高中数学 第1章第2节应用举例教案（二）新人教A版必修5(1).doc

1.2应用举例(第一课时 解决有关测量距离的问题)推进新课解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解.例题剖析【例1】如图，设a、b两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在a的同侧，在所在的河岸边选定一点c，测出ac的距离是55 m，bac=51，acb=75求a、b两点的距离.(精确到0.1 m)师（启发提问）1：abc中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较恰当？师（启发提问）2：运用该定理解题还需要哪些边和角呢？请学生回答生 从题中可以知道角a和角c，所以角b就可以知道，又因为ac可以量出来，所以应该用正弦定理生 这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边ab的对角，ac为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出ac的对角，应用正弦定理算出ab边解：根据正弦定理，得，65.7(m).答:a、b两点间的距离为65.7米. 知识拓展变题：两灯塔a、b与海洋观察站c的距离都等于a km,灯塔a在观察站c的北偏东30，灯塔b在观察站c南偏东60，则a、b之间的距离为多少？老师指导学生画图，建立数学模型解略：km.【例2】如图，a、b两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量a、b两点间距离的方法 教师精讲这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题首先需要构造三角形，所以需要确定c、d两点根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边即可求出另两边的方法，分别求出ac和bc，再利用余弦定理可以计算出a、b的距离解：测量者可以在河岸边选定两点c、d，测得cd=a，并且在c、d两点分别测得bca=,acd =,cdb=,bda=，在adc和bdc中，应用正弦定理得，.计算出ac和bc后，再在abc中，应用余弦定理计算出a、b两点间的距离. 活动与探究还有没有其他的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析 知识拓展若在河岸边选取相距40米的c、d两点，测得bca=60，acd=30，cdb=45，bda=60,略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得ab=206. 教师精讲师 可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式学生阅读课本14页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子师 解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用,如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳,就暴露出解三角形问题的本质,这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力.下面,我们再看几个例题来说明解斜三角形在实际中的一些应用.【例3】如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄cb绕c点旋转时，通过连杆ab的传递，活塞做直线往复运动，当曲柄在cb0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点a在a0处，设连杆ab长为340 mm，曲柄cb长为85 mm，曲柄自cb0按顺时针方向旋转80，求活塞移动的距离（即连杆的端点a移动的距离a0a）.（精确到1 mm） 师 用实物模型或多媒体动画演示，让学生观察到b与b0重合时，a与a0重合，故a0c=abcb425 mm，且a0a=a0c-ac师 通过观察你能建立一个数学模型吗？生 问题可归结为：已知abc中， bc85 mm，ab34 mm，c80，求ac师 如何求ac呢？生 由已知ab、c、bc，可先由正弦定理求出a，再由三角形内角和为180求出b，最后由正弦定理求出ac解：（如图）在abc中，由正弦定理可得0.246 2.因为bcab，所以a为锐角.a=1415， b180-（ac）8545.又由正弦定理，344.3(mm).a0a =a0c ac =(ab +bc)-ac =(340+85)-344.3=80.781(mm).答：活塞移动的距离为81 mm师 请同学们设ac=x，用余弦定理解之，课后完成. 知识拓展变题：我舰在敌岛a南偏西50相距12海里的b处，发现敌舰正由岛沿北偏西10的方向以10海里/时的速度航行问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？ 师 你能根据方位角画出图吗？生（引导启发学生作图）师 根据题意及画出的方位图请大家建立数学模型生 例题归结为已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边及其余角.