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2019 12 20 1 层次分析法 2010年上学期 2019 12 20 2 基本内容 一 层次分析的基本情况介绍二 层次分析法的思想与原理三 层次分析法的步骤及计算方法四 层次分析法的应用举例 2019 12 20 3 层次分析法 AnalyticalHierarchyProcess 简称AHP方法 是由美国匹兹堡大学运筹学家A L Saaty于本世纪70年代中期出 其基本思想是把一个复杂的问题分解为各个组成因素 并将这些因素按支配关系分组 从而形成一个有序的递阶层次结构 通过两两比较的方式确定层次中诸因素的相对重要性 然后综合人的判断以确定决策诸因素相对重要性的总排序 层次分析法是一种定性与定量相结合的决策分析方法 它是一种将决策者对复杂系统的决策思维过程模型化 数量化的过程 它可以帮助决策者解决那些难以定量描述的决策问题带来极大方便 一 层次分析法的基本情况 2019 12 20 4 二 层次分析法的基本原理 1 基本原理 假设有n个物体A1 A2 An 记们的重量分别为w1 w2 wn 现将每个物体的重量两两进行比较如下 2019 12 20 5 若以矩阵表示各物体的这种相互重量关系 即 A称为判断矩阵 若取重量向量W w1 w2 wn T 则有 AW nW 上式说明 W是判断矩阵A的特征向量 n是A的一个特征值 而实际上 可以证明n是矩阵A的唯一非0的 也是最大的特征值 W为其所对应的特征向量 2019 12 20 6 上述事实说明 如果一组物体需要知道它们的重量 而又没有衡器 则可以通过两两比较它们的相互重量 得出每对物体重量比的判断 从而构成判断矩阵 然后通过求解判断矩阵的最大特征值lmax和它对应的特征向量 就可以得出这一组物体的相对重量 根据这一思想 我们可以对一些无法测量的因素 只要引入合理的标度 则可以用上述方法度量各因素之间的相对重要性 从而为有关决策提供依据 扩展 AHP方法的基本思想就是决策者对n个元素优劣的整体判断转变为对这n个元素的两两比较 然后再转为对这n个元素的整体优劣排序判断及确定各元素的权重 2019 12 20 7 三 层次分析法的步骤 AHP方法的基本步骤总体来说包括 根据问题的性质和总目的 将问题分解成不同的组成因素 并按它们间的相互联系及隶属关系划分成不同层次组合 构成一个多层次的系统分析结构模型 对每一层次各元素 或因素 的相对重要性作出判断 通过各层次因素的间排序与逐层的总排序 最终计算出最低层诸元素相对于最高层的重要权值 从而确定诸方案的优劣排序 2019 12 20 8 AHP方法的具体步骤 建立层次结构模型将问题所包含的因素分层 用层次框图描述层次的递阶结构和因素的从属关系 通常可划分为 最高层 中间层和最低层 最高层 要解决的目标 中间层 为实现总目标而采取的策略 准则等 又可分为策略层 约束层和准则层等 最低层 用于解决问题的措施 方案 政策 指标等 当上一层次的元素与下一层次的所有元素都有联系时称为完全的层次关系 当只与下层的部分元素有联系 此时称为不完全层次关系 2019 12 20 9 建筑企业选择投标项目的层次结构模型 合理选择投标项目 以得到更大发展 目标层 准则层 指标层 项目层 2019 12 20 10 2 构造判断矩阵AHP法要求逐层计算有关相互联系的元素间影响的相对重要性 并予以量化 组成判断矩阵 作为分析的基础 现设上一层次中的元素Ak与下层n个元素B1 B2 Bn有关 记Bi对Bj的相对重要性的全部比较结果如下矩阵B 即 称为Ak的影响元素的判断矩阵 2019 12 20 11 Saaty标度表 若判断成对事物的差别介于两者之间 则bij值可取2 4 6 8 而倒数则是两对比项颠倒比较的结果 判断矩阵中的元素具有如下的性质 为了用数值来表示相对重要性程度 可以采用比例标度法 常用的为Saaty提出的标度方法 Saaty认为人们估计成对事物的差别时 用5种判断就能很好表示 