高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.7 双曲线课件 理 北师大版.ppt

9 7双曲线 第九章平面解析几何 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 双曲线定义平面内到两定点f1 f2的等于常数 大于零且小于 f1f2 的点的集合叫作双曲线 这两个定点f1 f2叫作 两焦点之间的距离叫作 集合p m mf1 mf2 2a f1f2 2c 其中a c为常数且a 0 c 0 1 当时 p点的轨迹是双曲线 2 当时 p点的轨迹是两条射线 3 当时 p点不存在 知识梳理 距离之差的绝对值 双曲线的焦点 双曲线的焦距 2a f1f2 2a f1f2 2a f1f2 2 双曲线的标准方程和简单性质 x a或x a y r x r y a或y a 坐标轴 原点 1 2a 2b a2 b2 巧设双曲线方程 知识拓展 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 平面内到点f1 0 4 f2 0 4 距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线 2 方程 mn 0 表示焦点在x轴上的双曲线 3 双曲线方程 m 0 n 0 0 的渐近线方程是 0 即 0 基础自测 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长 题组二教材改编 答案 解析 2 若双曲线 a 0 b 0 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长 则该双曲线的离心率为a b 5c d 2 1 2 3 4 5 6 3 经过点a 3 1 且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为 解析 答案 把点a 3 1 代入 得a2 8 舍负 1 2 3 4 5 6 答案 题组三易错自纠 m2 n 3m2 n 0 解得 m2 n 3m2 由双曲线性质 知c2 m2 n 3m2 n 4m2 其中c是半焦距 焦距2c 2 2 m 4 解得 m 1 1 n 3 故选a 解析 1 2 3 4 5 6 解析 答案 即3b 4a 9b2 16a2 9c2 9a2 16a2 1 2 3 4 5 6 6 已知双曲线过点 4 且渐近线方程为y x 则该双曲线的标准方程为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 题型分类深度剖析 命题点1利用定义求轨迹方程典例 2018 大连模拟 已知圆c1 x 3 2 y2 1和圆c2 x 3 2 y2 9 动圆m同时与圆c1及圆c2相外切 则动圆圆心m的轨迹方程为 题型一双曲线的定义及标准方程 多维探究 解析 答案 解析如图所示 设动圆m与圆c1及圆c2分别外切于a和b 根据两圆外切的条件 得 mc1 ac1 ma mc2 bc2 mb 因为 ma mb 所以 mc1 ac1 mc2 bc2 即 mc2 mc1 bc2 ac1 2 所以点m到两定点c2 c1的距离的差是常数且小于 c1c2 6 又根据双曲线的定义 得动点m的轨迹为双曲线的左支 点m与c2的距离大 与c1的距离小 其中a 1 c 3 则b2 8 命题点2利用待定系数法求双曲线方程典例根据下列条件 求双曲线的标准方程 1 虚轴长为12 离心率为 解答 b 6 c 10 a 8 2 焦距为26 且经过点m 0 12 解答 解 双曲线经过点m 0 12 m 0 12 为双曲线的一个顶点 故焦点在y轴上 且a 12 又2c 26 c 13 b2 c2 a2 25 解答 解设双曲线方程为mx2 ny2 1 mn 0 命题点3利用定义解决焦点三角形问题典例已知f1 f2为双曲线c x2 y2 2的左 右焦点 点p在c上 pf1 2 pf2 则cos f1pf2 解析 由双曲线的定义有 解析 答案 1 本例中 若将条件 pf1 2 pf2 改为 f1pf2 60 则 f1pf2的面积是多少 解答 解不妨设点p在双曲线的右支上 在 f1pf2中 由余弦定理 得 pf1 pf2 8 2 本例中 若将条件 pf1 2 pf2 改为 0 则 f1pf2的面积是多少 解答 解不妨设点p在双曲线的右支上 在 f1pf2中 有 pf1 2 pf2 2 f1f2 2 即 pf1 2 pf2 2 16 pf1 pf2 4 1 利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线 进而根据要求可求出双曲线方程 2 在 焦点三角形 中 常利用正弦定理 余弦定理 经常结合 pf1 pf2 2a 运用平方的方法 建立与 pf1 pf2 的联系 3 利用待定系数法求双曲线方程要先定形 再定量 如果已知双曲线的渐近线方程 可设有公共渐近线的双曲线方程为 0 再由条件求出 的值即可 跟踪训练 1 2018 沈阳模拟 设椭圆c1的离心率为 焦点在x轴上且长轴长为26 若曲线c2上的点到椭圆c1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8 则曲线c2的标准方程为 解析 答案 解析由题意知椭圆c1的焦点坐标为f1 5 0 f2 5 0 设曲线c2上的一点p 则 pf1 pf2 8 由双曲线的定义知 a 4 b 3 2 2016 天津 已知双曲线 1 b 0 以原点为圆心 双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于a b c d四点 四边形abcd的面积为2b 则双曲线的方程为 解析 答案 解析 题型二双曲线的简单性质 师生共研 答案 解析由题意 不妨设 pf1 pf2 则根据双曲线的定义得 pf1 pf2 2a 又 pf1 pf2 6a 