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上海交通大学博士学位论文 复杂动态网络同步性能分析 摘要 2 0 世纪未，人们对复杂网络的科学探索发生了重要转变，节点数众多、连接 结构复杂的实际网络的整体特性，特别是网络结构与网络动力学行为之间的关系 开始受到越来越多的关注。 复杂动态网络系统中的同步化行为足自然界和工程技术领域中一种常见现 象。早期大多数关于动态网络同步的研究工作主要集中于分析具有规则拓扑结构 网络的同步特性，如网格模型和全耦合模型等。典型例子包括耦合映象格子和细 胞神经月 线性网络。研究这些结构比较简单的网络，可以使人们集中精力研究 节点的复杂动力学行为对整个网络的影响，而暂时不考虑网络结构的复杂度。 但随着对现实复杂网络结构的深入了解，特别是复杂网络中小世界和无标度 特性的发现，人们开始越来越多的关注网络的拓扑结构对网络动态特性，包括同 步特性的影响。探索具有复杂拓扑结构动态网络的同步行为成为当今复杂网络研 究领域的一个重要课题。本论文主要针对连续时间线性耦合动态网络的同步特性 展开研究工作。通过设计有效的控制策略来获得具有较高同步化能力的网络模 型，并且分析网络中的各种拓扑结构特性对网络同步性能的影响。 本文的主要内容及创新点有以下几方面： i 提出了同步最优网络模型和同步优先网络模型。同步最优网络具有类多 中心拓扑结构，对于恶意攻击非常脆弱。为了提高网络对恶意攻击的鲁 棒性，将同步优先连接机制融入b a r a b i s i - a l b e r t ( b a ) 无标度网络模型 中，得到了同步优先模型。通过分析两者的拓扑结构，发现同步优先网 络的结构介于b a 无标度网络和e r 随机图之间。 2 分析了b a 无标度网络、线形弦图( 1 i n e a r i z e dc h o r dd i a g r a m ，i _ l - d ) 网 络、同步最优网络以及同步优先网络的同步化能力与同步的鲁棒性。发 摘要 现l c d 网络只是从数学角度完淳了b a 无标度刚络，其同步化能力以 及同步鲁棒性与b a 无标度网络没有本质的区别，都对随机故障有较强 的鲁棒性以及对恶意攻击非常脆弱：同步最优刚络的同步化性能比b a 无标度网络的同步能力有明显提高，但由于类多中心的拓扑结构，对于 恶意攻击非常脆弱。同步优先网络的同步化能力虽然与b a 无标度网络 的类似，但由于同步优先连接机制为网络带来了一定的随机性，因此该 网络对于随机故障和恶意攻击部具有较强的鲁棒性，这也意味着，同步 优先网络在一定程度上克服了b a 无标度网络的“a c h i l l e s 踵( a c h i l l e s h e e l ) ”。 3 考虑在保持网络中各节点度不变的情形下，通过改变网络中边的连接情 况来提高网络的同步化性能，研究分析了在同步化性能提高的同时，网 络其他各种结构指标( 如平均路径长度、最大介数、同配性等) 的变化 情况，发现异配网络的同步化性能强于同配网络。 4 考虑用小波多分辨率理论对大规模复杂网络进行分析，通过处理最小的 信息来刻画和分类网络，从小波分解的最低分辨率子空间对应的租粒化 描述中得到了网络的小世界性质。 关键词：同步，复杂网络，小世界网络，无标度网络，鲁棒性，小波分解 上海交通大学博士学位论文 s y n c h r o n z a t i o np e r f o r m a n c ea n a i j y s i s o fc o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r k s a b s t r a c t s c i e n t i f i cr e s e a r c ho nc o m p l e xn e t w o r k sh a se x p e d e n c e das i g n i f i c a n t l yc h a n g e j nt h ee n do ft h e2 0 血c e n t u r y m a n ys c i e n t i s t sh a v es t a r t e dt oc o n s i d e rt h ep r o p e r t i e s o faw i d ev a r i e t yo fl a r g e s c a l er e a ln e t w o r k sw i t hc o m p j e xs t r u c t u r e s ，w i t ha n i n c r e a s i n gi n t e r e s to nt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h es t r u c t u r a lp r o p e r t i e so fan e t w o r k a n di t sd y n a m i c a lb e h a v i o r s s y n c h r o n i z a t i o ni nc o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r k sc a nw e l le x p l a i nm a n yn a t u r a l a n de n g i n e e r i n gp h e n o m e n a h o w e v e r , m o s to fe a r l i e rw o r k sh a v e b e e nc o n c e n t r a t e d o nn e t w o r k sw i t hc o m p l e t e l yr e g u l a r t o p o l o g i c a ls t r u c t u r e ss u c ha sl a t t i c e sa n d f u l l y - c o n n e c t e dg r a p h s t w ot y p i c a lc a s e sa r et h ed i s c r e t e t i m ec o u p l e dm a pl a t t i c e ( c m l ) a n dt h ec o n t i n u o u s t i m ec e l l u l a rn e u r a l ( o rn o n l i n e a r ) n e t w o r k ( c n n ) t h e m a i nb e n e f i to ft h e s es i m p l ea r c h i t e c t u r e si st h a ti ta l l o w su st of o c u so nt h e c o m p l e x i t yc a u s e db yt h en o n l i n e a rd y n a m i c so ft h en o d e s r e c e n t l y , w i t ht h ed e e pu n d e r s t a n d i n go ft h es t r u c t u r a lp r o p e r t i e so fr e a l c o m p l e xn e t w o r k s , e s p e c i a l l y , t h ef i n d i n go f t h es m a l l - w