《高等数学A(二)》课堂练习解答1.pdf

高等数学 A 二 重修班复习资料2015 10powered by Dengwei 1 第八章多元函数微分法及其应用 一 选择题一 选择题 1 设u x xy arcsin 22 则 u x 答 c A x xy 22 B y xy 22 C y xy 22 D x xy 22 2 函数zxy 22 在 1 1 点沿 l 1 1 方向的方向导数为 A 最大 B 最小 C 0 D 1 答 b 3 函数zf x y 在点 xy 00 处可微是它在该点偏导数存在的 A 必要而非充分条件 B 充分而非必要条件 C 充分必要条件 D 既非充分又非必要条件 答 b 4 设空间直线的标准方程是 xyz 012 则该直线过原点 且 A 垂直于x轴 B 垂直于y轴 但不平行x轴 C 垂直于z轴 但不平行x轴 D 平行于x轴 答 a 5 设f x yx yxyxy 32 231 则fy 32 C A 41 B 40 C 42 D 39 6 设 yx eefu tf具有二阶连续导数 则 2 2 2 2 u x u y D A eefteeft xyxy22 B eefteeft xyxy22 C eefteeft xyxy22 D eefteeft xyxy22 7 设函数zxy 23 22 则 c 高等数学 A 二 重修班复习资料2015 10powered by Dengwei 2 A 函数z在点 0 0处取得极大值 B 函数z在点 0 0处取得极小值 C 点 0 0非函数z的极值点 D 点 0 0是函数z的最大值点或最小值点 但不是极值点 8 曲线 2 ln 1sin tztytx 在对应于1 t点处的切线方程是 a A 2 1 11 zyx B 2 1 1 1 1 zyx C 1 1 11 zyx D 211 zyx 9 函数 0 0 0 0 0 22 yx yx yx xy yxf在点 0 0 处 d A 连续且可导 B 不连续且不可导 C 连续但不可导 D 可导但不连续 10 函数yxz2 在点 3 5 沿各方向的方向导数的最大值为 c A 3 B 0 C 5 D 2 11 旋转抛物面42 22 yxz在点 1 1 1 处的法线方程为 b A 1 1 4 1 2 1 zyx B 1 1 4 1 2 1 zyx C 1 1 4 1 2 1 zyx D 1 1 4 1 2 1 zyx 12 设 x xyz 1 则 z x 11 b A 1 ln2 B 1 2ln2 C 4 D 8 二 填空题二 填空题 1 设yyxz 3arctan 则 2 1 y x x z 3 2 2 设uxy y x 则 2u x y 1 1 2 x 3 dzyxzxyze z 则全微分的函数是确定了 1 xye xzdyyzdx z 4 x2 y2 z2 3 在点 1 1 1 的切平面方程为 01 zyx 高等数学 A 二 重修班复习资料2015 10powered by Dengwei 3 5 函数zxyzzyxu 232 222 则其在点 1 2 1 A与点 1 1 2 1 B梯度之间 的夹角 10 1 arccos 6 设函数xzyzxzu 3 则函数 u 在点 1 2 1 处方向导数的最大值为17 7 sin x y yefz x 其中 vuf可微 则 x z 2 sin x y fyef v x u 8 函数ttyz x dcoscos 0 在点 0 0 处沿 a 12 方向的方向导数为 5 1 三 解答题三 解答题 1 设函数 f x y z xy yz zx x y z 6 问在点 P 3 4 0 处沿怎样的方向 l f 的变化率最大 并求此最大的变化率 gradf y z 1 z x 1 x y 1 3 gradf P 2 3 6 6 f 沿 l 2 3 6 方向的变化率最大 8 其最大变化率为 2 设 u xy yz2 zx3 计算 grad 2u4 grad 2u4 8u3gradu4 而 gradu y 3zx2 i x z2 j 2yz x3 k8 故 grad 2u4 8 xy yz2 zx3 3 y 3zx2 x z2 2yz x3 3 设zz x y 由方程 232 coteyxzzarc 所确定 求 z x z y 解 yyxxxyzz z d3d2dd 1 1 223 2 3 分 2 22223 2 d 1 3d 1 2 d z yzyxxzxy z 6 分 2 23 2 1 2 z zxy x z 2 222 2 1 2 z zyx y z 10 分 4 设f x yxy x y tan 22 1 求fx x 1 fx xxx x x x x lim 12 0 22 10 分 高等数学 A 二 重修班复习资料2015 10powered by Dengwei 4 或x y x yxxf x x x 2tan 1 2 1 1 2 或f xxfxx x 112 2 5 求曲面222 32 yxyzyz 在点 2 1 