北京市东城区2014届高三数学上学期期末考试 理 新人教A版

1 东城区 2013-2014 学年第一学期期末教学统一检测 高三数学 （理科） 学校 _班级 _姓名 _考号 _ 本试卷共 5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分 （选择题 共 40 分） 一、选择题共 8 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 40 分 。 在每小题 列 出的四个选项中 ，选出符合 题目要求的 一项。 （ 1） 已知集合 | 0 2A x x ， | ( 1 ) ( 1 ) 0 B x x x ，则 AB （ A） (0,1) （ B） (1,2) （ C） ( , 1) (0 , ) （ D） ( , 1) (1, ) （ 2） 在复平面内，复数 2ii 的对应点位于 （ A）第 一象限 （ B）第 二象限 （ C）第 三象限 （ D）第四 象限 （ 3） 设 aR ， 则 “ 1a ” 是“直线 10ax y 与直线 50x ay 平行”的 （ A） 充分而不必要条件 （ B） 必要而不充分条件 （ C） 充分必要条件 （ D） 既不充分也不必要条件 （ 4）执行右图所示的程序框图，输出的 a 的值为 （ A） 3 （ B） 5 （ C） 7 （ D） 9 （ 5） 在 ABC 中， 15a ， 10b ， 60A ，则 cosB （ A） 13 （ B） 33 （ C） 63 （ D） 223 a =a+2 否 开始 S=1 是 a=3 S=S a S 100? 输出 a 结束 2 （主视图） （ 侧 视图） （ 俯 视图） 1 2 1 1 （ 6）已知直线 3y kx与圆 22( 2 ) ( 3 ) 4xy 相交于 M ， N 两点，若 23MN ，则 k 的取值范围为 （ A） 33 , 33 （ B） 11 , 33 （ C） 3( , 3 （ D） 3 , )3 （ 7） 在直角梯形 ABCD 中， 90A ， 30B ， 23AB , 2BC ，点 E 在线段 CD 上，若 A E A D A B，则 的取值范围是 （ A） 0,1 （ B） 0, 3 （ C） 10, 2 （ D） 1 ,22 （ 8 ） 定义 ,m a x , a a babb a b 设 实 数 ,xy 满 足 约 束 条 件 2,2,xy则m a x 4 , 3 z x y x y 的取值范围是 （ A） 6,10 （ B） 7,10 （ C） 6,8 （ D） 7,8 第二部分 （非 选择题 共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 （ 9）若函数()fx为奇函数，当0x时，2()f x x x，则( 2)f 的值为 （ 10） 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体 的体积为 （ 11）若点 (4,4)P 为抛物线 2 2y px 上一点，则抛物线焦点坐标为 ；点 P 到抛物线的准线的距离为 3 xyAOP（ 12） 函数 1y x x 的最大值为 （ 13）如图， 已知点 1(0, )4A,点0 0 0( , )( 0 )P x y x 在曲线 2yx 上， 若阴影部分面积与 OAP 面积相等时，则0x （ 14） 设等差数列 na满足：公差 *dN ， *na N，且 na中任意两项之和也是该数列中的一项 . 若1 1a，则 d ； 若 51 2a ，则 d 的所有可能取值之和为 . 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （ 15）（本小题共 13 分） 已知函数 2( ) 2 3 s i n c o s 2 s i n 1f x x x x （）求 ()12f 的值； （）求 ()fx在区间 0, 2上的最大值和最小值 （ 16）（本小题共 13 分） 已知 na是一个公差大于 0 的等差数列，且满足3545aa, 2614aa. （）求数列 na的通项公式； （） 若数列 nb满足： 122 12 2 2 n nnbbb a ( *)N ， 求数列 nb 的前 n 项和 . （ 17）（本小题共 14 分） 如图，在三棱柱1 1 1ABC A B C中，1BB平面1 1 1ABC 1 2A C C B C C ，90ACB， D ， E 分别是 11AB ， 1CC 的中点 （）求证：1CD 平面1ABE； （）求证：平面1ABE平面11AABB； （）求直线1BC与平面1ABE所成角的正弦值 BA CA A DA EA A1 B12A C1 4 （ 18）（本小题共 13 分） 已知 aR ，函数 1( ) lnf x x a xx （）当 0a 时，求 ()fx的最小值 ； （）若 ()fx在区间 2, ) 上是单调函数，求 a 的取值 范围 （ 19）（本小题共 13 分） 已知椭圆 221xyab( 0)ab上的点到其两焦点距离之和为 4 ，且过点 (0,1) （）求椭圆方程； （） O 为坐标原点， 斜率为 k 的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点11( , )A x y，22( , )B x y，若1 2 1 2220x x y yab，求 AOB 的面积 . （ 20）本小题共 14 分） 若无穷数列 na满足： 对任意 *nN ， 2 12nn naa a ； 存在 常数 M ， 对任意 *nN ，naM，则称数列 na为“ T 数列” . （）若数列 na的通项为 82nna ( *)nN，证明：数列 na为“ T 数列”； （）若数列 na的各项均为正整数，且数列 na为“ T 数列”，证明：对任意 *nN ，1nnaa； （） 若数列 na的各项均为正整数，且数列 na为“ T 数列”，证明：存在 0 *n N，数列0nna 为等差数列 . 