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高中数学 第三章 推理与证明 3.3 综合法与分析法自我小测 北师大版选修1-21锐角三角形的内角a、b满足,则有()asin 2acos b0bsin 2acos b0csin 2asin b0dsin 2asin b02若,则()aabc bcbaccab dbac3若x,yr,且2x2y26,则x2y22x的最大值是()a4 b5 c6 d74定义在(,)上的函数yf(x)在(,2)上是增函数,且函数yf(x2)为偶函数,则f(1),f(4),的大小关系是_5若sin sin sin 0,cos cos cos 0,则cos()_.6已知abc0,求证:abbcca0.7设a0,b0,ab1,求证:.8已知a0,b0,c0,求证:.已知对所有实数x,不等式恒成立,求a的取值范围参考答案千里之行始于足下1a由已知得,即cot 2atan b,.,sin 2acos b,sin 2acos b0.2c,所以ab.同理,可得ca,因而cab.3d由得tx262x22xx22x6(x1)27.,当x1时,t有最大值7.4由函数yf(x2)为偶函数,可知x2为函数对称轴,且yf(x)在(2,)为减函数5观察已知条件中有三个角,而所求结论中只有两个角,所以我们只需将已知条件中的角消去即可,依据sin2cos21消去.由已知,得sin (sin sin ),cos (cos cos ),(sin sin )2(cos cos )2sin2cos21,整理得出cos()的值即可6证明:要证abbcca0,abc0,故只要证abbcca(abc)2,即证a2b2c2abbcca0,亦即证 (ab)2(bc)2(ca)20,而这是显然的,原不等式成立7证明:,则.8证明:a0,b0,c0,.三个不等式相加即得.百尺竿头更进一步解:令,要使各对数都有意义,必须满足条件,抛物线开口向下,函数二次项系数应为负值,故必有,抛物线与x轴无交点,则判别式.由知a1或a0;由有,即,解得0a2.联立与有1a2;再解,先观察对数表达式中真数式的结构,令,则可转化为关于z的二次不等式(1z)2(1z)2(
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