【优化指导】高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练） 7.3.2　圆的一般方程导学案 湘教版必修3.doc

7.3.2圆的一般方程1方程x2y2dxeyf0表示的图形方程条件图形x2y2dxeyf0d2e24f0不表示任何图形d2e24f0表示一个点d2e24f0表示以为圆心，以为半径的圆(1)圆x2y22x4y40的圆心坐标为_，半径为_提示：(1，2)3(2)方程x2y23x4ya0表示圆，则实数a的取值范围是_提示：2求圆的方程的方法(1)公式法：求圆心坐标和半径的方法(2)待定系数法：列方程求d，e，f的方法(1)平面内任一圆的一般方程都是关于x，y的二元二次方程，反之是否成立？提示：不一定如方程x22xyy20，即xy0，代表一条直线，而不是一个圆(2)已知点m(x0，y0)和圆的一般方程x2y2dxeyf0(d2e24f0)，如何判断点m与圆的位置关系？提示：点与圆的位置关系代数关系点m在圆外x02y02dx0ey0f0点m在圆上x02y02dx0ey0f0点m在圆内x02y02dx0ey0f0一、圆的判别及标准方程与一般方程的互化【例1】判断方程x2y24mx2my20m200能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径本题可直接利用d2e24f0是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数解法一：由方程x2y24mx2my20m200，可知d4m，e2m，f20m20，d2e24f16m24m280m8020(m2)2，因此，当m2时，它表示一个点；当m2时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，m)，半径为r|m2|.解法二：原方程可化为(x2m)2(ym)25(m2)2，因此，当m2时，它表示一个点；当m2时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，m)，半径为r|m2|.对于这个类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即x2与y2的系数相等，不含xy的项；当它具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一是看d2e24f是否大于零，二是直接配方变形，看右端是否为大于零的常数即可11下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径(1)2x2y27y50；(2)x2xyy26x7y0；(3)x2y22x4y100；(4)2x22y25x0.解：(1)方程2x2y27y50中x2与y2的系数不相同，它不能表示圆(2)方程x2xyy26x7y0中含有xy这样的项，它不能表示圆(3)方程x2y22x4y100化为(x1)2(y2)25，它不能表示圆(4)方程2x22y25x0化为2y22，它表示以为圆心，为半径的圆二、求圆的一般方程【例2】已知abc的三个顶点分别为a(1,5)，b(2，2)，c(5,5)，求其外接圆的一般方程设出圆的一般方程，然后将已知点的坐标代入方程组成方程组，解方程组求出d，e，f，也可用圆的几何性质求解解法一：设所求圆的方程为x2y2dxeyf0(d2e24f0)，由题意得解得故圆的方程为x2y24x2y200.解法二：由题意可求得弦ac的垂直平分线的方程为x2，bc的垂直平分线的方程为xy30，由解得圆心p的坐标为(2,1)圆的半径r|ap|5.圆的方程为(x2)2(y1)225，即x2y24x2y200.若已知圆上的点较多(两个或三个)，通常设出圆的一般方程，用待定系数法求解21过原点，且在x轴，y轴上的截距分别为p，q(p0，q0)的圆的方程是()ax2y2pxqy0bx2y2pxqy0cx2y2pxqy0 dx2y2pxqy0解析：设圆的方程为x2y2dxeyf0，圆过(0,0)，(p,0)，(0，q)三点，即圆的方程为x2y2pxqy0.答案：a22圆心是(3,4)，且经过点m(5,1)的圆的一般方程为_解析：设圆的方程是x2y2dxeyf0，由题意知：3，4；又m(5,1)在圆上，5212d5e1f0.解之可得：d6，e8，f48，故圆的方程是x2y26x8y480.答案：x2y26x8y480三、与圆有关的轨迹问题【例3】已知p在圆c：x2y24x30上运动，求线段op的中点m的轨迹方程将圆的方程化成标准方程(x2)2y21.如图，点p运动引起m运动，而点p在已知圆上运动，点p的坐标满足方程(x2)2+y2=1，点m与点p坐标之间的关系，就可以建立点m的坐标满足的条件，求出点m的轨迹方程或作mo1cp，则|mo1|=|pc|，利用圆的定义求出点m的轨迹方程解法一：(代入法)设点m坐标为(x，y)，点p的坐标为(x0，y0)，点o坐标为(0,0)，由中点坐标公式可得x，y，于是x02x，y02y.点p在圆(x2)2y21上运动，点p的坐标满足方程(x2)2y21，即(x02)2y021.把代入，得(2x2)2(2y)21，整理，得(x1)2y2.所以，点m的轨迹是以(1,0)为圆心，为半径的圆解法二：(定义法)连结pc，取oc的中点o1，m为op的中点，mo1是opc的中位线|mo1|pc|.o1是定点，其坐标为(1,0)，根据圆的定义，可知点m的轨迹是以o1(1,0)为圆心，为半径的圆，其方程是(x1)2y2.这个类型的题目，常用的方法有：(1)直接法，(2)定义法，(3)代入法，其中直接法是求曲线方程最重要的方法，代入法常用于处理一个主动点与一个被动点问题，只需找出这两点坐标之间的关系，然后代入主动点满足的轨迹方程即可31若动点a在圆x2y22x2y10上运动，则它与定点b(3,2)连线的中点m的轨迹是()a直线 b圆c抛物线 d点或线段解析：设a(x1，y1)，m(x，y)，m是线段ab的中点，解得点a在圆x2y22x2y10上运动，x12y122x12y110，(2x3)2(2y2)22(2x3)2(2y2)10，整理得(2x4)2(2y3)21.(x2)22，即点m的轨迹是以为圆心，为半径的圆答案：b32自a(4,0)