o r l da n ds c a l e - f r e e p r o p e r t i e s ，m o r ea n dm o r ea t t e n t i o nh a sb e e nf o c u s e do nt h ee f f e c t so fn e t w o r k s t r u c t u r eo nn e t w o r kd y n a m i c a lb e h a v i o r , i n c l u d i n gs y n c h r o n i z a t i o nb e h a v i o r r e s e a r c ho ns y n c h r o n i z a t i o np h e n o m e n ai nn e t w o r k sw i t hc o m p l e xt o p o l o g i e sh a s b e c o m ea ni m p o r t a n tt o p i ci nt h ea r e ao fc o m p l e xn e t w o r kr e s e a r c h t h em a i n o b j e c t i v eo ft h i sd i s s e r t a t i o ni s t o i n v e s t i g a t et h es y n c h r o n i z a b i l i t i e so fac l a s so f c o n t i n u o u s - t i m e l i n e a r l yc o u p l e dd y n a m i c a l n e t w o r km o d e l sw i t hd i f f e r e n t t o p o l o g i e s n e t w o r km o d e lw i t hh i g hs y n c h r o n i z a b i l i t yi s c o n s t r u c t e dt h r o u g h d e s i g n i n ge f f i c i e n tc o n t r o lm e c h a n i s m s t h ee f f e c t so ft o p o l o g i c a lp r o p e r t i e so i l a b s t r a c t n e t w o r ks y n c h r o n i z a b i l i t ya r ea l s oa n a l y z e d t h em a i nc o n t e n ta n dc o n t r i b u t i o n so ft h i sd i s s e r t a t i o na r es u m m a r i z e da s f o l l o w s ： a s y n c h r o n i z a t i o n - o p t i m a lg r o w t ht o p o l o g ym o d e la n das y n c h r o n i z a t i o n p r e f e r e n t i a lg r o w t ht o p o l o g ym o d e la r ep r o p o s e d w ef i n dt h a tt h ef o r m e r m o d e li si ns o m es e n s es i m i l a rt ot h em u l t i c e n t e rm o d e l t h e r e f o r e ，i ti s v e r yp a r t i c u l a r l ym o r ef r a g i l ew i t hr e s p e c tt od e l i b e r a t ea t t a c k s i no r d e rt o i m p r o v e t h es y n c h r o n i z a t i o nr o b u s t n e s s a g a i n s ts e l e c t i v er e m o v a lo f v e r t i c e si nc o m p l e xn e t w o r k s ，w ee m b e dt h es y n c h r o n o u s - p r e f e r e n t i a l a t t a c h m e n tm e c h a n i s mi n t ot h eb as c a l e - f r e em o d e l t h r o u g ha n a l y s i so f t h et o p o l o g i c a ls t r u c t u r eo ft h e s en e t w o r km o d e l s ，i ti sf o u n dt h a tt h ed e g r e e d i s t r i b u t i o no ft h es y n c h r o n o u s p r e f e r e n t i a ln e t w o r ki sb e t w e e np o w e r - l a w f o r ma n dp o i s s o nd i s t r i b u t i o n w e s t u d yt h es y n c h r o n i z a b i l i t i e so fac l a s so fc o n t i n u o u s - t i m ed y n a m i c a l n e t w o r k sw i t hb as c a l e - f r e e ，l c ds c a l e f r e e ，s y n c h r o n o u s o p t i m a la n d s y n c h r o n o u s p r e f e r e n t i a lt o p o l o g i e s t h e r o b u s t n e s so ft h e s y n c h r o n i z a b i l i t i e so ft h e s en e t w o r k sw i t hr e s p e c tt or a n d o ma n ds p e c i f i c r e m o v a lo fv e r t i c e si si n v e s t i g a t e d i ti sf o u n dt h a tt h es y n c h r o n i z a b i l i t i e so f t h ed y n a m i c a ln e t w o r k sw i t hb aa n dl c ds c a l e - f r e et o p o l o g i e sa r es i m i l a r a l t h o u 曲t h es y n c h r o n i z a t i o n - o p t i m a lg r o w t hm o d e lh a s t h e h i g h e s t s y n c h r o n i z b i l i t y , i ti st h em o s tf r a g i