数学教学中如何引导学生进行解题学习的反思.pdf

数学教学中如何引导学生进行解题学习的反思 韩龙淑 1 黄玉珍 2 1 太原师范学院数学系 030012 2 广西南宁地区教育学院 530000 学习数学离不开解题 学数学的主要目的就是 为了学会解题 1 在当前的中学数学教学实践中 常 常发现学生在解题学习中投入了大量的时间和精 力 但效果并不理想 究其原因多数学生为解题而解 题 满足解对或证出为止 至于从解题中可获得哪些 启示 已经既无时间顾及也无此意识 因而缺乏对自 身解题的认知过程进行反思 难以获得已有信息之 外的更多有意义信息 降低了解题的收益率 中学数 学课程标准中要求学生通过对解决问题过程的反 思 获得解决问题的经验 不断地经历反思与建构思 维过程 由此彰显了对反思性学习的重视 数学解题 中的反思是指学习者对自身解题活动的深层次的反 向思考 不仅仅是对数学解题学习的一般性回顾或 重复 而是深究数学解题活动中所涉及的知识 方 法 思路 策略等 2 从中达到解决一类问题 要使学 生在数学解题中的反思成为一种主动自觉的活动 教师的示范和引导是非常重要的 1 引导学生剖析错解 引发反思意识 通过引导学生分析自身解题活动中错误的成 因 获得一些有意义的信息 不仅反思错在哪里 更 要反思是什么原因导致出错 从中寻找规律 吸取 教训 逐渐形成反思意识和良好的思维习惯 例1 指出下列证明中的错误并构造反例 图1 已知 在凸四边形 ABCD中 AD BC A C 求证 ABCD是平 行四边行 证明 如图1 过 B D分别作BE CD DF AB 垂足分别为E F 连BD 由AD BC A C 知Rt ADF Rt CBE 有AF CE DF BE 从而 FBD EDB 故DE BF FBD EDB 所以AB CD 并且AB CD 从而ABCD是平行四边 形 仔细反思证明过程 每一步得出的结论都正确 究竟错因何在 一些同学发现 此证明未考虑 A 是钝角的情形 但证明过程与上述类似 通过进一步 反思 问题的症结在于不论 A是锐角还是钝角 过 B D点所作垂线的垂足我们只考虑了要么都在四边 形的边上 要么都在四边形的延长线上的情形 从而 提出问题 有无垂足一个四边形的边上 另一个在四 边形延长线上的情形呢 由此出发构造反例 3 并 从中获得启示 问题的根源在于画图的特殊性 一般 地 当原命题假 逆命题真时 按结论画图就要出错 因此解题时不能按结论画图 而应按条件画图 2 引导学生反思解题挫折的经历 积累解题经验 题目一到手 进行思路探索时并不一定总能接 近解题目标 若难以激活和提取不同问题情境下的 相应解题策略和方法 则会使思路变得模糊且进展 令人失望 此时对解题过程中挫折的经历以及对问 题情境和方法匹配上发生的困难进行反思 并及时 控制和调节解题进程和思维方向 对已有信息重新 配置 转换思维策略 对提高解题能力是非常有意义 的 例2 一个三角形的三边长为a a b 另一个三 角形的三边长为b b a a b 且两三角形的最小内 角都等于 则 a b 宇振杯 数学 竞赛模拟题 图2 分析 此题一 到 手 根据边角关系的信 息 首先联想到的是借 助余弦定理建立a b之 间的关系 但通过化简 后 a b的方程为一般的一 元三次方程 运算繁琐 思维受阻 通过反思上述解题计划 思维受阻的主要 原因在于没有有意识地控制自己的解题节奏和进 程 开始选择策略太快 过早地把思维禁锢于余弦定 理这一方向 且两图形彼此孤立 静止不动 未能形 72006年第3期 数 学 教 学 研 究 成对二者关系的整体知觉 既然两三角形中有相等 的边 不妨尝试把边长为a