标度表如下 2019 12 20 12 B是一个n阶矩阵 仅需要给出n n 1 2个元素的数值 判断矩阵中的数值可以根据数据资料 专家评价和决策者本人的认识加以综合平衡后给出的 衡量判断矩阵适当与否的标准矩阵中判断是否具有一致性 当判断矩阵满足 bij bik bjki j k 1 2 n时则称具有完全一致性 此时 判断矩阵B中任一行 或列 均为任意指定行 或列 的正数倍数 通常1 2阶判断矩阵问题可以具有完全一致性 对于高阶矩阵则应该结合排序步骤 进行一致性检验 如不满足 应予以修改 2019 12 20 13 3 层次单排序及一致性检验层次排序是指根据上一层Ak的判断矩阵B 计算本层与之有联系的各元素B1 B2 Bn间相对重要性的排序权值 可以归结为计算判断矩阵的特征值和特征向量的问题 即计算满足 BW lW的lmax与相应的W 具有上述性质1 2 3 的矩阵称为正互反矩阵 可以证明 n阶正互反矩阵存在正实数的最大特征值lmax 且它是单根 lmax n 同时所对应的特征向量的分量均为正数 若判断矩阵具有完全一致性 则有lmax n 其余特征根为0 此时对应于lmax的标准化特征向量W 其相应的分量 如wi 即为对应元素 Bi 的单排序的权值 2019 12 20 14 但对于因素多 规模大的问题 由于事物的复杂性与人们认识的片面性 构造的判断矩阵不一定能具有完全一致性 若判断矩阵不具有一致性 记为B 则由特征方程B W lW求得的最大特征根l max n l max比n在得越多 则B 的不一致性程度就越严重 此时与l max对应的特征向量W 就不能真实反映本层元素B1 B2 Bn与上层因素Ak中所占的影响比重 通常可用一致性指标CI ConsistencyIndex 来衡量判断矩阵的不一致性程度 显然 当判断矩阵具有完全一致性时 CI 0 2019 12 20 15 如果CI 0 此时可以放松要求 只要求判断矩阵的最大特征值稍大于n 且其余特征根接近于0 这时称该判断矩阵具有满意的一致性 Saaty建议用平均随机一致性指标RI来检验判断矩阵是否具有满意一致性 平均随机一致性指标RI是多次重复进行随机矩阵循环值的计算后 取算术平均数得到的 下面是Saaty给出的1 15阶矩阵重复1000次的平均随机一致性指标值 2019 12 20 16 计算随机一致性比 ConsistencyRatio 同阶相比 CR CI RI当CR 0 10时 认为判断矩阵具有满意一致性 否则就必须重新调整判断矩阵 直到具有满意一致性 这是计算出的最大特征值所对应的特征向量 经标准化后 才可以作为层次单排序的权值 2019 12 20 17 4 层次总排序及一致性检验计算同一层所有元素对于最高层 目标层 相对重要性的排序权值 称为层次总排序 这一计算需要从上到下 逐层顺序1进行 对于紧接最高层下的那一层 第二层 其层次单排序即为总排序 现假设进行到A层 它包含有m个因素A1 A2 Am 得到的层次总排序权值分别abrt为a1 a2 am 其下一层次B包含n个元素B1 B2 Bn 它对于Aj的层次单排序权值已知 这里如果Bi与Aj无联系 则 0 这样B层元素的总排序权值可按如下表求得 2019 12 20 18 显然有 2019 12 20 19 层次总排序也要进行一致性检验 检验是从高层到低层进行 设与A层中因素Aj j 1 2 m 对应的B层次中的判断矩阵的一致性指标为CIj 平均随机一致性指标为Rij 则B层次总排序随机一致性比率为 当CR 0 1时 认为该层次总排序的结果具有满意的一致性 否则需对B的各判断矩阵进行调整 再进行分析 2019 12 20 20 四 层次分析法实例某单位拟从三名干部中提拔一人担任领导工作 干部的优劣 由上级人事部门提出 用六个属性来衡量 健康状况 业务知识 写作水平 口才 政策水平 工作作风 分别用p1 p2 p3 p4 p5 p6来表示 2019 12 20 21 2019 12 20 22 判断矩阵 判断矩阵如下B 2019 12 