材料力学 重大版 课后习题答案.ppt

2 1试求图示杆件各段的轴力 并画轴力图 2 2已知题2 1图中各杆的直径d 20mm F 20kN q 10kN m l 2m 求各杆的最大正应力 并用图形表示正应力沿轴线的变化情况 答 1 63 55MPa 2 127 32MPa 3 63 55MPa 4 95 5MPa 5 127 32MPa 2 4一正方形截面的阶梯柱受力如题2 4图所示 已知 a 200mm b 100mm F 100kN 不计柱的自重 试计算该柱横截面上的最大正应力 解 1 1截面和2 2截面的内力为 FN1 F FN2 3F相应截面的应力为 最大应力为 2 6钢杆受轴向外力如图所示 横截面面积为500mm2 试求ab斜截面上的应力 FN 20kN 解 2 8图示钢杆的横截面积A 1000mm2 材料的弹性模量E 200GPa 试求 1 各段的轴向变形 2 各段的轴向线应变 3 杆的总伸长 解 轴力图如图所示 2 10图示结构中 五根杆的抗拉刚度均为EA 杆AB长为l ABCD是正方形 在小变形条件下 试求两种加载情况下 AB杆的伸长 解 a 受力分析如图 由C点平衡可知 F AC F CB 0 由D点平衡可知 F AD F BD 0 再由A点的平衡 因此 b 受力分析如图 由C点平衡可知 由D点平衡可知 因此 再由A点的平衡 2 12图示结构中 水平刚杆AB不变形 杆 为钢杆 直径d1 20mm 弹性模量E1 200GPa 杆 为铜杆 直径d2 25mm 弹性模量E2 100GPa 设在外力F 30kN作用下 AB杆保持水平 1 试求F力作用点到A端的距离a 2 如果使刚杆保持水平且竖向位移不超过2mm 则最大的F应等于多少 解 受力分析如图 d1 20mm E1 200GPa d2 25mm E2 100GPa 2 15图示结构中 AB杆和AC杆均为圆截面钢杆 材料相同 已知结点A无水平位移 试求两杆直径之比 解 由两杆变形的几何关系可得 2 20图示结构中 杆 和杆 均为圆截面钢杆 直径分别为d1 16mm d2 20mm 已知F 40kN 刚材的许用应力 160MPa 试分别校核二杆的强度 解 受力分析如图 1 2 可解得 F2 29 3kN F1 20 7kN 杆 和杆 都满足强度要求 d1 16mm d2 20mm 160MPa F2 29 3kN F1 20 7kN 2 24图示结构 BC杆为5号槽钢 其许用应力 1 160MPa AB杆为100 50mm2的矩形截面木杆 许用应力 2 8MPa 试求 1 当F 50kN时 校核该结构的强度 2 许用荷载 F 解 受力分析如图 联立 1 和 2 解得 FBC 25kN FBA 43 3kN 查型钢表可得 ABC 6 928cm2 FBC 25kN FBA 43 3kN ABC 6 928cm2 1 160MPa AAB 100 50mm2 2 8MPa 杆BC满足强度要求 但杆BA不满足强度要求 将 FBA 带入 1 2 式中求得许用荷载 F 46 2kN 2 25图示结构中 横杆AB为刚性杆 斜杆CD为直径d 20mm的圆杆 材料的许用应力 160MPa 试求许用荷载 F 解 CD 1 25m sin 0 75 1 25 0 6 2 25图示结构中 横杆AB为刚性杆 斜杆CD为直径d 20mm的圆杆 材料的许用应力 160MPa 试求许用荷载 F 解 CD 1 25m sin 0 75 1 25 0 6 d 20mm 160MPa 2 27图示杆系中 木杆的长度a不变 其强度也足够高 但钢杆与木杆的夹角 可以改变 悬挂点C点的位置可上 下调整 若欲使钢杆AC的用料最少 夹角 应多大 解 答45o 杆AC的体积 钢杆AC的用料最少 