a b的三角形拼补到另 一三角形上 使分散图形彼此接近 从而发现拼补后 的图形为等腰梯形 如图2 设a b 作AE BC 则 BE a b 2 CE a b 2 所以b2 a b 2 2 a2 a b 2 2 即 ab a2 b2 从而可得 a b 1 5 2 且5 180 故 36 本解法体现出解题的简单 自然 妙不可言 通 过反思可知 首先 理解题意 形成对问题的总体知 觉 而不是一开始就很快代入公式进行运算是指导 解题的重要思想 这也是专家与新手在理解和解决 问题中的差异 其次 当图形位置关系较分散 未能 产生进一步联系并使思路模糊或受阻时 对图形进 行拼补 使它们之间产生实质性的联系 并体现由静 到动的辩证思维是值得考虑的解题途径 因此学会 解题重在形成良好的题感 从而不断积累解题经验 获得较深刻的元认知体验 3 引导学生反思解题过程 变式推广问题 反思解题过程主要指反思题意的理解过程 解 法的思考过程 涉及到的知识和思想方法以及有联 系的问题等 从而对已有问题进行变式或推广 达到 解决一类问题 从中归纳出具有普遍意义的结论 正 如弗利德曼所说 学生解题的目的就是要学会解类 似的题 找到解决一类问题的方法和规律 4 因此千 万不要轻视对解题过程的反思 这是一种学会学习 能力的培养 是可持续发展的人的素质的培养 例3 解方程组 x y z 3 x2 y2 z2 3 x5 y5 z5 3 此题一到手 首先可直观感知到x 1 y 1 z 1为方程组的一个解 然而是否还有别的解 需进一 步考虑 由于给定问题是三元五次方程组 按消元降 次的基本思路进行推理和运算似乎较繁杂 但三个 未知数在方程中的地位对等匀称 要满足如此严格 的等式 优先预见和猜想x y z可能相等是合乎情理 的 仔细观察方程 和 要使二者建立联系 需提 取和组织认知结构中的相关信息 即和的平方公式 把方程 两边平方 得 x y z 2 9 因此2xy 2yz 2zx 6 要得到x y z的相等关系 需对已有信息 进行重新配置 以得到x y y z z x之类的结构 式 而2 x 2 y2 z2 6与2xy 2yz 2zx 6的两 边分别相减得 x y 2 y z 2 z x 2 0 所以 x y z 因而该方程组只有一组解 正如波利亚所说 在学生开始做题之前 先让他 猜猜结果或猜猜部分结果 不仅调动了积极性 并且 教给他们应有的思维方式 洞察到问题的本质 5 此 外对解题过程进行反思 首先可知起实质性作用的 是方程 和 方程 未参加运算和推理 是方程 和 的推论 因此把方程 变式为其等价形式 并不 影响问题的 如变式为xm yn zp 3 m n p 3或 xy a yz b zx c 3 a b c 2的任一具体形 式 原方程组均可解 其次 由方程x y z 3和x2 y2 z2 3可得xy yz zx 3 由x y z 3和xy yz zx 3也可得到x2 y2 z2 3 因此把原方程 组中的x2 y2 z2 3换为xy yz zx 3 问题的本 质不变 从而通过组合可得到原方程组的若干变式 对解题过程的思路和方法进行反思后 对原有问题 进行推广 解决了一类问题 起到了举一反三的作 用 真正提高了解题的收益率 4 引导学生反思解题结果 引申已有结论 对于 学习解题 而言 学生完成了解题过程并 不意味着解题学习活动的结束 对解题的真正学习 是 解题回顾 6 因此问题获得解决后 并不等于大 功告成 而应对已有结果进行反思 看能否获得一些 有益的启示 引申出一些有意义的结论 正如波利亚 所说 一个好的题目的优点之一是它常常可能引申 出其它好题目 5 在教学过程中 