高中数学 3.4基本不等式(第1课时)目标导学 新人教A版必修5.doc

第1课时基本不等式1理解并掌握基本不等式及其推导过程，明确基本不等式成立的条件2能利用基本不等式求代数式的最值1重要不等式当a，b是任意实数时，有a2b2_，当且仅当_时，等号成立(1)公式中a，b的取值是任意的，a和b代表的是实数，它们既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的代数式，因此其应用范围比较广泛今后有不少不等式的证明就是根据条件进行转化，使之可以利用该公式来证明(2)公式中a2b22ab常变形为ab或a2b22ab4ab或2(a2b2)(ab)2等形式，要注意灵活掌握【做一做1】 x2y24，则xy的最大值是()a. b1 c2 d42基本不等式(1)有关概念：当a，b均为正数时，把_叫做正数a，b的算术平均数，把_叫做正数a，b的几何平均数(2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即_，当且仅当_时，等号成立(3)几何意义：半弦不大于半径如图所示，ac=a，cb=b，则od=_，dc= =de，则dcod.(4)变形：，a+b (其中a0，b0，当且仅当a=b时等号成立)从数列的角度看，a，b的算术平均数是a，b的等差中项，几何平均数是a，b的正的等比中项，则基本不等式可表示为：a与b的正的等比中项不大于它们的等差中项【做一做2】 已知ab16，a0，b0，则ab的最小值为_答案：12abab【做一做1】 c2(1)(2)ab(3)【做一做2】 81应用基本不等式求最值的条件剖析：应用基本不等式求最值的条件是一正二定三相等，具体如下：一正：a，b都是正实数，即所求最值的代数式中的各项必须都是正数，否则就会得出错误的答案例如，当x0时，函数f(x)x22，所以函数f(x)的最小值是2.由于f(2)22，那么显然这是一个错误的答案其原因是当x0时，不能直接用基本不等式求f(x)x的最值因此，利用基本不等式求最值时，首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数其实，当x0时，x0，则f(x)x22，此时有f(x)2.由此看，所求最值的代数式中的各项不都是正数时，要利用变形，先转化为各项都是正数的代数式，再求最值二定：ab与ab有一个是定值即当ab是定值时，可以求ab的最值；当ab是定值时，可以求ab的最值如果ab和ab都不是定值，那么就会得出错误的答案，陷入困境例如，当x1时，函数f(x)x2，所以函数f(x)的最小值是2.由于2是一个与x有关的代数式，显然这是一个错误的答案其原因是没有掌握基本不等式求最值的条件，ab与ab有一个是定值其实，当x1时，有x10，则函数f(x)x1213.由此看，当ab与ab没有一个是定值时，通常要把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式三相等：等号能够成立，即存在正数a，b使基本不等式两边相等也就是存在正数a，b，使得.如果忽视这一点，就会得出错误的答案例如，当x2时，函数f(x)x22，所以函数f(x)的最小值是2.很明显x中的各项都是正数，积也是定值，但是等号成立的条件是当且仅当x即x1，而函数的定义域是x2，所以这是一个错误的答案其原因是基本不等式中的等号不成立其实，根据解题经验，遇到这种情况时，一般就不再用基本不等式求最值了，此时该函数的单调性是确定的，可以利用函数的单调性求得最值利用函数单调性的定义可以证明，当x2时，函数f(x)x是增函数，所以函数f(x)的最小值是f(2)2.2与基本不等式有关的常用结论剖析：(1)已知x，yr，若x2y2s(平方和为定值)，则xy，当且仅当xy时，积xy取得最大值；若xyp(积为定值)，则x2y22p，当且仅当xy时，平方和x2y2取得最小值2p.(2)已知x0，y0，若xys(和为定值)，则xy，当且仅当xy时，积xy取得最大值；若xyp(积为定值)，则xy2，当且仅当xy时，和xy取得最小值2.题型一 比较大小【例题1】 当a，b为两个不相等的正实数时，下列各式中最小的是()a. b. c. d.反思：在比较n个数的大小时，若从中确定一个最小(大)者，则可以把n个数分组，在每一组中确定一个最小(大)者，再将这些最小(大)者进行比较由此题的讨论可以看到(a，b大于0，当且仅当ab时，等号成立)题型二 利用基本不等式求最值【例题2】 已知a3，求a的最小值分析：直接使用基本不等式无法约掉字母a，而a(a3)3.这样变形后，再用基本不等式可得证反思：如果要求最值的代数式不符合基本不等式的形式，可先通过适当变形，将其配凑成可使用基本不等式的形式，再利用基本不等式求最值如本题中，将a凑成(a3)3后就可以用基本不等式求最值【例题3】 已知x，y均为正数，且1，求xy的最小值分析：由于已知条件右边是一定值1，且左边各项均为正数，所以可以用整体换元、代入消元、“1”的代换等方法求解反思：本题易错解为：由1，得2，xy36.xy212.这显然是错误的，因为两个不等式中，不能同时取得“等号”，即不存在满足题设条件的x，y，使(xy)min12.题型三 易错辨析【例题4】 求函数yx的值域错解：x22，函数值域为2，)错因分析：上述解题过程中应用了基本不等式，却忽略了应用基本不等式的条件两个数应大于零，因而导致错误因为函数yx的定义域为(，0)(0，)，所以需对x的符号加以讨论答案：【例题1】 da0，b0，ab，a2b22ab，选项a，b，c中，最小又ab20，1，由于0，两边同乘以，得，最小【例题2】 解：a3，a30.由基本不等式，得aa3323237.当且仅当a3，即a5时取等号a的最小值是7.【例题3】 解：x，y均为正数，且1，显然x1，y.xyx(x1)10231016.当且仅当x4时取等号，即(xy)min16.【例题4】 正解：函数定义域是(，0)(0，)当x0时，由基本不等式，得yx2，当且仅当x1时，等号成立；当x0时，yx.x0，(x)2，当且仅当x1时，等号成立，yx2.综上可知，函数yx的值域为(，22，)1 (2011山东济南一模)若x0，则的最小值为()a2 b3 c d42已知2ab1，a0，b0，则的最小值是()a bc d3(2011安徽