则体积最小 有 2 37图示销钉连接中 F 100kN 销钉材料许用剪切应力 j 60MPa 试确定销钉的直径d 解 2 39图示的铆接接头受轴向力F作用 已知 F 80kN b 80mm 10mm d 16mm 铆钉和板的材料相同 其许用正应力 160MPa 许用剪切应力 j 120MPa 许用挤压应力 bs 320MPa 试校核其强度 解 160MPa b 80mm 10mm d 16mm j 120MPa bs 320MPa 3 1试画下列各杆的扭矩图 3 4薄壁圆筒受力如图所示 其平均半径r0 30mm 壁厚t 2mm 长度l 300mm 当外力偶矩Me 1 2kN时 测得圆筒两端面之间的扭转角 0 76o 试计算横截面上的扭转切应力和圆筒材料的切变模量G r0 30mm t 2mm l 300mm 0 76o 于是 3 8直径d 60mm的圆轴受扭如图所示 试求 截面上A点的切应力和轴中的最大扭转切应力 解 扭矩图如图 d 60mm 3 11图示阶梯形圆轴 轮2为主动轮 轴的转速n 100r min 材料的许用切应力 80MPa 当轴强度能力被充分发挥时 试求主动轮输入的功率p2 解 当轴的强度被充分发挥时有 3 14图示一实心圆轴 直径d 100mm 外力偶矩Me 6kN m 材料的切变模量G 80GPa 试求截面B相对于截面A以及截面C相对于截面A的相对扭转角 解 由于整杆各个截面内力相等 有 3 18某阶梯形圆轴受扭如图所示 材料的切变模量为G 80GPa 许用切应力 100MPa 单位长度许用扭转角 1 5o m 试校核轴的强度和刚度 解 扭矩图如图所示 4 1试用截面法求下列梁中1 1 2 2截面上的剪力和弯矩 4 4试列出下列梁的剪力方程和弯矩方程 并画出剪力图和弯矩图 4 5用微分 积分关系画下列各梁的剪力图和弯矩图 4 7检查下列各梁的剪力图和弯矩图是否正确 若不正确 请改正 4 8已知简支梁的剪力图 试根据剪力图画出梁的荷载图和弯矩图 已知梁上无集中力偶作用 4 9静定梁承受平面荷载 且无集中力偶作用 若已知A端弯矩为零 试根据已知的剪力图确定梁上的荷载及梁的弯矩图 并指出梁在何处有约束 且为何种约束 4 10已知简支梁的弯矩图 试根据弯矩图画出梁的剪力图和荷载图 已知梁上无分布力偶作用 4 11试用叠加法画图示各梁的弯矩图 1试确定图示平面图形的形心位置 1 2 分成3块计算 由于截面有一个对称轴 可知形心在对称轴上 因此 2试确定图示平面图形的形心位置 查表可得 角钢A 22 261cm2 形心 45 8 21 2 mm槽钢A 68 11cm2 形心 23 7 180 mm组合截面的形心坐标为 答 a b c 3试计算图示平面图形的阴影部分对z轴的静矩 5 6试计算图示矩形截面对y z轴的惯性矩和惯性积以及对O点的极惯性矩 5 7试计算图示组合图形对z轴的惯性矩 解 查表得L100 100 10角钢的截面面积 A 19 261cm2Iz 179 51cm4 z0 2 84cm 答 a 5 9试计算图示平面图形的形心主惯性矩 5 11图示矩形截面 已知b 150mm h 200mm 试求 1 过角点A与底边夹角为45o的一对正交坐标轴y z的惯性矩Iz Iy和惯性积Iyz 2 过角点A的主轴方位 解 建立如图所示两个坐标系 则 令 则 5 13试计算图示平面图形对形心轴z的惯性矩 6 1矩形截面梁受力如图所示 试求I I截面 固定端截面 上a b c d四点处的正应力 解 1 1截面弯矩为 对中性轴z的惯性矩为 6 2工字形截面悬臂梁受力如图所示 试求固定端截面上腹板与翼缘交界处k点的正应力 k 解 固定端截面处弯矩 对中性轴的惯性矩 由正应力公式得 6 6图 a 