解：如图，在abc中,由余弦定理得bc2=ac2+ab2-2abaccosbac=202+122-21220(-)=784,bc =28,我舰的追击速度为14海里/时.又在abc中,由正弦定理得.答：我舰航行的方向为北偏东50-arcsin. 方法引导师 你能归纳和总结解斜三角形应用题的一般方法与步骤吗？生分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解生 即解斜三角形的基本思路：师 解斜三角形应用题常见的会有哪几种情况？生 实际问题经抽象概括后，已知与未知量全部集中在一个三角形中，一次可用正弦定理或余弦定理解之生 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形中，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解生 实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理某人在m汽车站的北偏西20的方向上的a处，观察到点c处有一辆汽车沿公路向m站行驶公路的走向是m站的北偏东40开始时，汽车到a的距离为31千米，汽车前进20千米后，到a的距离缩短了10千米问汽车还需行驶多远，才能到达m汽车站？解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达b处在abc中，ac=31，bc=20，ab=21，由余弦定理得,则,所以sinmac=sin（120-c）=sin120cosc -cos120sinc =.在mac中，由正弦定理得，从而有mb= mc-bc=15.答：汽车还需要行驶15千米才能到达m汽车站课堂小结通过本节学习,要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时,掌握由实际问题向数学问题的转化,并提高解三角形问题及实际应用题的能力.布置作业课本第14页练习 1、2.板书设计解决有关测量距离的问题1.提出问题 2.分析问题演示反馈3.解决问题总结提炼要得到不可直接到达的各种距离，常构想通过求三角形的边长来解决，变“不可测”为“可以算”.课前先使学生明确解三角形的必备条件，再介绍手中的测量工具，使学生有理可依、有据可循。最后将学生带到教室外去感受熟悉而生动的社会实践.沿着旅游路线，将生活中的各种不可测的距离由浅入深的引入解决.鼓励学生深入、开放性地提出测算方案，提倡多元思考，尊重学生的自主权与主动性.让学生在轻松愉快的氛围中享受学习，让学生的大脑随学而动，让他们的思维随想象而驰骋.1.2应用举例 (第二课时 解决有关测量高度的问题)推进新课【例1】ab是底部b不可到达的一个建筑物，a为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度ab的方法 合作探究师 这个建筑物就不好到达它的底部去测量，如果好去的话，那就直接用尺去量一下就行了，那么大家思考一下如何去测量这个建筑物的高呢？生 要求建筑物ab的高，我只要能把ae的长求出来，然后再加上测角仪的高度eb的长就行了.师 对了，求ab长的关键是先求ae，那谁能说出如何求ae？生 由解直角三角形的知识，在adc中，如能求出c点到建筑物顶部a的距离ca，再测出由c点观察a的仰角，就可以计算出ae的长师 那现在的问题就转化成如何去求ca的长，谁能说说？生 应该设法借助解三角形的知识测出ca的长生 为了求ca的长，应该把ca放到dca中，由于基线dc可以测量，且也可以测量，这样在dca中就已知两角和一边，所以由正弦定理可以解出ca的长解：选择一条水平基线hg，使h、g、b三点在同一条直线上由在h、g两点用测角仪器测得a的仰角分别是、，cd = a，测角仪器的高是h，那么，在acd中，根据正弦定理可得,ab=ae+h=acsin+h=+h.师 通过这道题我们是不是可以得到一般的求解这种建筑物的高的方法呢？生 要测量某一高度ab，只要在地面某一条直线上取两点d、c，量出cd=a的长并在c、d两点测出ab的仰角、，则高度，其中h为测角器的高【例2】如图，在山顶铁塔上b处测得地面上一点a的俯角=5440，在塔底c处测得a处的俯角=501已知铁塔bc部分的高为27.3 m,求出山高cd(精确到1 m). 合作探究师 根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给出时间让学生讨论思考）要在abd中求cd，则关键需要求出哪条边呢？生 需求出bd边师 那如何求bd边呢？生 可首先求出ab边，再根据bad=求得解：在abc中,bca=90+,abc=90-,bac =-,bad =.根据正弦定理,=，所以.在rtabd中,得bd =absinbad=.将测量数据代入上式,得177(m),cd =bd -bc177-27.3=150(m).答:山的高度约为150米.师 有没有别的解法呢？生 要在acd中求cd，可先求出ac师 分析得很好，请大家接着思考如何求出ac？生 同理，在abc中，根据正弦定理求得（解题过程略）【例3】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到a处时测得公路南侧远处一山顶d在东偏南15的方向上,行驶5 km后到达b处,测得此山顶在东偏南25的方向上,仰角为8,求此山的高度cd. 