1,X2,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布?(2)n-1X1X22+X32+Xn2;解答：因为XiN(0,1),i=2nXi22(n-1),所以n-1X1X22+X32+Xn2=X1i=2nXi2/(n-1)t(n-1).习题2(3)2.设总体XN(0,1),X1,X2,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布?(3)(n3-1)i=13Xi2/i=4nXi2.解答：因为i=13Xi22(3),i=4nXi22(n-3),所以：(n3-1)i=13Xi2/i=4nXi2=i=13Xi2/3i=4nXi2/(n-3)F(3,n-3).习题3设X1,X2,X3,X4是取自正态总体XN(0,22)的简单随机样本，且Y=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2,则a=?,b=?时，统计量Y服从2分布，其自由度是多少？解答：解法一Y=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2,令Y1=a(X1-2X2),Y2=b(3X3-4X4),则Y=Y12+Y22,为使Y2(2),必有Y1N(0,1),Y2N(0,1),因而E(Y1)=0,D(Y1)=1,E(Y2)=0,D(Y2)=1,注意到D(X1)=D(X2)=D(X3)=D(X4)=4,由D(Y1)=Da(X1-2X2)=aD(X1-X2)=a(D(X1)+22D(X2)=a(4+44)=20a=1,D(Y2)=Db(3X3-4X4)=bD(3X3-4X4)=b(9D(X3)+16D(X4)=b(49+164)=100b=1,分别得a=120,b=1100.这时Y2(2),自由度为n=2.解法二 因XiN(0,22)且相互独立，知X1-2X2=X1+(-2)X2N(0,20),3X3-4X4=3X3+(-4)X4N(0,100),故X1-2X220N(0,1),3X3-4X4100N(0,1),为使Y=(X1-2X21/a)2+(3X3-4X41/b)22(2),必有X1-2X21/aN(0,1),3X3-4X41/bN(0,1),与上面两个服从标准正态分布的随机变量比较即是1a=20,1b=100,即a=120,b=1100.习题4设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N(0,32).X1,X2,X9和Y1,Y2,Y9是分别取自总体X和Y的简单随机样本，试证统计量T=X1+X2+X9Y12+Y22+Y92服从自由度为9的t分布.解答：首先将Xi,Yi分别除以3,使之化为标准正态.令Xi=Xi3,Yi=Yi3,i=1,2,9,则XiN(0,1),YiN(0,1);再令X=X1+X2+X9,则XN(0,9),X3N(0,1),Y2=Y12+Y22+Y92,Y22(9).因此T=X1+X2+X9Y12+Y22+Y92=X1+X2+X9Y12+Y22+Y92=XY2=X/3Y2/9t(9),注意到X,Y2相互独立.习题5设总体XN(0,4),而X1,X2,X15为取自该总体的样本，问随机变量Y=X12+X22+X1022(X112+X122+X152)服从什么分布？参数为多少？解答：因为Xi2N(0,1),故Xi242(1),i=1,2,15,而X1,X2,X15独立，故X12+X22+X10242(10),X112+X122+X15242(5),所以X12+X22+X1024/10X112+X122+X1524/5=X12+X22+X1022(X112+X122+X152)=Y习题6证明：若随机变量X服从F(n1,n2)的分布，则(1)Y=1X服从F(n2,n1)分布；(2)并由此证明F1-(n1,n2)=1F(n2,n1).