中学数学新课程内容解析 教学大纲 - 西北师范大学.pdf

1 中学数学新课程内容解析 中学数学新课程内容解析 教学大纲 教学大纲 一 说明 一 说明 一 课程性质 一 课程性质 本课程是一门上通现代数学 下达中学数学课堂教学的专业必修课 是紧密配合我国中学数学课 程改革的一门基于师范性很强的基础课 也是一门提高学生专业知识水平 不断丰富知识体系 更好从事中等数学教育必学的一门重要课程 这门课是在学习完 数学分析 高等代数 解析几何 等核心课程的基础上开设的 一方面能够借用这几门课程中的基本知识 思想去深 入探讨中学数学研究体系中的问题 另一方面为数学教育方向的后继课程提供坚实的基础 更重 要的是为学生学习 工作生活奠基坚实的基础 二 教学目的 二 教学目的 第一 为学生适应现代中学数学教师专业化需要和未来发展提供高水平的现代数学基础 使他们 获得较高的数学素养 第二 为学生进一步学习 专业发展提供必要的更为广阔的数学准备 也 就是说通过这门课程的学习 使学生对现阶段中学数学课程改革中所涉及到的新的数学知识体系 有一个全面深刻地理解和掌握 以应对时代的挑战 三 教学内容 三 教学内容 中学数学研究课程由必学与选学系列构成 必学系列由若干个模块组成 选学系列由专题组成 必学部分是最基础 最有价值 每个高师数学系学生必学的数学知识 选学部分是为开拓学生数 学视野 增强学生数学文化修养 提高学术水平与学习能力开设的 必学内容主要以课程教学为 主 选学内容主要是以学生自学为主 主要内容有 数系扩展 整除与同余 计数原理 函数 方程 不等式 数列与差分 矩阵与变 换 信息安全与密码 对称与群 开关电路与布尔代数 几何作图问题 球面上的几何 欧拉公 式与闭曲面分类 框图与算法 风险与决策 统筹法及图论初步 优选法与实验设计初步 四 教学时数 四 教学时数 54 学时 五 教学方式 五 教学方式 部分内容以讲授为主 部分内容以学生讨论为主 更多的是要以学生独立思考 自主探索 动手 实践 合作交流 阅读自学等方式组织学生学习 在教学中 应鼓励学生积极参与教学活动 包 括思维的参与和行为的参与 既要有教师的讲授和指导 也有学生的自主探索与合作交流 教师 要创设适当的问题情境 鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径 使他们经历知识形成的过 程 对不同的内容 可采用不同的教学和学习方式 例如 可采用收集资料 调查研究等方式 也可采用实践探索 自主探究 合作交流等方式 还可采用阅读理解 讨论交流 撰写论文等方 式 教师应根据不同的内容 目标以及学生的实际情况 给学生留有适当的拓展 延伸的空间和 时间 对有关课题作进一步探索 研究 二 本文二 本文 2 第一章 第一章 数系扩展 数系扩展 教学要点 教学要点 第一节 数概念的扩展 第二节 自然数与整数 第三节 有理数与实数 教学时数 教学时数 4 学时 教学内容 教学内容 第一节 数概念的扩展 1 学时 了解数的发展简史 理解数集的扩展原则 第二节 自然数与整数 1 学时 了解自然数的构造与性质 理解扩大自然数集的必要性 掌握整数的序及其性质 第三节 有理数与实数 2 学时 了解有理数 实数的顺序及其性质 理解有理数与实数区别与应用价值 掌握实数的连续 性 考核要求 考核要求 一 数概念的扩展 1 识记 数集的扩展原则 2 领会 数概念扩展的必要性 二 自然数与整数 1 识记 自然数集 整数的性质 2 领会 从自然数扩大为整数的实质 3 区分 自然数与整数 三 有理数与实数 1 识记 有理数的顺序及其性质 2 领会 有理数的稠密性与实数的连续性 3 综合分析 实数的基本性质及运算 第二章 第二章 整除与同余 整除与同余 教学要点 教学要点 第一节 整除 第二节 同余 第三节 中国剩余定理 教学时数 教学时数 3 学时 教学内容 教学内容 第一节 整除 1 学时 通过实例 如星期 认识带余除法 理解整除 因数和素数的概念 了解确定素数的方 法 筛法 了解十进制表示的整数的整除判别法 