所示两根矩形截面梁 其荷载 跨度 材料都相同 其中一根梁是截面宽度为b 高度为h的整体梁 图b 另一根梁是由两根截面宽度为b 高度为h 2的梁相叠而成 两根梁相叠面间可以自由错动 图c 试分析二梁横截面上的弯曲正应力沿截面高度的分布规律有何不同 并分别计算出各梁中的最大正应力 解 梁的弯矩图如图对于整体梁 叠梁 由于小变形 可知上下梁各承担一半弯矩 因此 6 8矩形截面简支梁如图所示 已知F 18kN 试求D截面上a b点处的弯曲切应力 解 6 9试求图示梁固定端截面上腹板与翼缘交界处k点的切应力 k 以及全梁横截面上的最大弯曲切应力 max 解 梁各个截面剪力相等 都等于20kN 6 10图示直径为145mm的圆截面木梁 已知l 3m F 3kN q 3kN m 试计算梁中的最大弯曲切应力 解 6 11T形截面铸铁梁受力如图所示 已知F 20kN q 10kN m 试计算梁中横截面上的最大弯曲切应力 以及腹板和翼缘交界处的最大切应力 解 梁中最大切应力发生在B支座左边的截面的中性轴处 中性轴距顶边位置 腹板和翼缘交界处 6 12图示矩形截面梁采用 a b 两种放置方式 从弯曲正应力强度观点 试计算 b 的承载能力是 a 的多少倍 解 6 13图示简支梁AB 当荷载F直接作用于中点时 梁内的最大正应力超过许用值30 为了消除这种过载现象 现配置辅助梁 图中的CD 试求辅助梁的最小跨度a 解 6 14图示简支梁 d1 100mm时 在q1的作用下 max 0 8 材料的 12MPa 试计算 1 q1 2 当直径改用d 2d1时 该梁的许用荷载 q 为q1的多少倍 解 1 2 6 16图示T形梁受力如图所示 材料的许用拉应力 t 80MPa 许用压应力 c 160MPa 截面对形心轴z的惯性矩Iz 735 104mm4 试校核梁的正应力强度 解 B截面上部受拉 C截面下部受拉 B截面下部受压 C截面上部受压 c 160MPaIz 735 104mm4 6 17图示工字形截面外伸梁 材料的许用拉应力和许用压应力相等 当只有F1 12kN作用时 其最大正应力等于许用正应力的1 2倍 为了消除此过载现象 现于右端再施加一竖直向下的集中力F2 试求力F2的变化范围 解 6 18图示正方形截面悬臂木梁 木材的许用应力 10MPa 现需要在梁中距固定端为250mm截面的中性轴处钻一直径为d的圆孔 试计算在保证梁的强度条件下 圆孔的最大直径可达多少 不考虑应力集中的影响 解 开孔截面处的弯矩值为 开孔截面的惯性矩 6 19图示悬臂梁受均布荷载q 已知梁材料的弹性模量为E 横截面尺寸为b h 梁的强度被充分发挥时上层纤维的总伸长为 材料的许用应力为 试求作用在梁上的均布荷载q和跨度l 解 梁的各个截面的弯矩不相等 x截面 由胡克定律 x截面顶部线应变 强度充分发挥时 梁的总伸长 6 22图示矩形截面梁 已知材料的许用正应力 170MPa 许用切应力 100MPa 试校核梁的强度 解 6 23图示一简支梁受集中力和均布荷载作用 已知材料的许用正应力 170MPa 许用切应力 100MPa 试选择工字钢的型号 解 查表得工字钢的型号 6 24图示矩形截面木梁 已知木材的许用正应力 8MPa 许用切应力 0 8MPa 试确定许用荷载 F 解 取 6 25图示20a号工字钢梁 材料的弹性模量E 210GPa 在 截面的最底层处测得纵向线应变 96 4 10 6 试求作用于梁上的均布荷载集度q 6 32绘出图示梁内危险截面上的正应力和切应力沿横截面高度的分布示意图 解 绘出梁的剪力图和弯矩图可知 梁的危险截面为A左截面 确定中性轴位置 绘正应力分布图最大拉应力在截面的上边缘 最大压应力在截面的下边缘 切应力分布 在1水平线上 S 0 