4处的切平面和法线方程 对应的切平面法向量 n 8 6 42 432 5 分 切平面方程 4231240 xyz 或43230 xyz 8 分 法线方程 xyz 2 4 1 3 4 2 10 分 6 求函数zxyx sin sin的驻点 由 0 cos 0cos cos yxz xyxz y x 6 分 解得驻点 mn 2 其中m n 0 1 210 分 7 求极限lim sin x y yx xy 0 0 2 11 解 lim sin x y yx xy 0 0 2 11 lim sin x y yxxy xy 0 0 211 6 分 410 分 8 设f x y 有连续偏导数 uf ee xy 求du ddduf exf ey xy 12 10 分 9 求曲面zxy 24 23在点 2 112处的切平面方程 对应的切平面法向量 n 8 121 6 分 高等数学 A 二 重修班复习资料2015 10powered by Dengwei 5 切平面方程 82121120 xyz 或812160 xyz 10 已知 22 1 1 ln yxu 试求 2 2 2 2 y u x u 222 2 22 22 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 yx x yx u yx x u xx x 解 4 分 22 1 1 1 yx y uy 222 2 22 1 1 1 2 1 1 1 yx y yx uyy7 分 uu xxyy 0 8 分 11 求函数 2233 33yxyxz 的极值 解 由 063 063 2 2 yyz xxz y x 得驻点 2 2 0 2 2 0 0 0 3 分 2 xyyyxx zzzD 1 1 36 yx5 分 06 2 2 036 2 2 036 2 0 036 0 2 06 036 0 0 xx xx zD DDzD 点 0 2 2 0 非极值点 函数z在点 0 0处取极大值z 0 00 7 分 12 设函数 yxzz 由方程xyez z 所确定 求 yx z 2 z z e y x z y x z e x z 1 2 分 同理 z e x y z 1 4 分 32 2 1 1 1 1 1 z z zz zz e xye ee y z yee yx z 7 分 13 求函数 2233 33yxyxz 的极值 高等数学 A 二 重修班复习资料2015 10powered by Dengwei 6 解 由 063 063 2 2 yyz xxz y x 得驻点 2 2 0 2 2 0 0 0 2 分 2 xyyyxx zzzD 1 1 36 yx 06 2 2 036 2 2 036 2 0 036 0 2 06 036 0 0 xx xx zD DDzD 5 分 点 0 2 2 0 非极值点 函数z在点 0 0处取极大值z 0 00 7 分 在点 2 2 处取极小值8 2 2 z 8 分 14 在椭球面 222 221xyz 上求一点 使 222 f x y zxyz 沿 A 1 1 1 到 B 2 0 1 方向导具有最大值 不必判别 解 2 2 2 xyz fx fy fz 2 分 0 11 1 1 0 0 22 ll 4 分 2 f xy l 且 222 221xyz 设Lxy 222 221xyz 5 分 222 14 14 2 221 x y z Lx Ly Lz Lxyz 解得 11 0 22 xyz 8 分 11 2 22 f l 1 1 2 2 2 f l 即点为 11 0 22 10 分 四 证明题 证明题 1 试证 f x y xy xy xy xy sin 22 22 22 22 1 0 00 在 0 0 处偏导数存在 lim limsin xx x fxf x x x f 00 2 00 01 00 08 分 同理fy 0 00 10 分 高等数学 A 二 重修班复习资料2015 10powered by Dengwei 7 2 若 22 yxyxyxf 证明 yx y f x f 分 分 10 3 yxffxfyf xyyxf yxyx 3 试证明极限lim x y xx yxy xy 0 0 4223 222 32 不存在 解 由于lim x y kx xx yxy xy kk k 0 0 4223 222 23 22 32132 1 与k有关6 分 所以lim x y kx xx yxy xy 0 0 4223 222 32 不存在 4 试证明极限lim x y x y xy 0 0 2 43 不存在 证 由于lim x y kx x y xy 0 0 2 43 limlim xx kx xk x k xkk 0 3 433 0 32 1 6 分 与k有关 故极限lim x y x y xy 0 0 2 43 不存在 5 求函数 2 xyzu 在条件xyzRxyz 2222 4000 下的极大值 并证明对任 意正数a b c 成立 42 64 1 cbaab