江苏省宿迁市宿豫中学高考数学二轮复习 直线与圆锥曲线问题专题检测（含解析）.doc

36直线与圆锥曲线问题1已知圆c：(x1)2y28，定点a(1,0)，m为圆上一动点，点p在am上，点n在cm上，且满足2，0，点n的轨迹为曲线e.(1)求曲线e的方程；(2)若直线ykx与(1)中所求点n的轨迹e交于不同的两点f，h，o是坐标原点，且，求k2的取值范围解(1)如图所示，连结na.由2，0，可知np所在直线为线段am的垂直平分线，所以nanm，所以ncnancnm22ca，所以动点n的轨迹是以c(1,0)，a(1,0)为焦点的椭圆，且长轴长为2a2，焦距2c2，即a，c1，b1.故曲线e的方程为y21.(2)设f(x1，y1)，h(x2，y2)由消去y，得(2k21)x24kx2k20，8k20，由根与系数的关系，得x1x2，x1x2，所以x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)k21k21.由，得，解得k21.2(2013广东)已知抛物线c的顶点为原点，其焦点f(0，c)(c0)到直线l：xy20的距离为.设p为直线l上的点，过点p作抛物线c的两条切线pa，pb，其中a，b为切点(1)求抛物线c的方程；(2)当点p(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线ab的方程；(3)当点p在直线l上移动时，求afbf的最小值解(1)依题意知，c0，解得c1.所以抛物线c的方程为x24y.(2)由yx2得yx，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则切线pa，pb的斜率分别为x1，x2，所以切线pa的方程为yy1(xx1)，即yxy1，即x1x2y2y10.同理可得切线pb的方程为x2x2y2y20，又点p(x0，y0)在切线pa和pb上，所以x1x02y02y10，x2x02y02y20，所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x2y02y0 的两组解，所以直线ab的方程为x0x2y2y00.(3)由抛物线定义知afy11，bfy21，所以afbf(y11)(y21)y1y2(y1y2)1，联立方程消去x整理得y2(2y0x)yy0，y1y2x2y0，y1y2y，afbfy1y2(y1y2)1yx2y01y(y02)22y012y2y0522，当y0时，afbf取得最小值，且最小值为.3(2013浙江)如图，点p(0，1)是椭圆c1：1(ab0)的一个顶点，c1的长轴是圆c2：x2y24的直径l1，l2是过点p且互相垂直的两条直线，其中l1交圆c2于a，b两点，l2交椭圆c1于另一点d.(1)求椭圆c1的方程；(2)求abd面积取最大值时直线l1的方程解(1)由题意得所以椭圆c1的方程为y21.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，d(x0，y0)由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为ykx1.又圆c2：x2y24，故点o到直线l1的距离d，所以ab22 .又l2l1，故直线l2的方程为xkyk0.由消去y，整理得(4k2)x28kx0，故x0.所以pd.设abd的面积为s，则sabpd，所以s，当且仅当k时取等号所以所求直线l1的方程为yx1.4已知双曲线e：1(a0，b0)的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线xy0相切(1)求双曲线e的方程；(2)已知点f为双曲线e的左焦点，试问在x轴上是否存在一定点m，过点m任意作一条直线交双曲线e于p，q两点(p在q点左侧)，使为定值？若存在，求出此定值和所有的定点m的坐标；若不存在，请说明理由解(1)由题意知a，a.又2c4，c2，b1.双曲线e的方程为y21.(2)当直线为y0时，则p(，0)，q(，0)，f(2,0)，(2,0)(2,0)1.当直线不为y0时，可设l：xtym(t)代入e：y21，整理得(t23)y22mtym230(t)(*)由0得m2t23.设方程(*)的两个根为y1，y2，满足y1y2，y1y2，(ty1m2，y1)(ty2m2，y2)(t21)y1y2t(m2)(y1y2)(m2)2.当且仅当2m212m153时，为定值，解得m13，m23(舍去)综上，过定点m(3，0)任意作一条直线交双曲线e于p，q两点，使1为定值5已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于a(x1，y1)，b(x2，y2)(x10，y00)，则切线斜率为，切线方程为yy0(xx0)，即x0xy0y4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为s.由xy42x0y0知当且仅当x0y0时，x0y0有最大值，即s有最小值，因此点p的坐标为(，)由题意知解得故c1的方程为x21.(2)由(1)知c2的焦点坐标为(，0)，(，0)，由此设c2的方程为1，其中b10.由p(，)在c2上，得1，解得b3，因此c2的方程为1.显然，l不是直线y0.设l的方程为xmy，点a(x1，y1)，b(x2，y2)，由得(m22)y22my30，又设y1，y2是方程的根，因此由x1m