高等数学考研讲义第五章.doc

第五章 向量代数与空间解析几何5.1 向量代数(甲)内容要点一、空间直角坐标系二、向量概念+坐标模方向角方向余弦 ； ； 三、向量运算设； ；1 加（减）法 2 数乘 3 数量积（点乘）（）定义=（）坐标公式=+（）重要应用=04向量积（叉乘）（）定义与和皆垂直，且，构成右手系 （）坐标公式=（）重要应用=，共线5、混合积 （）定义 （，）（）（）坐标公式（，）=（）表示以，为棱的平行六面体的体积（乙）典型例题例1、点P到过A，B的直线之间的距离 d例2、点P到A,B,C所在平面的距离d因为四面体PABC的体积V而又V例3、过点A，B与过点C，D的异面直线之间的距离d因为d5.2 平面与直线（甲）内容要点一、 空间解析几何1 空间解析几何研究的基本问题。（1）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面（线）的方程，（2）已知坐标x，y和z 间的一个方程（组），研究这方程（组）所表示的曲面（线）。2 距离公式 空间两点与间的距离d为3 定比分点公式是AB的分点：,点A,B的坐标为，则 ，当M为中点时， ，二、平面及其方程。1 法（线）向量，法（线）方向数。 与平面垂直的非零向量，称为平面的法向量，通常记成。法向量的坐标称为法（线）方向数。对于给定的平面，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有两个。2 点法式方程 已知平面过点，其法向量A,B,C,则平面的方程为或 其中 3 一般式方程 其中A, B, C不全为零. x, y, z前的系数表示的法线方向数，A,B,C是的法向量特别情形： ，表示通过原点的平面。 ，平行于z轴的平面。 ，平行平面的平面。 x0表示平面。4 三点式方程 设,三点不在一条直线上。则通过A,B,C的平面方程为5 平面束 设直线L的一般式方程为，则通过L的所有平面方程为 +，其中6 有关平面的问题两平面为 ： ：与间夹角垂直条件平行条件重合条件7 设平面的方程为，而点为平面外的一点，则M到平面的距离d： 三 直线及其方程1 方向向量、方向数 与直线平行的非零向量，称为直线L的方向向量。方向向量的坐标称为方向数。2 直线的标准方程（对称式方程）。其中为直线上的点，为直线的方向数。3 参数式方程： 4 两点式设,为不同的两点，则通过A和B的直线方程为5 一般式方程（作为两平面的交线）：6 有关直线的问题 两直线为:垂直条件平行条件四、平面与直线相互关系平面的方程为： 直线L 的方程为： L与间夹角L 与垂直条件L 与平行条件 L 与重合条件L 上有一点在上（乙）典型例题例1求通过和直线 的平面方程。解 通过的所有平面的方程为其中为任意实数，且不同时为0。今把代上上面形式的方程得 由于方程允许乘或除一个不为0的常数，故取,得，代入方程得即 4xyz30它就是既通过点 又通过直线的平面方程。例2 求过直线 且切于球面的平面解 过所给直线除平面 外的其它所有平面方程为即 球面与平面相切，因此球心到平面距离应等于半径于是得 代入得两个所求的平面5.3 曲面与空间曲线（甲）内容要点一、曲面方程1、一般方程 2、参数方程 二、空间曲线方程1、一般方程 2、参数方程 三、常见的曲面方程1、球面方程设是球心，R是半径，P（x，y，z）是球面上任意一点，则,即。2. 旋转曲面的方程（）设L是平面上一条曲线，其方程是 L绕z轴旋转得到旋转曲面，设P（x，y，z）是旋转面上任一点，由点 旋转而来（点是圆心）.由 得旋转面方程是 （）求空间曲线 绕z轴一周得旋转曲面的方程 第一步：从上面联立方程解出 第二步：旋转曲面方程为 绕y轴一周或绕x轴一周的旋转曲面方程类似地处理3、二次曲面曲面名称方 程曲面名称方 程椭球面旋转抛物面椭圆抛物面双曲抛物面单叶双曲面双叶双曲面二次锥面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面四、空间曲线在坐标平面上的投影曲线C的方程 曲线C在平面上的投影先从曲线C的方程中消去Z得到，它表示曲线C为准线，母线平行于Z轴的柱面方程，那么就是C在平面上的投影曲线方程曲线C在平面上投影或在平面上投影类似地处理（乙）典型例题例1、求以点A（0，0，1）为顶点，以椭圆为准线的锥面方程。解 过椭圆上任一点P的母线方程为 因为点在椭圆上，所以。而t，将其代入椭圆方程，得锥面的方程为。例2、求旋转抛物面与平面=1的交线在平面上投影方程解 从曲线方程 中消去z ，得曲线向平面得投影柱面方程。于是曲线在平面商得投影曲线的方程为例3、求直线 L： 在三个坐标面上的投影；解 在三个坐标面上的投影分别为 在平面上： 在平面 在平面上例4、求直线L：在平面上的投影直线的方程，并求绕y 轴