探索整数能被 3 7 9 11 等整除的判别法 3 第二节 同余 1 学时 了解同余 欧拉函数的概念 探索剩余类的运算性质 加法和乘法 理解同余和剩余类 的概念及意义并且理解它的实际意义 体会剩余类运算与传统的数的运算的异同 会出现零因 子 第三节 中国剩余定理 1 学时 了解中国剩余定理 理解大衍求一术和孙子定理的证明 考核要求 考核要求 一 整除 1 识记 整除的概念 2 领会 带余除法 二 同余 1 识记 1 同余 欧拉函数的概念 2 欧拉定理和费马小定理 大数分解问题 2 领会 剩余类的运算性质 威尔逊定理及在素数判别中的应用 原根与指数 模 的原根存在 性 离散对数问题 三 中国剩余定理 1 识记 中国剩余定理 2 领会 孙子定理由特解而后求通解的想法 第三章 第三章 计数原理 计数原理 教学要点 教学要点 第一节 计数原理 第二节 排列与组合 第三节 排列与组合的综合应用 教学时数 教学时数 3 学时 教学内容 教学内容 第一节 计数原理 1 学时 了解分类加法计数原理 分步乘法计数原理 理解计数原理是解决计数问题的方法 了解 计数与现实生活的联系 会解决简单的计数问题 第二节 排列与组合 1 学时 理解排列 组合的概念 能利用计数原理推导排列数公式 组合数公式 并能解决简单的 实际问题 第三节 排列与组合的综合应用 1 学时 能用排列组合相关的知识解决有关计数问题 理解二项式定理 会用二项式定理解决与二 项展开式有关的简单问题 考核要求 考核要求 一 计数原理 1 识记 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 4 2 领会 选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题的实质 二 排列与组合 1 识记 排列与组合的基本概念与基本公式 2 领会 排列与组合在解决具体计数问题的策略 三 排列与组合的综合应用 1 识记 二项式定理 2 领会 用排列组合知识解决一些实际问题的本质 第四章 第四章 函数 方程 不等式 函数 方程 不等式 教学要点 教学要点 第一节 函数 第二节 方程 第三节 不等式 教学时数 教学时数 4 学时 教学内容 教学内容 第一节 函数 1 学时 了解基本实值函数以及初等超越函数的性态 理解实值函数在解决现实问题中的重要价值 掌握初等函数的性质 图象 第二节 方程 1 学时 了解方程的常见解法 理解函数与方程之间的内在关系 掌握函数方程思想解决实际问题 的本质 第三节 不等式 2 学时 了解常用的一些重要不等式的概念 对称不等式 轮换不等式等 以及证明不等式的函数 方法 理解证明不等式的基本方法 比较法 综合法 分析法 反证法 放缩法 考核要求 考核要求 一 函数 1 识记 初等超越函数的概念 2 领会 函数方程解法的实质 3 分析 现实问题如何函数方程化 二 方程 1 识记 常用方程的基本解法 2 领会 函数方程思想在解决实际问题中的本质 三 不等式 1 识记 1 x n 1 nx x 1 n为自然数 等重要不等式 2 领会 用向量递归方法讨论排序不等式的实质 第五章 第五章 数列与差分 数列与差分 教学要点 教学要点 5 第一节 数列的差分 第二节 一阶线性差分方程 第三节 一阶线性差分方程组 教学时数 教学时数 4 学时 教学内容 教学内容 第一节 数列的差分 1 学时 了解差分与数列的增减 极值 数列图像的凹凸的关系 通过一些具体实例 理解数列差 分的概念 理解数列的一 二阶差分以及它们对描述数列变化的意义 第二节 一阶线性差分方程 1 学时 理解方程xn 1 k xn b中 当b 0 即方程为齐次方程 时 其解为等比数列 当k 1 即 差分为常数 时 其解为等差数列 能给出方程xn 1 k xn b的通解公式 第三节 一阶线性差分方程组 2 学时 通过一些实例 认识一阶线性差分方程组 是描述现实世界的一个重要模型 了解一阶线性 差分方程组的通解 特解与其相应齐次方程组通解的关系 能写出求解的算法框图 