高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2.1 抛物线的简单性质课件 北师大版选修11.ppt

2 2 2 1抛物线的简单性质 1 了解抛物线的轴 顶点 离心率 通径的概念 2 掌握抛物线上的点的坐标的取值范围 抛物线的对称性 顶点 离心率等简单性质 3 会用顶点及通径的端点画抛物线的草图 抛物线的简单性质 做一做1 抛物线x2 4y的通径为ab o为抛物线的顶点 则 a 通径长为8 aob的面积为4b 通径长为8 aob的面积为2c 通径长为4 aob的面积为4d 通径长为4 aob的面积为2答案 d 做一做2 若抛物线y2 2px p 0 上一点m到准线及对称轴的距离分别为10和6 则点m的横坐标和p的值分别为 a 9 2b 1 18c 9 2或1 18d 9 18或1 2答案 c 题型一 题型二 题型三 抛物线方程及其几何性质 例1 已知顶点在原点 以x轴为对称轴 且过焦点垂直于x轴的弦ab的长为8 求出抛物线的方程 并指出它的焦点坐标和准线方程 解 当焦点在x轴的正半轴上时 设方程为y2 2px p 0 故抛物线方程为y2 8x 焦点坐标为 2 0 准线方程为x 2 当焦点在x轴的负半轴上时 设方程y2 2px p 0 由对称性知抛物线方程为y2 8x 焦点坐标为 2 0 准线方程为x 2 反思求抛物线的标准方程主要步骤是先定位 即根据题中条件确定抛物线的焦点位置 后定量 即求出方程中p的值 从而求出方程 题型一 题型二 题型三 变式训练1 抛物线的顶点在原点 对称轴是的短轴所在的直线 抛物线的焦点到顶点的距离为3 求抛物线的方程及准线方程 抛物线的对称轴为x轴 设抛物线的标准方程为y2 2px或y2 2px p 0 抛物线的焦点到顶点的距离为3 抛物线的方程为y2 12x或y2 12x 准线方程分别为x 3或x 3 题型一 题型二 题型三 抛物线几何性质的应用 例2 已知a b是抛物线y2 2px p 0 上两点 o为坐标原点 若 oa ob 且 aob的垂心恰是此抛物线的焦点 求直线ab的方程 题型一 题型二 题型三 反思抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用 本题的关键是根据抛物线的对称性判断线段ab垂直于x轴 故求直线ab的方程时 求出ab的横坐标即可 题型一 题型二 题型三 变式训练2 已知点a b为抛物线上的动点 且 ab a a为常数且a 4 求ab的中点p到x轴的最短距离 解 设a p b三点的纵坐标分别为y1 y2 y3 a p b三点在抛物线的准线上的射影分别为a p b 将抛物线方程变形为x2 4y 所以p 2 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 抛物线中过焦点的弦长问题 例3 过抛物线y2 4x的焦点作直线交抛物线于点a x1 y1 b x2 y2 若 ab 7 则ab的中点m到抛物线准线的距离为 题型一 题型二 题型三 反思抛物线y2 2px p 0 的过焦点的弦长 ab x1 x2 p 其中x1 x2分别是点a b横坐标的绝对值 抛物线x2 2py p 0 的过焦点的弦长 ab y1 y2 p 其中y1 y2分别是点a b纵坐标的绝对值 题型一 题型二 题型三 变式训练3 过抛物线y2 4x的焦点作直线l交抛物线于a x1 y1 b x2 y2 两点 如果x1 x2 6 求 ab 的值 解 y2 4x 2p 4 p 2 由抛物线定义知 af x1 1 bf x2 1 ab af bf x1 x2 2 6 2 8 1 2 3 4 5 答案 c 1 2 3 4 5 2 若点p为抛物线y2 2px p 0 上任意一点 f为抛物线的焦点 则以 pf 为直径的圆与y轴的位置关系为 a 相交b 相离c 相切d 不确定 答案 c 1 2 3 4 5 3 已知点a 0 2 b 2 0 若点c在函数y x2的图像上 则使得 abc的面积为2的点c的个数为 a 4b 3c 2d 1 答案 a 1 2 3 4 5 4 已知过抛物线y2 4x的焦点f的直线交该抛物线于a b两点 af 2 则 bf 解析 设点a b的横坐标分别是x1 x2 则依题意有焦点f 1 0 af x1 1 2 x1 1 直线af的方程是x 1 此时弦ab为抛物线的通径 故 bf af 2 答案 2 1 2 3 4 5 5 抛物线的顶点在原点 以x轴为对称轴 经过焦点且倾斜角为135 的直线被抛物线所截得的弦长为8 试求抛物线方程 1 2