2017年安徽省大学生力学竞赛单科组试题解答及评分标准.pdf

2017 年安徽省大学生力学竞赛单科组试题解答及评分标准 第一题 35 分 图示结构由杆 AB BD EC CG 和 EH 组成 不计各杆的重量 尺寸如图所示 各杆之间用圆柱形光滑铰链连接 其 中 A 处为固定端 D 和 E 处为活动铰 链支座 已知 2 321 qaMMM qaF 试求 1 支座 D 和 E 处的支座反力 2 支座 A 处的支座反力 3 销钉 E 对杆 EC 的作用力 解 1 本小题 14 分 以 BD 杆为研究对象 受力图如图 1 1 所示 1 分 由平衡条件得 22 0 DBxBy FFqaFF 3 分 再以 ECG 为研究对象 受力图如图 1 2 所示 2 分 0 x F 得 0 Cx F 2 分 23 20 CE MFaMMF a 得 2 E Fqa 3 分 0 yCyE FFFF 得 3 Cy Fqa 3 分 2 本小题 11 分 以 AB 杆为对象 受力图如图 1 3 所示 2 分 0 x F 得 0 Ax F 2 分 0 yAyCy FFFqa 得 4 Ay Fqa 3 分 1 1 50 AACy MMMF aqaa 得 2 3 5 A Mqa 4 分 3 本小题 10 分 以 EH 杆为研究对象 受力图如 图 1 4 所示 2 分 220 GECyE MFaFaFa 得 1 5 ECy Fqa 3 分 B D 2F D F By F Bx F 图 1 1 H 2 M E F G C Cy F Cx F E F 3 M 图 1 2 A C B q A M 1 M Cy F Ax F Ay F 图 1 3 H E F G ECy F ECx F E F GCy F GCx F 图 1 4 aaa a aaa F F2 q H G E A B C D 1 M 2 M 3 M 再以 EC 杆为研究对象 受力图如图 1 5 所示 2 分 2 0 CECyECx MMFaFa 得 0 5 ECx Fqa 3 分 第二题 30 分 图示平面机构 rOA2 rBO2 1 rBD22 曲柄 OA 以角速度 0 绕 O 轴作匀速转动 套筒 A 套在杆 O1B 上 杆 BD 穿过套筒 C 套筒 C 可绕铰链转动 在图示位 置 杆 O1B 垂直于 O 和 O1两点的连线 rCDBC2 试求 1 杆 O1B 的角速度和角加速度 2 杆 BD 的角速度和角加速度 3 D 点的绝对加速度大小 解 1 本小题 12 分 以套筒 A 为动点 动系固定在 1 O B杆上 速度图和加速度图如图 2 1 所示 2 分 0 2 A vr 0 45sin eA vvr 2 分 1 O B杆转动的角速度 11 0e vO A 1分 0 45cos rA vvr 1 分 2 1 0 22 Cr avr 1 分 2 0 2 A ar 1 分 根据加速度合成定理 n AreeC aaaaa 1 分 在水平方向投影 45 cos ACe aaa 1 分 得 2 0 e ar 2 1 0 e ar 2 分 2 本小题 12 分 BD 杆做平面运动 1 0 22 B vrr 杆上与销钉 C 重合点的速度沿套筒方向 如图 2 2 所示 BD 杆的瞬心与 1 O重合 0 2 BDB vr 0 2 C vr 3 分 2 M E C CEy F CEx F ECy F ECx F 图 1 5 A a n e a A 1 O B e a r a C a r v e v A v 1 图 2 1 1 D C v C B v 1 O B BD D C a C B C n B a n e a C e a 图 2 2 图 2 3图 2 4 DB a D C B C C n DB a n B a x y B a B a n B a B a r a A B C DO 1 O 0 45 45 以 B 点为动点 动系固定在套筒 C 上 则牵连运动为绕 C 的定轴转动 动系 套筒 C 转动的角速度和角加速度与 BD 杆相同 0 CBDCBD 如图 2 3 所示 动点 B 相对于动系的速度为 0 2 rC vvr 2 分 B 点的加速度 22 1 10 2 n B aOBr 2 110 2 B aOBr 2 分 柯氏加速度 2 C 0 22 2 Cr avr 1 分 根据加速度合成定理 nn BBBreeC aaaaaaa 1 分 在 e a 方向投影得 2 2 n BBeC aaaa 2 0 2 2 e ar 2 分 所以 2 0 22 BDCe ar 1 分 3 本小题 6 分 BD 杆做平面运动 以 B 为基点研究 D 加速度图如图 2 4 所示 1 分 222 0 0 4 2 2 