对给定的具 体方程组 能初步讨论当n 时 解 数列 的变化趋势 收敛 发散 周期 掌握一些用 离散变量分析解决问题的方法 考核要求 考核要求 一 数列的差分 1 识记 差分和差分方程的概念 2 领会 数列的一 二阶差分以及它们对描述数列变化的意义 二 一阶线性差分方程xn 1 k xn b 1 识记 差分方程和差分方程组的基本概念 2 领会 差分方程和差分方程组解决一些简单的实际问题的实质 3 综合分析 一阶线性差分方程解的结构 即通解 特解以及与齐次方程通解的关系 三 一阶线性差分方程组 1 识记 一阶线性差分方程组的一些基本概念 2 领会 连续变量离散化的思想 能用迭代方法讨论解决一些简单的问题 3 综合分析 把差分和导数的概念进行对比 体会差分概念的意义和作用 第六章 矩阵与变换 第六章 矩阵与变换 教学要点 教学要点 第一节 矩阵思想的出现及其发展 第二节 矩阵应用 教学时数 教学时数 4 学时 教学内容 教学内容 第一节 矩阵思想的出现及其发展 2 学时 了解我国古代 方程 求解过程中的矩阵思想 理解矩阵在解决一些问题中的重要价值 掌握矩阵在解决一些问题中的功能 第二节 矩阵应用 2 学时 6 了解 0 1 矩阵的应用 理解矩阵与变换之间的内在关系 掌握用矩阵刻画线性变换的优 越性 应用矩阵变换来求解或求证一些数学问题 考核要求 考核要求 一 矩阵思想的出现及其发展 1 识记 矩阵的基本概念及变换性质 2 领会 矩阵概念的出现及其发展的含义 二 矩阵应用 1 识记 0 1 矩阵的特征 2 领会 矩阵刻画变换的本质 3 应用 用矩阵表示变换并用来解决一些实际问题 第七章 第七章 信息安全与密码 信息安全与密码 教学要点 教学要点 第一节 数论在信息安全中的应用 第二节 编码 第三节 密码 教学时数 教学时数 4 学时 教学内容 教学内容 第一节 数论在信息安全中的应用 1 学时 了解通讯安全中的有关概念 如明文 密文 密钥 和通讯安全中的基本问题 如保密 数字签名 密钥管理 分配和共享 体会大数分解和离散对数等思想方法在现代信息安全中所 起的作用 第二节 编码 1 学时 了解检错编码 纠错编码 二进制线性码的基本原理 第三节 密码 2 学时 了解历史上出现的几种密码 现代密码 公开密钥问题 理解公钥体制 单项函数概念 以及加密和数字签名的方法 基于大数分解的 RSA 方案 了解拉格朗日插值公式在密钥共享中 的应用 考核要求 考核要求 一 数论在信息安全中的应用 1 识记 通讯安全中的有关概念 2 领会 大数分解和离散对数等思想方法 二 编码 1 识记 检错编码 纠错编码 二进制线性码的基本概念 2 领会 编码的实质 三 密码 7 1 识记 历史上出现的几种密码 2 领会 现代密码 公开密钥的本质含义 第八章 第八章 对称与群 对称与群 教学要点 教学要点 第一节 由几何图形的对称到几何图形的对称群 第二节 由几何图形的对称群到数域 F 的对称 第三节 由对称群到群 教学时数 教学时数 3 学时 教学内容 教学内容 第一节 由几何图形的对称到几何图形的对称群 1 学时 了解刚体运动的基本性质 结合具体的图形实例 通过操作认识对称变换满足结合律 通过 操作 理解恒等变换 对称变换的概念 逆变换的概念及其性质 第二节 由几何图形的对称群到数域 F 的对称 1 学时 通过具体实例 建立变换群的概念 能借助几何直观会求出一些几何图形和具有一定对称 性的简单化学分子模型的对称群 了解群论在现实生活中的重要应用 了解伽罗瓦利用群论方法 解决方程根式解问题的科学史实 感受群论在现代数学中的重大作用 第三节 由对称群到群 1 学时 了解变换群的概念 学习群的表达方法 学会求出一些比较简单的几何图形的对称群 体 会群在研究事物对称性质和研究其他数学对象中的重要作用 理解了解群在刻画对称性的作用 考核要求 考核要求 一 由几何图形的对称到几何图形的对称群 1 识记 对称图形 对称群的直观概念 2 领会 几个有关平面混合图形对称群的实例的含义 二 由几何图形的对称群到数域 F 的对称 1 识记 