合作探究师 欲求出cd，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？生 在bcd中.师 在bcd中，已知bd或bc都可求出cd,根据条件,易计算出哪条边的长？生bc边.解：在abc中, a=15,c=25-15=10,根据正弦定理, 7.452 4(km),cd=bctandbc=bctan81 047(m).答:山的高度约为1 047米.课堂练习用同样高度的两个测角仪ab和cd同时望见气球e在它们的正西方向的上空,分别测得气球的仰角和,已知bd间的距离为a,测角仪的高度为b,求气球的高度.分析:在rtega中求解eg,只有角一个条件,需要再有一边长被确定,而eac中有较多已知条件,故可在eac中考虑ea边长的求解,而在eac中有角,eac=180-两角与ac=bd=a一边,故可以利用正弦定理求解ea.解：在ace中,ac=bd=a,ace=,aec=-,根据正弦定理,得.在rtaeg中，eg=aesin=.ef=eg+b=.答:气球的高度是.评述:此题也可以通过解两个直角三角形来解决,思路如下:设eg=x,在rtega中,利用cot表示ag,而rtegc中,利用cot表示cg,而cg-ag=ca=bd=a,故可以求出eg,又gf=cd=b,故ef高度可求.课堂小结利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工，抽取主要因素，进行适当的简化布置作业课本第17页练习第1、3题.板书设计解决有关测量高度的问题例1练习 例2 课堂练习小结 例3 布置作业1.2应用举例 (第三课时 解决有关测量角度的问题)推进新课【例1】（幻灯片放映）如图，一艘海轮从a出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛b,然后从b出发,沿北偏东32的方向航行54.0 n mile后到达海岛c.如果下次航行直接从a出发到达c,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1,距离精确到0.01 n mile)合作探究学生看图思考师 要想解决这个问题，首先应该搞懂“北偏东75的方向”生 这是方位角生 这实际上就是解斜三角形，由方位角的概念可知，首先根据三角形的内角和定理求出ac边所对的角abc，即可用余弦定理算出ac边，再根据正弦定理算出ac边和ab边的夹角cab，就可以知道ac的方向和路程师 根据大家的回答，我们已经很清楚解题思路下面请同学写一下解题过程.生解：在abc中，abc=180- 75+ 32=137，根据余弦定理， 113.15.根据正弦定理, ,0.325 5,所以cab19.0,75-cab=56.0.答:此船应该沿北偏东56.0的方向航行,需要航行113.15 n mile.师 这道题综合运用了正、余弦定理，体现了正、余弦定理在解斜三角形中的重要地位 【例2】某巡逻艇在a处发现北偏东45相距9海里的c处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？ 合作探究师 你能否根据题意画出方位图？（在解斜三角形这一节里有好多都要把实际问题画出平面示意图，图画的好坏有时也会影响到解题，这是建立数学模型的一个重要方面）生甲 如右图师 从图上看这道题的关键是计算出三角形的各边，还需要什么呢?生 引入时间这个参变量,可以设x小时后追上走私船.生 如图，设该巡逻艇沿ab方向经过x小时后在b处追上走私船，则cb=10x, ab=14x,ac=9,acb=75+45=120,则由余弦定理，可得(14x)2=92+(10x)2-2910xcos120,化简得32x2-30x-27=0，即x=或x=- (舍去). 所以bc = 10x =15,ab =14x =21.又因为sinbac =,bac=3813,或bac=14147（钝角不合题意，舍去）.3813+45=8313.答：巡逻艇应该沿北偏东8313方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.师 这位同学是用正、余弦定理来解决的，我们能不能都用余弦定理来解决呢？生 同上解得bc=15,ab=21,在abc中，由余弦定理，得0.785 7,cab3813,3813+45=8313.巡逻艇应沿北偏东8313的方向追赶，经过1.4小时追赶上该走私船课堂练习课本第18页练习.答案：运用余弦定理求得倾斜角约为116.23. 方法引导解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解知识拓展1.如图，海中小岛a周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在b处测得小岛a在船的南偏东30，航行30海里到c处，在c处测得小岛a在船的南偏东45，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？解：在abc中，bc=30，b=30，acb=180-45=135,a=15.由正弦定理知,.a到bc所在直线的距离为acsin45=（15+15）=15（+1）40.9838（海里），不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险答：不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险2.