提倡教师精选一些 好题目并留出足够的时间让学生完成解题回顾 抓 住提出问题 发现新结论的良机 使解题活动成为解 决问题 提出问题 解决问题 的良性循环链 为使学生形成组织良好的知识结构奠定基础 从而 有利于在今后解题中进行模式辨认 例4 因式分解 n 2 3n 1 2 1 对于此问题 n 2 3n 1 2 1 n 2 3n 2 n 2 3 n n n 1 n 2 n 3 大部分同学分 解较顺利 结果也很理想 因而多数学生解决此问题 的学习过程也随之结束 从而失去了一次提出问题 发现新结论的良机 若有意识地引导学生反思因式 分解的结果 可在相应的学习阶段得出一些有意义 的结论 由知识点形成知识链和知识网 从而完善学 生的认知结构网络 结论1 4个连续自然数的乘积加1是完全平方 8数 学 教 学 研 究 2006年第3期 数 结论2 4个非零连续自然数的乘积不是完全平 方数 结论3 2002 2003 2004 2005 1是自然 数 结论4 若n为有理数 则 n n 1 n 2 n 3 1是有理数 问题1 求2002 2003 2004 2005 1的值 问题2 解方程x x 1 x 2 x 3 1 0 问题3 求证x x 1 x 2 x 3 1 0 问题4 y x x 1 x 2 x 3 1表示什 么函数 定义域如何 总之在解题活动中 通过对解题挫折经历 解题 过程 结果和方法等不断进行反思和监控 从而积累 解题经验 力求通过解决 有限个问题 来获得解决 无限个问题 的数学机智 7 因此一开始需要教师 经常运用相应的元认知提示语启发学生思考 使学 生形成良好的反思习惯 逐步过渡到由学生从解题 的体验中提炼适合自身风格的提示语 从而激活反 思意识 形成反思能力 最终使学习潜能得到开发 数学能力获得迁移 以真正减轻学习负担 提高解题 收益率 参考文献 1 单土 尊 解题研究 M 南京 南京师范大学出 版社 2002 2 涂荣豹 试论反思性数学学习 J 数学教育学 报 2000 4 3 李 俊 韩龙淑 从一道改错题的反思窥数学思 维品质的培养 J 中学数学教学参考 2001 12 4 弗利德曼 中小学数学教学心理学原理 M 北京 北京师范大学出版社 1987 5 波利亚 数学的发现 M 呼和浩特 内蒙古人 民出版社 1981 6 涂荣豹 数学解题中的有意义学习 J 数学教 育学报 2001 4 7 罗增儒 数学解题学引论 M 西安 陕西师范 大学出版社 2001 新课标下如何挖掘课本例题的教学功能 屠丰庆 浙江省绍兴市第一中学 312000 新的数学课程标准在 以学生 发展 为本 的 理念下 要求学生转变学习方式 教师积极探索新的 课堂教学方式 要求师生转变教学观念 加深对新教 材的理解和把握 课本例题作为教材的组成部分 其 重要意义不言而喻 但很多教师对课本例题往往以 为过于简单而一笔带过 甚至无暇顾及 只是一味地 通过补充大量的练习来达到教学目的 使课堂成为 题海 笔者试对如何挖掘课本例题的教学功能 在新 课标的指引下充分优化课堂教学过程作一点探索 1 改作引例 培养学生解决问题的目标意识 新课标指出 在数学教学中要突出知识的发生 和发展过程 学生的思维接受过程等 提出问题 分 析问题 解决问题是数学最基本的思维过程 而教材 为体现逻辑结构的严密性 常常先理论后应用 例 题 这样掩盖了知识体系的构建过程 如果将例题 作为原始问题提出 通过建立数学模型 寻求问题解 决的方案 进而产生公式 定理 这样就更能符合学 生知识的形成过程 例如讲两角和 差 的正弦 余弦时 不妨将新教 材第一册 下 36页上的例1 利用和差角的公式求