5 东城区 2013-2014 学年第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准 （理科） 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） （ 1） C （ 2） D （ 3） A （ 4） C （ 5） C （ 6） A （ 7） C （ 8） B 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （ 9） 6 （ 10） 32 （ 11） (1,0) ， 5 （ 12） 2 （ 13） 64 （ 14） 1, 63 三、解答题（共 6 小题，共 80 分） （ 15） （共 13 分） 解：（ ）由 2( ) 2 3 s i n c o s 2 s i n 1f x x x x 3 s i n 2 c o s c o s 2x x x， 得 ( ) 2 s in ( 2 )6f x x 所以 ( ) 2 s in 31 2 3f 8 分 （ ） 因为 02x ， 所以 26 6 6x 当 262x ， 即6x 时 ， 函数 ()fx在区间 0, 2上 的最大值为 2 当 266x ， 即2x 时 ， 函数 ()fx在 0, 2上 的最 小 值为 1 13 分 （ 16） （共 13 分） 解：（） 设等差数列 na的公差为 d ，则依题设 0d 由2614aa,可得4 7a 6 由3545aa，得 ( 7 ) ( 7 ) 4 5dd ，可得 2d 所以1 7 3 1ad 可得 21nan 6 分 （）设2nn nbc ，则12 1nnc c c a . 即12 2nc c c n ， 可得1 2c，且1 2 1 2 ( 1 )nnc c c c n 所以1 2nc ，可知 2nc ( *)nN 所以 12nnb ， 所以数列 nb是首项为 4 ，公比为 2 的 等比数列 所以前 n 项和 24 (1 2 ) 2412n nnS 13 分 （ 17） （共 14 分） 证明： （）取 AB 的中点 F ，连结 DF ，交1AB于点 M ，可知 M 为 DF 中点， 连结 EM ，易知四边形1CDME为平行四边形， 所以1CD EM 又1CD平面1ABE， EM 平面1ABE， 所以1CD 平面1ABE 4 分 证明：（）因为1 1 1 1AC C B，且 D 是11AB的中点， 所以1 1 1C D A B 因为1BB平面1 1 1ABC，所以11BB C D 所以1CD平面11AABB 又1CD EM ，所以 EM 平面11AABB 7 又 EM 平面1ABE， 所以平面1ABE平面11AABB 分 解： （）如图建立空间直角坐标系 C xyz ， 则 (0,2,0)B ，1(0,0,2)C, (0,0,1)E ，1(2,0,2)A 1 (0, 2, 2 )BC ，1 (2,0,1)EA ， (0, 2, 1)EB 设平面1ABE的 法向量为 ( , , )x y zn . 则 1 0,0.EAEB nn 所以 2 0,2 0.xzyz 令 1x . 则 (1, 1, 2) n . 设向量 n 与1BC的夹角为 ， 则113c o s6BCBC nn. 所以直线1BC与平面1ABE所成角的正弦值为 36. 14 分 （ 18） （共 13 分） 解：（）当 0a 时， 1( ) lnf x xx（ 0x ）， 221 1 1( ) xfx x x x 所以，当 01x时， ( ) 0fx ； 当 1x 时， ( ) 0fx 所以，当 1x 时，函数有最小值 (1) 1f 分 （） 2221 1 1( ) a x xf x ax x x 当 0a 时， 12 xax 在 2, )x 上恒大于零，即 0)( xf ，符合要求 当 0a 时，要使 ()fx在区间 2, ) 上是单调函数， BA CA A DA EA A1 B12A C1 FA MA xA yA zA 8 当且仅当 2, )x 时， 2 10ax x 恒成立 即21 xa x 恒成 立 设21() xgx x ， 则32( ) xgx x ， 又 2, )x ，所以 ( ) 0gx ，即 ()gx 在区间 2, ) 上为增函数， ()gx 的最小值为 1(2)4g ， 所以 14a 综上， a 的取值范围 是 14a，或 0a 13 分 （ 19） （共 13 分） 解（）依题意有 2a ， 1b 故椭圆方程为 2 2 14x y 分 （）因为直线 AB 过右焦点 ( 3,0) ，设直线 AB 的方程为 ( 3 )y k x. 联立方程组22 14( 3 ).x yy k x ， 消去 y 并整理得 2 2 2 2( 4 1 ) 8 3 1 2 4 0k x k x k （ *） 故 212 28341kxx k ， 212 21 2 441kxx k 21 2 1 2 2( 3 ) ( 3 )41ky y k x k x k 又 1 2 1 2220x x y yab，即 12 12 04xx yy 所以 2231 04 1 4 1kk，可得 2 12k ，即 22k 方程（ *）可化为 23 4 3 2 0xx ， 由 2121A B k x x ，可得 2AB 9 原点 O 到直线 AB 的距离23 11kdk. 所以 1 12A O BS A B d 13 分 （ 20） （共 14 分） （）证明：由 82nna ，可得 22 82nna ， 11 82nna ， 所以 21212 8 2 8 2 2 ( 8 2 ) 2 0n n n nn n na a a ， 所以 对任意 *nN ， 2 12nn naa a 又数列 na为递减数列，所以 对任意 *nN ，1 6naa 所以数列 na为“ T 数列” 5 分 （） 证明：假设存在 正整数 k ，使得1kkaa 由数列 na的各项均为正整数，可得1 1kkaa 由 2 12kk kaa a ，可得212 2 ( 1 ) 2k k k k k ka a a a a a 且2 1 1 1 122k k k k k ka a a a a a 同理31 23k k ka a a ， 依此类推，可得，对任意 *nN ，有k n ka a n 因为ka为正整数，设kam，则 *mN . 在k n ka a n 中，设 nm ，则 0kna 与数列 na的各项均为正整数矛盾 所以，对任意 *nN ，1nnaa. 10 分 （） 因为数列 na为“ T 数列”， 所以，存在 常数 M ， 对任意 *nN ，naM 设