1 0 在2水平线上 在3水平线上 在4水平线上 在5水平线上 S 0 5 0 7 1试用积分法求图示各梁的挠曲线方程 转角方程 最大挠度和最大转角 梁的抗弯刚度EI为常数 解 支座反力如图 边界条件 代入得 于是有 7 2试用积分法求图示各梁C截面处的挠度yC和转角 C 梁的抗弯刚度EI为常数 解 支座反力如图所示分两段建立挠曲线近似微分方程并积分 AB段 BC段 由连续性条件 代入边界条件 7 2 b 试用积分法求图示梁C截面处的挠度yC和转角 C 梁的抗弯刚度EI为常数 解 支座反力如图所示 分两段建立挠曲线近似微分方程并积分 由变形连续条件 解得 代入积分常数可得 补例 采用叠加法求梁截面C处的挠度yC和转角 梁的抗弯刚度EI为常数 解 分为图示两种荷载单独作用的情况 7 2 d 试用积分法求图示梁C截面处的挠度yC和转角 C 梁的抗弯刚度EI为常数 解 支座反力如图 本题应分3段建立挠曲近似微分方程 因此 写出3段弯矩方程为 挠曲线近似微分方程 由连续性条件和边界条件 可得 7 4用积分法求图示各梁的变形时 应分几段来列挠曲线的近似微分方程 各有几个积分常数 试分别列出确定积分常数时所需要的位移边界条件和变形连续光滑条件 解 a 分为两段列挠曲近似微分方程 共有4个积分常数 位移边界条件 y1A y1A 0 变形连续条件 y1C y2C y1C y2C b 分为四段列挠曲近似微分方程 共有8个积分常数 位移边界条件 y1A y3B 0 变形连续条件 y1A y2A y1A y2A y2B y3B y2B y3B y3B y4B y3B y4B 解 c 分为两段列挠曲近似微分方程 共有4个积分常数 位移边界条件 y1A 0 y2C F ql a 2EA变形连续条件 y1B y2B y1B y2B d 分为四段列挠曲近似微分方程 共有8个积分常数 位移边界条件 y1A y2C y4B 0 变形连续条件 y1D y2D y1D y2D y2C y3C y2C y3C y3E y4E 7 5根据梁的受力和约束情况 画出图示各梁挠曲线的大致形状 7 7试用叠加法求图示各悬臂梁截面B处的挠度yB和转角 B 梁的抗弯刚度EI为常数 解 7 7 8试用叠加法求图示简支梁跨中截面C处的挠度yc和支座截面A的转角 A 梁的抗弯刚度EI为常数 解 7 9试用叠加法求图示各梁指定截面的位移 梁的抗弯刚度EI为常数 解 7 9 e 试用叠加法求图示各梁指定截面的位移 梁的抗弯刚度EI为常数 解 7 12试用叠加法求图示各梁跨中C处的挠度yC 梁的抗弯刚度EI为常数 7 15图示木梁AB的右端由钢杆支承 已知梁AB的横截面为边长等于200mm的正方形 弹性模量E1 10GPa 钢杆BD的横截面面积A2 250mm2 弹性模量E2 210GPa 现测得梁AB中点处的挠度为yC 4m 试求均布荷载集度q 解 A支座反力和BD杆受的力为FA FBD q c 8 1试用解析法求图中各单元体a b面上的应力 应力单位为MPa 解 8 2试用解析法求图中各单元体所示应力状态的主应力 1 2 3值及 1的方位 并在图中画出各主平面的位置 应力单位为MPa 解 因为 sin2 0为正 cos2 0 tan2 0为负 则2 0位于第二象限 并有2 0 141 34o 0 70 67o 因此 1与x轴成70 67o 8 3图示简支梁承受均布荷载 试在m m横截面处从1 2 3 4 5点截取出五个单元体 点1 5位于上下边缘处 点3位于h 2处 并标明各单元体上的应力情况 标明存在何种应力及应力方向 解 a a截面上的1 5两点切应力等于零 只有正应力 3点位于中性轴上 正应力等于零 只有切应力 2 4两点既有正应力 又有切应力 但2点的正应力为拉应力 