20 23 组织部门给三个人 甲 乙 丙对每个目标层性打分 健康状况 p1 业务水平 p2 2019 12 20 24 写作水平 p3 p4 口才 2019 12 20 25 政策水平 p5 工作作风 p6 2019 12 20 26 解 1画出层次分析图 2019 12 20 27 判断矩阵 求出目标层的权数估计用和积法计算其最大特征向量 2019 12 20 28 和积法具体计算步骤 1 将判断矩阵B按列规格化 即 2019 12 20 29 6 255 756 53207 333 83 2019 12 20 30 6 255 756 53207 333 83 2019 12 20 31 2 对矩阵B 按行相加 得 0 951 101 200 300 931 51 2019 12 20 32 W w1 w2 wn T即为所求的特征向量的近似解 3 对向量规格化 即 0 951 101 200 300 931 515 99 2019 12 20 33 W 2019 12 20 34 用和积法计算其最大特征向量为W w1 w2 w6 T 0 16 0 18 0 20 0 05 0 16 0 25 T即为所求的特征向量的近似解 计算判断矩阵最大特征根 max 2019 12 20 35 BW 2019 12 20 36 2019 12 20 37 随机一致性比率C R ConsistencyRatio 判断矩阵一致性指标C I ConsistencyIndex 2019 12 20 38 3求出方案层对目标层的最大特征向量 同2 求得 W11 W21 W31 0 14 0 62 0 24 W12 W22 W32 0 10 0 32 0 58 W13 W23 W33 0 14 0 62 0 24 W14 W24 W34 0 28 0 65 0 07 W15 W25 W35 0 47 0 47 0 06 W16 W26 W36 0 80 0 15 0 05 2019 12 20 39 4层次总排序利用层次单排序的计算结果 进一步综合出对更上一层次的优劣顺序 就是层次总排序的任务 2019 12 20 40 求得三人所得总分甲的总分 Wi Wi1 0 16 0 14 0 18 0 10 0 20 0 14 0 05 0 28 0 16 0 47 0 25 0 80 0 3576乙的总分 Wi Wi2 0 16 0 62 0 18 0 32 0 20 0 62 0 05 0 65 0 16 0 47 0 25 0 15 0 4372丙的总分 Wi Wi3 0 16 0 24 0 18 0 58 0 20 0 24 0 05 0 07 0 16 0 07 0 25 0 05 0 2182 因为 乙的总分 甲的总分 丙的总分 所以应该提拔乙到领导岗位上 W w1 w2 w6 T 0 16 0 18 0 20 0 05 0 16 0 25 T 2019 12 20 41 判断矩阵特征向量与最大特征值的计算 在AHP法中 最根本的计算任务是求解判断矩阵的最大特征值和其所对应的特征向量 这些问题当然可以用线性代数知识去求解 并且能够利用计算机求得任意高精度的结果 但实事上 在层次分析法中 判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向量的计算 并不需要追求太高的精度 这是因为判断矩阵本身就是将定性问题定量化的结果 允许存在一定的误差范围 因此 常常用如下几种方法近似求解判断矩阵的最大特征值及其相应的特征向量 一 方根法 二 和积法 三 幂法 2019 12 20 42 一 方根法 1 计算判断矩阵B每行元素的连乘积 2 求Mi的n次方根 3 对向量规格化 即 4 计算最大特征值 规格化向量W w1 w2 wn T即为矩阵B的特征向量 2019 12 20 43 二 和积法 主要步骤 1 将判断矩阵B按列规格化 即 得规格化矩阵B 2 对矩阵B 按行相加 得 记向量W w1 w2 wn T 2019 12 20 44 