如图，有两条相交成60角的直线xx、yy，交点是o，甲、乙分别在ox、oy上，起初甲在离o点3千米的a点，乙在离o点1千米的b点，后来两人同时以每小时4千米的速度，甲沿xx方向，乙沿yy方向步行，（1）起初，两人的距离是多少？（2）用包含t的式子表示t小时后两人的距离；（3）什么时候两人的距离最短？解：（1）因甲、乙两人起初的位置是a、b，则ab2=oa2+ob2-2oaobcos60=32+12-231=7,起初，两人的距离是千米（2）设甲、乙两人t小时后的位置分别是p、q，则ap=4t,bq=4t,当0t时，pq2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60=48t2-24t+7;当t时,pq2=(4t-3)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)cos120=48t2-24t+7,所以，pq =48t2-24t+7（3）pq2=48t2-24t+7=48(t-)2+4,当t=时，即在第15分钟末，pq最短答：在第15分钟末，两人的距离最短课堂小结在实际问题（航海、测量等）的解决过程中，解题的一般步骤和方法，及正弦、余弦定理相关知识点的熟练运用应用解三角形知识解决实际问题时，要分析和研究问题中涉及的三角形，及其中哪些是已知量，哪些是未知量，应该选用正弦定理还是余弦定理进行求解应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：根据题意作出示意图；所涉及的三角形，搞清已知和未知；选用合适的定理进行求解；给出答案布置作业课本第22页习题1.2第9、10、11题.板书设计解决有关测量角度的问题例1例2课堂练习布置作业1.2应用举例 (第四课时 解决有关三角形计算的问题)教学过程推进新课【例1】 在abc中，根据下列条件，求三角形的面积s（精确到0.1 cm2）.（1）已知a=14.8 cm,c =23.5 cm,b=148.5;（2）已知b=62.7,c =65.8,b =3.16 cm;（3）已知三边的长分别为a=41.4 cm,b=27.3 cm,c =38.7 cm.师 这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么，求出需要的元素，就可以求出三角形的面积生口答，师书写过程解：（1）应用，得 s=14.823.5sin148.590.9(cm2).(2)根据正弦定理，,.a = 180-(b + c)= 180-(62.7+ 65.8)=51.5,4.0(cm2).(3)根据余弦定理的推论，得0.769 7,0.638 4,应用得s=41.438.70.638 4511.4(cm2).生 正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向，并进一步推出新的三角形面积公式【例2】在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68 m,88 m,127 m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1 cm2）？师 你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？生 本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结解：设a=68 m,b=88 m,c=127m,根据余弦定理的推论，0.753 2,0.657 8,应用s= acsinb,s=681270.657 82 840.38(m2).答：这个区域的面积是2 840.38 m2【例3】在abc中，求证：（1）;（2）a2+b2+c2=2（bccosa+cacosb+abcosc）. 合作探究师 这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边有什么样的特点?生等式左边是三边的平方关系，而等式的右边是三个角的正弦的平方关系，可以联想到用正弦定理来证明.师 等式两边分别是边和角，所以我们可以选正弦定理来证明，这样我们可以把一边的边或角都转化成两边一样的边或角，即“化边为角”或“化角为边”，这也是我们在证明三角恒等式时经常用的方法证明：（1）根据正弦定理，可设,显然 k0，所以左边=右边.师 那对于第二小题又该怎么化呢？生 等式左边仍然是三边的平方关系，而等式的右边既有角又有边，而且是两边和两边夹角的余弦的积的关系，所以联想到用余弦定理来证明.师 很好，哪位来板演一下？生 证明：（2）根据余弦定理的推论，右边=(b2+c2- a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=a2+b2+c2=左边.1.已知在abc中，b=30,b=6,c=6,求a及abc的面积s.提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数同时解有关三角形的题目还要注意讨论最终解是否符合规律，防止丢解或增解，养成检验的习惯,但应用余弦定理会免去讨论.答案：a=6,s=9;a=12,s=18.2.判断满足下列条件的三角形形状，(1)acosa = bcosb;(2)sinc =.提示：利用正弦定理或余