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第十章 机械振动 阻尼和受迫振动 （ 2,3） 简谐振动 （ 1） 电磁振荡 （ 4） 简谐振动的合成 （ 5） 振动有各种不同的形式 微观振动 受迫振动 自由振动 阻尼自由振动 无阻尼自由振动 非谐振动 简谐振动 前 言 机械振动 电磁振荡 广义振动 任一物理量在某一数 值附近反复变化。 位移 x 随时 间 t 的往复变化 电磁量随 t 的往复变化 晶格点阵上 原子的振动 一 . 简谐运动的特征及其表示式（谐振子） 1. 受力特点及动力学方程 线性恢复力 kxF 力和位移正比而反向 2. 运动学方程 makxF 0dd 222 xtx ) c o s ()( 0 tAtx动力学方程 其中 为固有角 (圆 ) 频率 mk 固有角频率决定于振动系统的内在性质 txm22dd 10 1 简谐运动 运动学方程 3. 速度和加速度 ) s i n () s i n ( 00 ttAdtdxmvv)c o s ()c o s ( 002 tatAda mdtv) c o s ()( 0 tAtxo T t x、 、 a x a )2 c o s ( 0 tmvv4. 由初始条件求振幅和初相位 ) c o s ()( 0 tAtx 00 c o s Ax ) s in ( 0 tAv 00 s in Av22020v xA )(tg0010 xv 0t 定义 : 二 . 描述 简谐振动 的特征量 1. 振幅 (amplitude) A 2. 周期 ( period ) T 和频率 ( frequency ) x是描述位置的物理量 ,如 x 或 等 . m m x O )()( Ttxtx 最大位移的绝对值 ( A 恒为正值 ) 反映振动的快慢 mk kmT 2) c o s ()( 0 tAtxmkT 2121 圆频率 (角频率 ) 22T周期性： 3. 相位 (phase) (3) 相位的意义 : ) c o s ()( 0 tAtx)c o s ( 02 tAa)s in ( 0 tAv 相位确定了 t 时刻振动的状态 (x、 、 a ) 相位每改变 2 振动重复一次 . 相位 2 范围内变化 ,状态不重复 . t x O A -A = 2 (1) 是 t 时刻的相位 ) ( 0t (2) 是 t =0 时刻的相位 初相 (initial phase) 0 初相 的数值决定于 时间零点 的选择 0(4) 相位差 ( phase difference ) )c o s ( 10111 tAx)c o s ( 20222 tAx)()( 101202 tt1020 时）（当 12 初相位差 (5) 同相和反相 ( 同频率振动 ) 当 = 2k, ( k =0,1,2, ) 两振动步调相同 ,称 同相 x t o A1 -A1 A2 - A2 x1 x2 T 同相 当 = (2k+1) 两振动步调相反 , 称 反相 x2 T x o A1 -A1 A2 - A2 x1 t 反相 m2 x2 O k2 m1 k1 x1 (6) 超前和落后 t x O A1 -A1 A2 - A2 x1 x2 若 = 2- 1 0 , 则 x2 比 x1 早 达到正最大 , 称 x2 比 x1 超前 (或 x1 比 x2 落后 )。 注意： | | 例如： = 3/2 ， 不说 x2 比 x1超前 3/2 ，而说 x2 比 x1落后 1/2 （ 3/2 -2 = -1/2 ） 三 . 简谐振动 的描述方法 已知表达式 例 1 ttx s in c o s ) s i n22 c o s22(2 tt )4 (c o s2 t 4 , 2 0 A例 2 一质点沿 X轴作简谐振动 ， A= 0.20m,T=2s,当 t = 0 时 ， 质点对平衡位置的位移 x0 = 0.10m， 向轴正向运动 . 求 简谐振动表达式 ) c o s ( 0 tAx ) c o s (2.0 0 t 21c os 0 t = 0 3 0 )3 ( c o s0 .2 0 tx)0(s in 0 )s in ( 0 tAv1. 解析法 (由表达式 出发 ) ) (c o s 0 tAx0 , TA已知 表达式 0 , TA2. 旋转矢量法 o x t t = 0 AA)s in ()( 0 tAtv)2c o s ( 0 tA)c o s ()c o s ()( 0202 tAtAta特点 :直观方便 . )c o s ()( 0 tAtx)(tx)(tv)(ta0)a( 0)(,0ttx v0)(0)(,0tatx v0)a( 0)(,0ttx v0)a( 0)(,0 ttx v简谐振动 和 匀速圆周 运动 之间的简单关系： 匀速圆周运动质点在 某一直径上的 投影 的 运动就是简谐振动 . )( 0 t0例 3 已知简谐振动 (SHM)， A = 4 cm， = 0.5 Hz, t =1s 时 x = - 2cm且向 x 正向运动 ， 写出振动表达式 。 t = 0 x A t = 1s 时矢量位置 X= -2 x = 4cos(t + /3 ) cm A、 T、 表达式 030 03. 振动曲线的画法 先画辅助曲线 x 辅 = Acos t 的曲线 将 x辅 曲线左 （ 右 ） 移即得 x 的曲线 , 移动的距离为 T/6 待画曲线 o T x -A t A 辅助曲线 欲画 的曲线 , 0c o s tAx 为非典型值时 , 可用领先 、 落后的概念画出振动曲线 。 0Tt20例如 ， 若 ， 则右移 T /6 (见图 ) 30 四 . 简谐振动的能量 ( 以水平弹簧振子为例 ) 1. 动能 221 vmEk )(s i n21 22 tkA 2m a x 21 kAEk 2 41d1 kAtETETtt kk 2. 势能 221 kxEp )(c o s21 22 tkA3. 机械能 221 kAEEEpk （简谐振动系统机械能守恒） 0m in kEkE2 41d1 kAtETETtt pp m x O E kEPEx O A A mk 例 4 物理摆 (复摆 ) 如图所示 , 设刚体对轴的转动惯量为 J. 设 t = 0 时摆角向右达到最大值为 m. 求 振动周期和振动方程 . 解 JJhmM s ing0s ing Jhm s i n,5 时Jhm ghmJTg2 单 摆 g2lT 振动方程 ) c o s ( 0 tmlhmlJ ,20g Jhm能量的方法 (t 时刻系统的能量 ) 21 g ( 1 c o s )2E J m h C ( g s i n ) 0J m h g0J m h0g Jhm（ 其它步骤同上 ） 小 结 一 . 简谐振动 ) c o s ()( tAtx二 . 描述 简谐振动 的特征量 1. 振幅 A 2. 周期 T 和频率 v 3. 相位 ( t + ) 是 t 时刻的相位 0dd 222 xtx 三 . 由初始条件求振幅和初相位 22020 v xA )(tg001x v 四 .旋转矢量法 t + o x x