3 将向量W 规格化 即 规格化向量W w1 w2 wn T即为矩阵B的特征向量 2019 12 20 45 AHP决策分析实例2兰州市主导产业决策分析地处甘肃省中部 黄河上游的兰州市 是甘肃省的省会 全省政治 经济 文化 医疗卫生 教育和科技中心 兰州经济的发展 无疑在全省 乃至全国占有着十分重要的地位 在改革开放深入发展的今天 如何抓住时机 发挥地区优势 促进兰州经济的全面发展是摆在省 市各级领导面前的一项急待解决的重大决策问题 为了解决这一问题 必须以市场为导向 结合本市的自然 经济 社会和技术条件 综合各种有利和不利因素 选择一批能发挥地区优势 具有较高效益的主导产业 从而带动全市经济的腾飞 2019 12 20 46 模型层次结构1 目标层 A 选择带动兰州市经济全面发展的主导产业 2 准则层 C 包括三个方面 1 C1 市场需求 包括市场需求现状和远景市场潜力 2 C2 效益准则 这里主要考虑产业的经济效益 3 C3 发挥地区优势 合理利用资源 2019 12 20 47 3 对象层 P 包括14个产业 1 P1 能源工业 2 P2 交通运输业 3 P3 冶金工业 4 P4 化工工业 5 P5 纺织工业 6 P6 建材工业 7 P7 建筑业 8 P8 机械工业 9 P9 食品加工业 10 P10 邮电通讯业 11 P11 电器 电子工业 12 P12 农业 13 P13 旅游业 14 P14 饮食服务 2019 12 20 48 计算过程构造判断矩阵 进行层次单排序 根据上述模型结构 在专家咨询的基础上 构造了A C判断矩阵 C P判断矩阵 并进行了层次单排序计算 其结果分别如下 A C判断矩阵 lmax 3 038CI 0 019RI 0 58CR 0 0328 0 10C1 P判断矩阵 C2 P判断矩阵 C3 P判断矩阵 2019 12 20 49 层总排序 一致性检验根据以上层次单排序结果 经过计算 可得对象层 P 的层次总排序 对象层 P 的层次总排序 2019 12 20 50 基本结论从C层的排序结果来看 兰州市主导产业选择的准则应该是 首先考虑产业的效益 主要是经济效益 其次考虑市场需求和远景市场潜力 第三考虑发挥地区优势和资源合理利用问题 2019 12 20 51 基本结论 max 15 65CI 0 127RI 1 58CR 0 0804 0 10 max 15 94CI 0 149RI 1 58CR 0 0943 0 10 max 15 64CI 0 126RI 1 58CR 0 0797 0 10 2019 12 20 52 从P层总排序结果来看 兰州市主导产业选择的优先顺序应该是 P1 能源工业 P2 交通运输业 P4 化工工业 P3 冶金工业 P5 纺织工业 P7 建筑业 P11 电器 电子工业 P8 机械工业 P12 农业 P6 建材工业 P10 邮电通讯业 P13 旅游业 P14 饮食服务业 P9 食品加工业 2019 12 20 53 晋陕蒙三角地区综合开发治理战略决策分析晋陕蒙三角地区包括山西省的河曲 保德 偏关和兴县 陕西省的神木 府谷和榆林县 内蒙古自治区的伊金霍洛旗 东胜市 准格尔旗 清水河县和达拉特旗 共12个县 市 旗 本区自然环境恶劣 水资源缺乏 水土流失及风沙危害严重 农 林 牧业都不发达 但本区的煤炭资源十分丰富 拥有我国和世界上罕见的特大煤田 探明储量共计2576亿吨 为了给本区综合开发治理决策提供依据 运用AHP决策分析法 按总目标 战略目标 发展战略 制约因素和方针措施等五个层次 分析了它们之间的相互联系与相互制约关系 计算出各层的相对权重 从而得出这些因素对实现总目标的影响或重要程度 为制定切实可行的方针措施以克服不利因素提供了必要的依据 2019 12 20 54 模型结构总目标和战略目标总目标是晋陕蒙接壤地区的综合开发治理 战略目标 根据本地区的自然 经济和社会条件 我们归纳出下面三个战略目标 O1 煤炭开发 O2 发展农林牧生产 O3 改善生态环境 力争达到良性循环 2019 12 