2 n DBBDDBBD aBDraBDr 1 分 加速度合成公式 nn DBBDBDB aaaaa 1 分 2 0 24 2 n DxBBDB aaaar 1 分 20 nn DyBBDB aaaa 1 分 222 0 4 2 DDxDy aaar 1 分 第三题 35 分 小车上固定了一个 1 4 圆弧形轨道 小车可在水平方向自由移动 忽略小车与水 平面的摩擦 轨道上匀质轮盘D 的半径为 r 质 量 为m 小 车 连 同 轨 道 总 的 质 量 为 mM3 轨道的半径为rR6 其 B 端离地 面的高度为rh2 轮 D 与轨道之间的摩擦 因数为3 1 S f 1 如果轮D从 0 处无初速静止释放 为保证轮 D 沿轨道做纯滚动 试求最小角度 min0 2 设轮D从 min0 处无初速静止释放 试求纯滚动到角度 时小车的水平位移 s 和 R h r D A B min0 轮质心 D 相对于轨道的速度 3 试求轮 D 离开轨道 B 端后到达地面时的角速度以及质心 D 所行进的水平距离 忽略空气的阻力 解 1 本小题 12 分 设在 0 时自由释放 轮 D 的初角速度 0 0 设其角加速度为 与轨道的接 触点 C 为瞬心 轮 D 的受力图如图 3 1 所示 2 分 对瞬心 C 列动量矩方程得 2 C 0 d3 d 2 cos L mrmgr t a 2 分 再根据质心运动定理 0 0 sin n DN maFmg b 2 分 0 cos D mamrmgF c 2 分 由式 a 和式 c 解出 1 03 cosFmg 由式 b 得 0 sin N Fmg 2 分 为保证轮 D 做纯滚动 根据库伦定理有 sN Ff F 代入有 0 1 1 3 tan s f 由此得 0min 45 2 分 随着 的增大 F 不断减小 N F不断增大 故在轮 D 的后续滚动过程中都能满足纯 滚动的条件 2 本小题 12 分 设轮 D 由 0min 运动到任意角度 时的角速度和角加速度分别为 和 质心相 对于轨道的速度为 D v 小车的水平运动速度为 e v 如图 3 2 所示 初始时刻 0min 时系统静止 1 0 x p 2 分 设运动到 位置时 小车向左移动 s 距离 由于系统 在水平方向不受外力作用 根据质心运动守恒 有 0min coscos 0mRrsM s 2 分 0min coscos 4 Rr s d 2 分 对上式求导得 A B D r 0 min C mg N F F 图 3 1 A B D r 0 min C D D v e v 图 3 2 sin sin 44 eD Rr vsv f 2 分 根据动能定理 初瞬时系统静止 1 0T 运动到 位置时 222 2 221 2 2 2 2sin 3sin 222224 DeDe D eD m vvv v mrvrM vmv T 2 分 由 210min sinsin TTmg Rr 得 0min 0min2 40 sinsin 6sin D gr v g 2 分 3 本小题 11 分 当轮 D 离开轨道 B 端的瞬间 90 由式 f 和式 g 得 4 D e v v 2 22 D vgr 2 分 此时轮 D 的角速度为 1 2 22 D vg rr 2 分 质心 D 的绝对速度水平向右 3 1 5 22 4 DaDeD vvvvgr 2 分 轮 D 离开 B 端后仅受重力作用 如图 3 3 所示 根据对质心 的动量矩定理知 轮 D 的角加速度0 作匀速转动 故 轮 D 落地时的角速度为 1 2 22 g r 2 2 分 质心做自由平抛运动 轮 D 落地所需要的时间 24hr t gg 1 分 质心 D 所行进的水平距离 3 22 DDa sv tr 2 分 1 mg a v D 图 3 3 第四题 20 分 图示平面机构 当曲柄OC 绕O 轴转动时 滑块A 沿曲柄OC滑动 从而带动杆 AE 在光滑铅直滑道B 内做平行移动 连杆CD与匀质轮盘D铰接 轮D在水平轨道上 做纯滚动 转轴O和各铰链均为圆 柱形光滑铰链 已知OC CD 2a OB a 轮D的半径为r 在杆AE 的E端作用铅直方向集中力F 在 轮D上作用外力偶M 方向如图所 示 套筒A与转轴O之间连接一个 线性弹簧 弹簧的原长为a 刚 度系数为k kaF 试确定机 构在图示位置平衡时M与F之间 的关系 解 曲柄 OC 作定轴转动 AE 杆作平动 连杆 CD 作平面运动 轮 D作纯滚动 设轮 D 质心的虚 位移为 D r 各点的虚位移图如 图 4 1 所示 2 分 根据虚速度法求出各点的虚位移 如下 2 2 CD rr 2 分 21 22 AeCD rrr 2 分 1 2 ArAeD rrr 2 分 2 2