数域的概念 数域 F 的对称及数域 F 的对称群的概念 2 领会 几个有关数域对称群的实例的含义 三 由对称群到群 1 识记 群概念 2 领会 晶体分类与方程的伽罗瓦理论的基本含义 第九章 第九章 开关电路与布尔代数 开关电路与布尔代数 教学要点 教学要点 第一节 状态与状态运算 第二节 布尔代数 电路函数和电路多项式 第三节 命题演算 教学时数 教学时数 3 学时 8 教学内容 教学内容 第一节 状态与状态运算 1 学时 通过开关电路知道电路和电路的两种状态以及它们的数学表示 通过对开关电路的分析 认识新电路的状态是由原电路的状态通过运算形成的 掌握状态和状态的运算两个概念 第二节 布尔代数 电路函数和电路多项式 1 学时 通过状态和状态的运算 抽象出布尔代数 电路函数和电路多项式的概念 理解任意电路 都可以用一个电路函数来表示 而电路函数又都可以用一个电路多项式实现 第三节 命题演算 1 学时 通过命题演算的学习 了解什么是命题和命题的取值 比较开关电路与命题演算的关系 并能尝试用简单的例子说明之 比较布尔代数与有理数系中的运算 考虑它们之间的共同点 不 同点和相似之处 考核要求 考核要求 一 状态与状态运算 1 识记 状态与状态运算的基本概念 2 领会 状态与状态运算的含义 二 布尔代数 电路函数和电路多项式 1 识记 布尔代数 电路函数和电路多项式的概念 2 领会 电路函数的本质含义 三 命题演算 1 识记 命题演算与多项式运算的相似处 2 领会 命题演算的过程 第十章 第十章 几何作图问题 几何作图问题 教学要点 教学要点 第一节 古代三大几何作图问题 1 学时 第二节 三等分角与数域扩充 1 学时 第三节 基本作图问题 1 学时 教学时数 教学时数 3 学时 教学内容 教学内容 第一节 古代三大几何作图问题 1 学时 了解古代三大几何作图问题在人类的思想史上所产生的重大意义 理解三大几何作图问题 解决过程中的一些基本思想 第二节 三等分角与数域扩充 1 学时 理解解决三等分角问题的基本思路 刻画尺规作图的范围 了解扩域的概念 第三节 基本作图问题 1 学时 9 给定线段a b 会用尺规作图方法作出长为a b a b ab a b 的线段 对于给定 的任何已知线段 若把它作为单位长 则任一 正 有理数是可作图的 即仅用圆规和直尺可作出 该有理数长的线段 考核要求 考核要求 一 古代三大几何作图问题 1 学时 1 识记 三大几何作图问题 2 领会 用圆规直尺不能作正七边形的问题但正十七边形是可作图的 即可用尺规作图方法作 出正十七边形 的含义 二 三等分角与数域扩充 1 学时 1 识记 不能用尺规作图的方法三等分 60 度角 2 领会 三等分角问题代数化的基本思想 三 基本作图问题 1 学时 1 识记 一些基本图形的作法 2 领会 复数乘法的棣美弗公式的几何含义 第十一章 球面上的几何 第十一章 球面上的几何 教学要点 教学要点 第一节 球面与球体属性的认识 第二节 球面上的一些基本图形 第三节 球面三角公式 教学时数 教学时数 3 学时 教学内容 教学内容 第一节 球面与球体属性的认识 1 学时 了解球面与球体上的一些基本性质 理解圆在平面上的与球在空间中的重要地位与价值 掌握其基本属性 第二节 球面上的一些基本图形 1 学时 了解球面上的一些基本图形 大圆 小圆 球面角 球面二角形 月形 极与赤道 球 面三角形 球面三角形的极对称三角形 简称球极三角形 理解球幂定理 第三节 球面三角公式 1 学时 了解球面的度量微分形式 理解理解球面三角形的全等定理 s s s s a s a s a 掌握单 位球面三角形的面积公式 S A B C 的推导过程 考核要求 考核要求 一 球面与球体属性的认识 1 识记 球面与球体的基本性质 2 领会 球面三角形内角和大于 180 O 二 球面上的一些基本图形 1 识记 球面上的一些基本图形的定义 10 2 领会 球面三角的正 余弦定理 三 球面三角公式 1 识记 球面三角形面积公式 2 领会 球面上的勾股定理 即当C 2 