解答：(1)因随机变量X服从F(n1,n2),故可设X=U/n1V/n2,其中U服从2(n1),V服从2(n2),且U与V相互独立，设1X=V/n2U/n1,由F分布之定义知Y=1x=V/n2U/n1,服从F(n2,n1).(2)由上侧分位数和定义知PXF1-(n1,n2)=1-,P1X1F1-(n1,n2)=1-,即PY1F1-(n1,n2)=1-,1-PY1F1-(n1,n2)=1-,故PY1F1-(n1,n2)=,而PYF(n2,n1)=.又Y为连续型随机变量，故PY1F1-(n1,n2)=,从而F(n2,n1)=1F1-(n1,n2),即F1-(n1,n2)=1F(n2,n1).习题7查表求标准正态分布的上侧分位数：u0.4,u0.2,u0.1与u0.05.解答：u0.4=0.253,u0.2=0.8416,u0.1=1.28,u0.05=1.65.习题8查表求2分布的上侧分位数：0.952(5),0.052(5),0.992(10)与0.012(10).解答：1.145,11.071,2.558,23.209.习题9查表求F分布的上侧分位数：F0.95(4,6),F0.975(3,7)与F0.99(5,5).解答：0.1623,0.0684,0.0912.习题10查表求t分布的下侧分位数：t0.05(3),t0.01(5),t0.10(7)与t0.005(10).解答：2.353,3.365,1.415,3.169.5.3 抽样分布习题1已知离散型均匀总体X,其分布律为X246pi1/31/31/3取大小为n=54的样本，求：(1)样本平均数X落于4.1到4.4之间的概率；(2)样本均值X超过4.5的概率.解答：=E(X)=13(2+4+6)=4,2=E(X2)-E(X)2=13(22+42+66)-42=83,所以X=4,X2=2n=8/354=481,X=29.令Z=X-42/9,则n充分大时，Z近似N(0,1).(1)P4.1X4.4=P4.1-42/9Z4.5=PZ4.5-42/9=1-PZ2.251-(2.25)=1-0.9878=0.0122.习题2设总体X服从正态分布N(10,32),X1,X2,X6是它的一组样本，设X=16i=16Xi.(1)写出X所服从的分布；(2)求X11的概率.解答：(1)XN(10,326),即XN(10,32).(2)PX11=1-PX11=1-(11-1032)1-(0,8165)1-(0.82)=0.2061.习题3设X1,X2,Xn是总体X的样本，X=1ni=1nXi,分别按总体服从下列指定分布求E(X),D(X).(1)X服从0-1分布b(1,p);(2)*X服从二项分布b(m,p);(3)X服从泊松分布P(); (4)X服从均匀分布Ua,b;(5)X服从指数分布e().解答：(1)由题意，X的分布律为：PX=k=Pk(1-P)1-k(k=0,1).E(X)=p,D(X)=p(1-p).所以E(X)=E(1ni=1nXi)=1ni=1nE(Xi)=1nnp=p,D(X)=D(1ni=1nXi)=1n2i=1nD(X1)=1n2np(1-p)=1np(1-p).(2)由题意，X的分布律为：PX=k=CmkPk(1-p)m-k(k=0,1,2,m).同(1)可得E(X)=mp,D(X)=1nmp(1-p).(3)由题意，X的分布律为：PX=k=kk!e-(0,k=0,1,2,).E(X)=,D(X)=.同(1)可得E(X)=,D(X)=1n.(4)由E(X)=a+b2,D(X)=(b-a)212,同(1)可得E(X)=a+b2,D(X)=(b-a)212n.(5)由E(X)=1,D(X)=12,同(1)可得D(X)=1,D(X)=1n2.习题4 某厂生产的搅拌机平均寿命为5年，标准差为1年，假设这些搅拌机的寿命近似服从正态分布，求：（1）容量为9的随机样本平均寿命落在4.4年和5.2年之间的概率；（2）容量为9的随机样本平均寿命小于6年的概率。解答：（1）由题意知XN(5,1n),n=9，则标准化变量Z=X-51/9=X-51/3N(0,1).