解得 pf1 4a pf2 2a 在 pf1f2中 f1f2 2c 而c a 所以有 pf2 f1f2 所以 pf1f2 30 所以 2a 2 2c 2 4a 2 2 2c 4acos30 2 2016 山东 已知双曲线e 1 a 0 b 0 若矩形abcd的四个顶点在e上 ab cd的中点为e的两个焦点 且2 ab 3 bc 则e的离心率是 答案 解析 2 又 b2 c2 a2 整理得2c2 3ac 2a2 0 解析 答案 典例 2018 福州模拟 已知直线y kx 1和双曲线x2 y2 1的右支交于不同两点 则k的取值范围是 解析 题型三直线与双曲线的综合问题 师生共研 答案 解析由直线y kx 1和双曲线x2 y2 1联立方程组 消y得 1 k2 x2 2kx 2 0 因为该方程有两个不等且都大于1的根 1 研究直线与双曲线位置关系问题的通法 将直线方程代入双曲线方程 消元 得关于x或y的一元二次方程 当二次项系数等于0时 直线与双曲线相交于某支上一点 这时直线平行于一条渐近线 当二次项系数不等于0时 用判别式 来判定 2 用 点差法 可以解决弦中点和弦斜率的关系问题 但需要检验 跟踪训练 2017 贵州贵阳第一中学月考 已知双曲线上存在两点p q关于直线y x b对称 且pq的中点m在抛物线y2 9x上 则实数b的值为a 0或 10b 0或 2c 2d 10 解析 答案 解析因为点p q关于直线y x b对称 所以pq的垂直平分线为y x b 所以直线pq的斜率为 1 设直线pq的方程为y x m 所以xp xq 4m 所以xm 2m 所以m 2m 3m 因为pq的中点m在抛物线y2 9x上 所以9m2 9 2m 解得m 0或m 2 又pq的中点m也在直线y x b上 得b 5m b 0或 10 故选a 典例若直线y kx 2与曲线x 交于不同的两点 那么k的取值范围是 直线与圆锥曲线的交点 现场纠错 纠错心得 现场纠错 错解展示 错解展示 错误答案a 现场纠错 由直线与双曲线右支交于不同两点 答案d 纠错心得 1 判别式 0 是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法 2 直线与圆锥曲线的交点问题往往需考虑圆锥曲线的几何性质 数形结合求解 课时作业 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析根据双曲线的渐近线方程知 解析 答案 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 右焦点f到渐近线的距离为2 点f到原点的距离为3 c 3 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由 可得 a2 4 b2 6 4 2017 福建龙岩二模 已知离心率为的双曲线c 1 a 0 b 0 的左 右焦点分别为f1 f2 m是双曲线c的一条渐近线上的点 且om mf2 o为坐标原点 若 16 则双曲线的实轴长是a 32b 16c 84d 4 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知右焦点到原点的距离为c 4 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 解析由条件 得 op 2 2ab 又p为双曲线上一点 从而 op a 解析 9 2016 北京 已知双曲线 1 a 0 b 0 的一条渐近线为2x y 0 一个焦点为 0 则a b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 10 设动圆c与两圆c1 x 2 y2 4 c2 x 2 y2 4中的一个内切 另一个外切 则动圆圆心c的轨迹方程为 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析设圆c的圆心c的坐标为 x y 半径为r 由题设知r 2 即圆心c的轨迹l是以c1 c2为焦点 4为实轴长的双曲线 11 2018 南昌调研 设直线x 3y m 0 m 0 与双曲线 a 0 b 0 的两条渐近线分别交于点a b 若点p m 0 满足 pa pb 则该双曲线的离心率是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设直线l x 3y m 0 m 0 因为 pa pb 所以pc l 所以kpc 3 化简得a2 4b2 12 设双曲线x2 1的左 右焦点分别为f1 f2 若点p在双曲线上 且 f1pf2为锐角三角形 则 pf1 pf2 的取值范围是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 解析如图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由对称性不妨设p在右支上 设 pf2 m 则 pf1 m 2a m 2 由于 pf1f2为锐角三角形 技能提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 pf1 2 pf2 由双曲线的定义知 pf1 pf2 2 pf1 4 pf2 2 又 f1f2 4 14 2017 安庆二模 已知f1 f2为双曲线的焦点 过f2作垂直于实轴的直线交双曲线于a b两点 bf1交y轴于点c 若ac bf1 则双曲线的离心率为 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又b2 c2 a2 可得3c4 10c2a2 3a4 0 则有3e4 10e2 3 0 拓展冲刺练 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析如图所示 设pf1 pf2分别与 paf2的内切圆切于m n 依题意 有 ma