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第十五章 多元函数的极限与连续性1 平面点集1设是平面点列,是平面上的点. 证明的充要条件是,且.2 设平面点列收敛,证明有界.3 判别下列平面点集哪些是开集、闭集、有界集和区域,并分别指出它们的聚点: (1); (2); (3); (4); (5); (6); (7); (8).4设是闭集,是开集,证明是闭集,是开集.5证明开集的余集是闭集.6设是平面点集. 证明是的聚点的充要条件是中存在点列,满足且.7用平面上的有限覆盖定理证明致密性定理.8用致密性定理证明柯西收敛原理.9设是平面点集,如果集合的任一覆盖都有有限子覆盖,则称是紧集. 证明紧集是有界闭集.10设是平面上的有界闭集,是的直径,即.求证:存在 ,使得.11仿照平面点集,叙述维欧氏空间中点集的有关概念 (如邻域、极限、开集、聚点、闭集、区域、有界以及一些基本定理等).12叙述并证明三维空间的波尔察诺魏尔斯特拉斯致密性定理.2 多元函数的极限与连续性1叙述下列定义: (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 2求下列极限(包括非正常极限): (1) ; (2) ; (3) ;(4) ;(5) ;(6) ;(7) ;(8) ;(9) ;(10) ;(11) ;(12) ;(13) ;(14) .3讨论下列函数在点的全面极限和两个累次极限:(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) ;(6) ;(7) ;(8) .4叙述并证明二元函数极限的局部有界性定理和局部保号性定理.5叙述并证明存在的柯西收敛准则.6试作出函数,使当时,(1) 全面极限和两个累次极限都不存在;(2) 全面极限不存在,两个累次极限存在但不相等;(3) 全面极限和两个累次极限都存在.7讨论下列函数的连续范围:(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) (6) (7) ;(8) (9) .8若在某区域内对变量连续,对变量满足利普希茨条件,即对任意和,有,其中为常数,求证在内连续. 9证明有界闭集上二元连续函数的最值定理和一致连续性定理. 10设二元函数在全平面上连续,求证: (1) 在全平面有界; (2) 在全平面一致连续. 11证明:若分别对每一变量和是连续的,并
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