时的球面余弦定理 3 区分 平面几何模型与球面几何等非欧几何模型的差异 第十二章 第十二章 欧拉公式与闭曲面分类 欧拉公式与闭曲面分类 教学要点 教学要点 第一节 欧拉公式 第二节 曲面三角剖分与欧拉示性数 第三节 曲线 曲面分类 教学时数 教学时数 3 学时 教学内容 教学内容 第一节 欧拉公式 1 学时 通过探索发现欧拉公式的过程 理解欧拉公式的拓扑证明 使用欧拉公式解决一些问题 如 探索正多面体的个数 第二节 曲面三角剖分与欧拉示性数 1 学时 了解一些曲面进行三角剖分的基本方法 并能计算它们的欧拉示性数 第三节 曲线 曲面分类 1 学时 了解拓扑变换的直观含义 知道一些拓扑不变量 并能用它们对一些曲线 闭曲面进行分 类 了解一些曲线 闭曲面的分类结果 了解拓扑思想的一些应用 如平面布线问题 一笔画问 题 布劳威尔不动点定理与经济稳定点问题 四色问题 考核要求 考核要求 一 欧拉公式 1 识记 欧拉公式的含义 2 领会 欧拉公式的拓扑证明 二 曲面三角剖分与欧拉示性数 1 识记 曲面三角剖分的概念 2 领会 欧拉示性数的计算方法 三 曲线 曲面分类 1 识记 一些拓扑不变量 2 领会 一些曲线 闭曲面的分类结果 第十三章 第十三章 框图与算法 框图与算法 教学要点 教学要点 第一节 框图 第二节 计算机科学中的算法 教学时数 教学时数 3 学时 教学内容 教学内容 11 第一节 框图 1 学时 通过具体实例 进一步认识程序框图 结构图 了解工序流程图 即统筹图 能绘制简 单实际问题的流程图 体会流程图在解决实际问题中的作用 第二节 计算机科学中的算法 2 学时 了解中国古代数学中的算法案例 理解算法的含义 了解对解决具体问题过程与步骤的分 析 理解程序框图的三种基本逻辑结构 顺序 条件分支 循环 掌握基本算法语句 考核要求 考核要求 一 框图 1 识记 程序框图 结构图的概念 2 领会 结构图在揭示事物联系中的作用 并能运用结构图梳理已学过的知识 整理收集到的 资料信息 二 计算机科学中的算法 1 识记 设计程序框图表达解决问题的过程 如 三元一次方程组求解等问题 2 领会 设计程序框图的思想 3 分析应用 几种基本算法语句 输入语句 输出语句 赋值语句 条件语句 循环语句解 决一些实际问题 体会中国古代数学对世界数学发展的贡献 增强民族自豪感 第十四章 第十四章 风险与决策 风险与决策 教学要点 教学要点 第一节 决策与决策理论 第二节 决策的定量方法 第三节 马尔科夫型决策及其决策方法 第四节 风险与决策 教学时数 教学时数 4 学时 教学内容 教学内容 第一节 决策与决策理论 1 学时 形成重视风险的意识 理解风险决策的必要性和重要性 理解风险决策的概念 学会用决 策树表示需要决策问题的有关信息 能用反推决策树的方法进行决策 第二节 决策的定量方法 1 学时 用决策树表示需要决策问题的有关信息 能用反推决策树的方法进行决策 通过实例理解 风险决策灵敏度分析的意义 会进行决策的灵敏度分析 第三节 马尔科夫型决策及其决策方法 1 学时 了解马尔科夫型决策及其决策方法 第四节 风险与决策 1 学时 了解风险的数量刻画的特征 掌握方差和标准差刻画分险与决策的实质 考核要求 考核要求 12 一 决策与决策理论 1 识记 决策与决策准则 2 领会 决策树表示需要决策问题的有关信息以及反推决策树的方法进行决策的含义 二 决策的定量方法 1 识记 数学模型决策法风险决策法的概念 2 领会 风险决策灵敏度的含义 三 马尔科夫型决策及其决策方法 1 学时 1 识记 马尔科夫型决策类型 2 领会 马尔科夫型决策方法 四 风险与决策 1 学时 1 识记 风险决策的概念 2 领会 方差和标准差的实质 第十五章 第十五章 统筹法及图论初步 统筹法及图论初步 教学要点 教学要点 第一节 统筹法 第二节 图论初步 教学时数 教学时数 3 学时 教学内容 教学内容 第一节 统筹方法 1 学时 通过实例了解统筹问题的思想及其应用的广泛性 理解统筹法中的基本概念 掌握绘制统 筹图的方法 学会计算统筹图中的参数