4点的正应力为压应力 各单元体上的应力情况如图所示 8 4直径d 80mm的受扭圆杆如图所示 已知m m截面边缘处A点的两个非零主应力分别为 1 50MPa 3 50MPa 试求作用在杆件上的外力偶矩Me解 8 5已知一点处两个斜截面上的应力如图所示 试用解析法求主应力及其方向 并画出主平面及主应力 应力单位为MPa 解 8 9各单元体上的应力情况如图所示 试求主应力及最大切应力 应力单位为MPa 解 z为主平面 对应的主应力为30MPa 另外两个主应力按照 x 80MPa y 0 xy 20MPa的平面应力状态计算得 则 8 12已知图示圆轴表面一点处某互成45 方向的线应变分别为 3 75 10 4 5 10 4 设材料的弹性模量E 200GPa 泊松比 0 25 轴的直径d 100mm 试求外力偶矩Me 解 设 方向与圆轴的纵向成 角 则 方向与轴的纵向成 45o 根据 可知 方向 可知 方向 在纯剪时 单元体任意两垂直面上的正应力是等值反号的 根据胡克定律 8 14图示钢杆 横截面尺寸为20mm 40mm 材料的弹性模量E 200GPa 泊松比 0 3 已知A点与轴成30 方向的线应变 270 10 6 试求荷载F值 解 x轴铅垂向下 杆单向拉伸 应力为 F A 由 可得 根据胡克定律 由题给条件 有 9 2试比较图示正方形截面棱柱体在下列两种情况下的相当应力 r3 弹性常数E 均为已知 图 a 棱柱体自由受压 图 b 棱柱体在刚性方模中受压 解 a 图棱柱体是单向应力状态 有 b 图棱柱体是三向应力状态 由广义胡克定律 可解得 由于一般0 2 0 5 因此 9 5截面及尺寸如图所示伸臂梁 承受集中载荷F 130kN作用 材料的许用正应力 170MPa 许用切应力 100MPa 试全面校核梁的强度 解 1 作内力图 可知危险截面为B的右截面 危险截面上应力分布如图所示 可能的危险点为B右截面的上 下边缘处的点 正应力最大 中性轴处的点 切应力最大 腹板与翼缘交界处的点 D或E点的正应力和切应力都比较大 2 所需截面的几何性质 153 满足正应力强度条件 4 校核切应力强度 3 校核正应力强度 5 按第三强度理论校核D点的强度 满足强度条件 综上所述 该梁满足强度条件 首先算出B右横截面上D点的正应力 x和切应力 xy的大小 9 7图示圆柱形薄壁封闭容器 受外压p 15MPa作用 试按第四强度理论确定其壁厚t 容器外直径D 80mm 材科的许用应力 160MPa 解 1 求K点处沿筒轴向的应力 x 取图 b 所示分离体 由圆筒及其受力的对称性 且t D 因此圆筒部分横截面上正应力 x 可认为在横截面上各点处相等 156 2 求K点处的周向应力 t取图 c 所示分离体 设分离体纵向长度为L 且t D 因此可认为在纵截面上各点处的正应力是相等的 并称为周向应力 3 求K点处的径向应力 r取图 d 所示分离体 由平衡条件知 rmax p 比较 rmax 与 x和 t 有 因t D 所以 rmax x或 rmax t 故工程中常不考虑 r的影响 于是K点的应力状态可近似为图 e 所示二向应力状态 4 第四强度理论的相当应力 由图 e 知 K点处 代入第四强度理论的相当应力表达式有 5 强度校核 10 3图示悬臂木梁 在自由端受集中力F 2kN F与y轴夹角 10 木材的许用正应力 10 MPa 若矩形截面h b 3 试确定截面尺寸 解根据梁的受力 梁中的最大正应力发生在固定端支座处临近截面的角点 D1或D2 处 将荷载沿截面的二对称轴方向分解为Fy和Fz 引起的固定端截面上的弯矩分别为 梁中的最大正应力为 10 6图示结构中 BC为矩形截面杆 已知a 1m b 120mm h 160mm F 6kN