而 P4.4X5.2=P4.4-51/3X-51/35.2-51/3=P-1.8Z0.6(0.6)-(-1.8)=0.7257-0.0359=0.6898（2）PX6=PX-51/36-51/3=PZ1.解答：XN(0,1616)，YN(1,925)，X-YN(-1,1+925)，即X-YN(-1,3425)标准化变量X-Y，令Z=X-Y34/5N(0,1)，所以PX-Y1=1-PX-Y1=1-P-1X-Y1=1-P0X-Y+134/5234/51-(1.715)+(0)=1-0.9569+0.5=0.5431习题6假设总体X服从正态分布N(20,32),样本X1,X25来自总体X,计算Pi=116Xi-i=1725Xi182.解答：令Y1=i=116Xi,Y2=i=1725Xi,由于X1,X25相互独立同正态分布N(20,32),因此有Y1与Y2相互独立，且Y1N(320,122),Y2N(180,92),Y1-Y2N(140,152),Pi=116Xi-i=1725Xi182=PY1-Y2182, =PY1-Y2-140152.8(2.8)=0.997.习题7从一正态总体中抽取容量为n=16的样本，假定样本均值与总体均值之差的绝对值大于2的概率为0.01,试求总体的标准差.解答：设总体XN(,2),样本均值为X,则有X-/n=X-/4N(0,1).因为PX-2=PX-/48=2PZ8=21-(8)=0.01,所以(8)=0.995.查标准正态分布表，得8=2.575,从而=82.575=3.11.习题8设在总体N(,2)中抽取一容量为16的样本，这里,2均为未知.(1)求PS2/22.041,其中S2为样本方差；(2)求D(S2).解答：(1)因为是正态总体，根据正态总体下的统计量分布可知(n-1)S222(n-1).这里n=16,于是PS2/22.041=P(15S22152.041) =1-P15S2230.615(查2分布表可得) =1-0.01=0.99.(2)因为(n-1)S222(n-1),又知D(n-1)S22)=2(n-1),所以D(S2)=4(n-1)2D(n-1)S22)=4(n-1)22(n-1)=2n-14=2154(因为n=16).习题9设总体XN(,16),X1,X2,X10为取自该总体的样本，已知PS2a=0.1,求常数a.解答：因为(n-1)S222(n-1),n=10,=4,所以PS2a=P9S216916a=0.1.查自由度为9的2分布表得，916a=14.684,所以a26.105.习题10设X1,X2,Xn和Y1,Y2,Yn分别取自正态总体XN(1,2)和YN(2,2)且相互独立，问以下统计量服从什么分布？(1)(n-1)(S12+S22)2;(2)n(X-Y)-(2-2)2S12+S22.解答：(1)由(n-1)S1222(n-1),(n-1)S2222(n-1),由2(n)的可加性(n-1)(S12+S22)2(2(n-1).(2)X-YN(1-2,22n),标准化后(X-Y)-(1-2)2nN(0,1),故有(X-Y)-(1-2)222n2(1),又由(n-1)(S12+S22)22(2n-2),注意F分布定义(X-Y)-(1-2)21n22/1(n-1)(S12+S22)2/2(n-1)=n(X-Y)-(1-2)2S1习题11分别从方差为20和35的正态总体中抽取容量为8和10的两个样本，求第一个样本方差不小于第二个样本方差的两倍的概率.解答：用S12和S22分别表示两个样本方差，由定理知F=S12/12S22/22=S12/20S22/35=1.75S12S22F(8-1,10-1)=F(7,9).又设事件A=S122S22,下面求PS122S22,因PS122S22=PS12S222=PS12/20S22/3523520=PF3.5.查F分布表得到自由度为n1=7,n2=9的F分布上分布点F(n1=7,n2=9)有如下数值：F0.05(7,9)=3.29,F0.025(7,9)=4.20,因而F0.05(7,9)=3.293.5F0.025(7,9)=4.20,即事件A的概率介于0.025和0.05之间，故0.025PS122S220.05.