20 55 模型结构发展战略根据本区特点 开发治理的战略重点是能源 粮食 副食 水土保持 沙化治理等方面 为此我们提出以下十个发展战略 C1 发展统配煤矿 C2 发展地方 乡镇煤矿 C3 发展电力工业 C4 发展重工业 化工工业 C5 发展地方工业 乡镇企业 C6 发展粮食生产 C7 建设肉蛋奶基地 C8 建设果品蔬菜基地 C9 水土保持 C10 沙漠化治理 2019 12 20 56 制约因素晋陕蒙三角地区虽然有不少有利条件 但也有许多不利因素 这对实现总目标必然会产生很大影响 归纳了八个方面的制约因素 S1 运输能力低下 S2 资金严重不足 S3 人才 技术力量 包括技术工人 工程技术人员 科研人员 教员等 缺乏 S4 水资源不足 S5 水土流失严重 风沙危害大 S6 粮食及农副畜产品供应紧张 S7 地方乡镇经济不发达 S8 建设要占用大部分良田 2019 12 20 57 方针措施为了克服不利因素 保证总目标实现 可以有如下十九项方针措施 P1 引入国外资金 引进技术 P2 国家投资 P3 地方集资 P4 当地现有水资源开发节流 合理使用 P5 引黄河水 P6 开发地下水 P7 种草种树 发展畜牧 P8 加强农田基建 提高单产 P9 对可能污染环境的厂矿 提前采取措施 P10 各省内自行解决人才 技术问题 P11 从全国调入人才 引进技术 2019 12 20 58 P12 本地区自行解决人才 技术问题 P13 各省内解决农副畜产品供应问题 P14 地方解决粮食供应 P15 省内解决粮食供应 P16 从全国调入粮食 P17 改善公路运输条件 新建公路 P18 修建铁路 P19 对重点工矿 加强水保工作及沙化治理 根据上述分析 可以得出晋陕蒙三角地区综合开发治理战略决策模型的层次结构 2019 12 20 59 模型计算结果根据以上层次结构 通过构造AHP判断矩阵 共构造了23个判断矩阵 层次单排序 层次总排序及一致性检验等步骤 得到了如下几个方面的计算结果 2019 12 20 60 计算出3个战略目标O1 O2 O3的相对权重 计算出发展战略C1 C2 C10对每个战略目标的相对权重 并用O1 O2 O3权重对发展战略的相对权重加权后相加 可得出各发展战略的组合权重 它们表示各发展战略对实现总目标的重要程度 计算出每个制约因素S1 S2 S8对每个发展战略的相对权重 并用发展战略C1 C10的组合权重对制约因素的相对权重加权后相加 可得出各制约因素的组合权重 它们表示各制约因素对实现总目标的制约程度 计算出各方针措施P1 P2 P10对每个制约因素的相对权重 并用各制约因素的组合权重对方针措施的相对权重加权后相加 即可得出各方针措施的组合权重 它们表示各方针措施对实现总目标的重要程度 权重越大越重要 因此在实现总目标的过程中 应该首先考虑实施那些权重较大的方针措施 上述计算结果分别见表如下三个表 2019 12 20 61 表战略目标和发展战略权重 2019 12 20 62 表发展战略和制约因素的权重 2019 12 20 63 表制约因素和方针措施的权重 2019 12 20 64 结果分析与结论结果分析从战略目标来看 要实现晋陕蒙三角地区综合开发与治理 首先要发挥本地区煤炭资源的优势 其权重为0 595 但不容忽视的是 必须采取开发与治理并重的总方针 边开发边治理 以开发促治理 从计算结果看 O3的权重为0 276 其重要程度排在第二位 当然 农林牧生产也应得到相应的重视 其权重为0 128 2019 12 20 65 从发展战略上来讲 首先应发展统配煤矿 其权重为0 151 地方乡镇煤矿的发展也占有重要地位 其权重为0 139 水土保持和粮食生产的权重分别为0 134和0 133 处在第三位和第四位 从它们权重的数值可看出与发展采煤业相差不多 可见它们对实现总目标的重要性 沙漠化治理与建设肉蛋奶基地也应放在重要的位置上 其权重分别为0 129和0 114 建设果品和蔬菜基地的权重为0 108 另外 发展电力工业与发展地方工业乡镇企业的权重分别