总习题解答习题1设总体X服从泊松分布.一个容量为10的样本值为1,2,4,3,3,4,5,6,4,8,计算样本均值，样本方差和经验分布函数.解答：样本的频率分布为x=4,s2=3.6.经验分布函数为F10(x)=0,x11/10,1x22/10,2x34/10,3x47/10,4x58/10,5x69/10,6x00,x0(未知),样本X1,X2,Xn是n件某种电器的使用寿命，抽到的n件电器的使用寿命是样本的一组观察值.样本X1,X2,Xn相互独立，来自同一总体X,所以样本的联合密度为f(x1,x2,xn)=ne-(x1+x2+xn),x1,x2,xn00,其它.习题3设总体X在区间a,b上服从均匀分布，求：(1)来自X的简单随机样本X1,X2,Xn的密度f(x1,x2,xn);(2)Y=maxX1,X2,Xn的密度fY(x); Z=minX1,X2,Xn的密度fZ(x).解答：(1)X的密度为f(x)=1b-a,x(a,b)0,其它, 由于X1,X2,Xn独立且与X同分布，所以有f(x1,x2,xn)=i=1nf(xi)=1(b-a)n,ax1xnb0,其它.(2)由题设X在a,b上服从均匀分布，其分布函数为F(x)=0,xb,由Y=maxX1,X2,Xn及Z=minX1,X2,Xn分布函数的定义FY(x)=F(x)n, FZ(x)=1-1-F(x)n,于是有fY(x)=nFn-1(x)f(x)=n(x-a)n-1(b-a)n,xa,b,fZ(x)=n1-Fn-1(x)n-1f(x)=n(b-x)n-1(b-a)n,xa,b.习题4在天平上重复称一重量为a的物品，假设各次称量的结果相互独立，且服从正态分布N(a,0.2).若以X表示n次称量结果的算术平均值，求使PX-a0.10.95成立的称量次数n的最小值.解答：因为X=1ni=1nXiN(a,(0.2)2n),所以X-a0.2/nN(0,1),故PX-a0.1=PX-a0.2/n0.3.解答：因为X1,X2,X10和Y1,Y2,Y15独立同分布，所以XN(20,310),YN(20,0.2),于是X-YN(0,0.5).PX-Y0.3=PX-Y/0.50.3/0.5=1-PX-Y/0.50.3/0.5=21-(0.3/0.5)=21-0.6628=0.6744(查正态分布表).习题6设总体XN(,2),假如要以0.9606的概率保证偏差X-0.1,试问：当2=0.25时，样本容量n应取多大？解答：PX-0.1=0.9606,即PX-0.1=PX-0.25/n0.10.25/n=2(0.1n0.25)-1=0.9606,(0.1n0.25)=0.9803n5=2.06n106.PX-0.1=0.9606,即PX-0.1=PX-0.25/n)=PX1-X22/nn2=2(-n2)=21-(n2)0.975,查正态分布表n21.96,所以n7.68,即取n=8.习题8设总体Xf(x)=x,x0.02.解答：=E(X)=-11xxdx=0,2=D(X)=E(X2)-E(X)2=E(X2)=-11x2xdx=12.(1)X=1ni=1nXi(n=50)E(X)=E(1ni=1nXi)=1ni=1nE(Xi)=0,D(X)=2n=12n=1100;(2)E(S2)=1n-1i=1n(Xi-X)2=1n-1Ei=1n(Xi-X)2=1n-1E(i=1nXi2-nX2)=1n-1(i=1nD(X1)-nD(X)=1n-1(n12-n12n)=12;(3)PX0.02=1-PX0.02=1-PX-D(X)0.02-D(X)=1-PX1/100.2=21-(0.2)=0.8414.习题9从一正态总体中抽取容量为10的样本，设样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上的概率为0.02,求总体的标准差.解答：由于XN(,2n),故有0.02=PX-4=PX-/n4/n2(1-(4/n)2(1-(12.65),(12.65)=0.99,即有12.65=u0.01=2.33,解得5.43.习题10设X1,Xn是取自总体X的样本，X,S2分别为样本均值与样本方差，假定=E(X),2=D(X)均存在，试求E(X),D(X),E(S2).解答：E(X)=1ni=1nE(Xi)=1ni=1nE(X)=,D(X)=1n2i=1nD(Xi)=1n2i=1nD(X)=2n,E(S2)=E(1n-1(i=1nXi2-nX2)=1n-1(i=1nE(Xi2)-nE(X2)=1n-1(i=1nE(X2)-nE(X2)=1n-1(i=1n(2+2)-n(2+(2n)=2.注：本题证明了对于任何存在均值与方差2的总体分布，均有E(X)=,E(S2)=2.习题11设总体X服从正态分布N(,2)(0),从总体中抽取简单随机样本X1,X2n(n2),其样本均值为X=12ni=12nXi,求统计量Y=i=1n(Xi+Xn+i-2X)2的数学期望.解答：注意到Xi+Xn+i相互独立，同分布N(2,22),则它们可认为是取自同一正态总体N(2,22)的样本，其样本均值为1ni=1n(Xi+Xn+i)=1ni=12nXi=2X.如果记Zi=Xi+Xn+i,i=1,n,即Zi(i=1,n)是取自N(2,22)的样本，且Yn-1=1n-1i=1n(Xi+Xn+i-2X)2=S2(Z),则有E(S2(Z)=1n-1E(Y)=22,所以E(Y)=2(n-1)2.习题12设有k个正态总体XiN(i,2),从第i个总体中抽取容量为ni的样本Xi1,Xi2,Xini,且各组样本间相互独立，记Xi=1nj=1niXij(i=1,2,k),n=n1+n2+nk,求W=12i=1kj=1ni(Xij-Xi)2的分布.解答：因为j=1ni(Xij-Xi)22=(ni-1)Si222(ni-1),且(ni-1)Si22(i=1,2,k)相互独立，故W=12i=1kj=1ni(Xij-Xi)2=i=1k(ni-1)Si222(i=1k(ni-1),而i=1k(ni-1)=i=1kni-k=n-k,故W=12i=1kj=1ni(Xij-Xi)22(n-k).习题13已知Xt(n),求证X2F(1,n).解答：设X=U/Yn,其中UN(0,1),Y2(n).且U与Y相互独立，于是，U22(1),且U2与Y也相互独立，所以X2=U2/(Yn).根据F变量的构成模式知，X2应服从F(1,n)分布.习题14设X1,X2,X9是取自正态总体XN(,2)的样本，且Y1=16(X1+X2+X6),Y2=13(X7+X8+X9),S2=12i=79(Xi-Y2)2,求证Z=2(Y1-Y2)St(2).解答：易知Y1=16(X1+X2+X6)N(,26),Y2=13(X7+X8+X9)N(,23),且Y1与Y2独立，故Y1-Y2N(0,22),又2S22=i=79(Xi-Y2)2/22(2),Y1-Y2与2S22独立，从而(Y1-Y2)/22S22/2=2(Y1-Y2)S=Zt(2).习题15设X1,Xn,Xn+1是取自正态总体XN(,2)的样本，Xn=1ni=1nXi,Sn=1n-1i=1n(Xi-Xn)2,试确定统计量nn+1Xn+1-XnSn的分布.解答：将统计量改写成下列形式：nn+1Xn+1-XnSn=(Xn+1-Xn)/1+1n(n-1)Sn22/(n-1)(*)由于Xn+1与Xi(i=1,n)相互独立，Xn=1ni=1nXiN(,2n),Xn+1N(,2),所以Xn+1-XnN(0,(1+1n)2),从而(Xn+1-Xn)/(1+1n)N(0,1),注意到Xn与Sn2相互独立，Xn+1也与Sn2相互独立，且(n-1)Sn222(n-1),故由(*)式即得nn+1Xn+1-XnSnt(n-1).习题16假设X1,X2,X9是来自总体XN(0,22)的简单随机样本，求系数a,b,c,使Q=a(X1+X2)2+b(X3+X4+X5)2+c(X6+X7+X8+X9)2服从2分布，并求其自由度.解答：由于X1,X2,X9相互独立且取自总体XN(0,22),由正态