l en e t w o r kw i t hr e s p e c tt od e l i b e r a t e a t t a c k s w ea l s of i n dt h es y n c h r o n i z a b i l i t yo fas y n c h r o n i z a t i o n p r e f e r e n t i a l d y n a m i c a ln e t w o r ki sr o b u s ta g a i n s tn o to n l yt h er a n d o mr e m o v a lo fn o d e s b u ta l s ot h es p e c i f i cr e m o v a lo ft h o s em o s tc o n n e c t e dn o d e s t h i si m p l i e s t h a tg r o w t ha n dp r e f e r e n t i a la t t a c h m e n tm e c h a n i s m sd on o tn e c e s s a r i l yl e a d t ot h e a c h i l l e sh e e l ，w h i c hh a sb e e ns h o w nt ob eab a s i cf e a t u r eo fb a s t a t e f r e en e t w o r k n e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h es y n c h r o n i z a b i l i t e so fac l a s so fd y n a m i c a l n e t w o r k sw i t ht h es a l n e p o w e r - l a wd e g r e e d i s t r i b u t i o na n dt h e i r c o r r e s p o n d i n gt o p o l o g i c a lp r o p e r t i e s i s i n v e s t i g a t e d a s t h en e t w o r k i v 上海交通大学博士学住论文 b e c o m e sm o r es y n c h r o n i z a b l e ，i tb e c o m e sl e s sa s s o r t a t i v e ，w h i l et h e m a x i m u mv a l u eo fb e t w e e n n e s se e n t r a l i t i e sk e e p sa l m o s tu n c h a n g e d i t i m p l i e st h a ta s s o r t a t i v i t yi sm o r es u i t a b l et h a nb e t w e e n n e s sc e n t r a l i t ya sa n i n d i c a t o rf o rp r e d i c t i n gs y n c h r o n i z a b i l i t yo fs o m ec o m p l e xn e t w o r k s m u l t i s c a l ew a v e l e td e c o m p o s i t i o nc a nb ea ne f f i c i e n tt o o lt oi n v e s t i g a t et h e s t r u c t u r a lp r o p e r t i e so fc o m p l e xn e t w o r k s m u l t i - r e s o l u t i o nr e p r e s e n t a t i o n s o fn e t w o r k sp r o v i d ea ne f f i c i e n tc o a r s e t o - f i n es t m t e g yf o rc h a r a c t e r i z i n g a n d c l a s s i f y i n g n e t w o r k s b yp r o c e s s i n g t h em i n i m u ma m o u n to f i n f o r m a t i o n w et a k et h es m a l l w o r l dn e t w o r ka sa ne x a m p l e ，a n ds h o wt h a t t h es m a l l w o r l dp r o p e r t yo ft h en e t w o r kc a ne a s i l yb ed e r i v e df r o mi t s c o a r s ea p p r o x i m a t i o nd e s c r i b e di nt h el o w e s tr e s o l u t i o ns u b s p a c eo ft h e w a v e l e td e c o m p o s i t i o n k e yw o r d s ：s y n c h r o n i z a t i o n ，c o m p l e xn e t w o r k ，s m a l l w o r l dn e t w o r k ，s c a l e f r e e n e t w o r k ，r o b u s t n e s s ，w a v e l e tt r a n s f o r m v 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郧霞声明：所呈交的学使沦文，足本人在导师的指导下，独谚进 行研究1 ：f ；所淑得的成果。除文巾已经注明弓l 用的内容外，本沧文不包含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成聚。对本文的研究做 j 重 要炙献的个入和集体，均已在文中以明确方式标明。本人究个意识剑本声 明的法络结果山本入承提l 。 学位沦文作者签名： 日期：冽年夕月f l 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本，位沦文作行究食了解学饺f 1 关傈瞬、使刚位论文的规定 | i j _ | 意学技保 j 召j ：i 旬喇宋有灭部| j 或机掏送交论文的复爨j 份和l 乜j f 版， 允竣：沦文破金测和借阅。本人授权上海交通大学町以：瞄本学位论文的 令爆或都分内容编入有火数据库进行捡索，口j 以采膈影印、缩印或扫 拭等铤制t - 段保仔和秘：编本学位沦文。 保密口，在年解密后适j f 】本授权u 瞰 本学位沧文腻于 不保密瞄。 ( 清经以j 二力榧内打“”) 学位 仑文作者签袋：溉 指导教师签名： 日期：彤年哆月3 - 0 日 日期蕊年了月a 卜 上海交通大学博士学位论文 1 1 引言 第一章绪论 2 0 世纪9 0 年代以来，以i n t e r n e t 为代表的信息技术的迅猛发展使人类社会 大步迈入了网络时代。从i n t e r n e t 到w w w 、从大型电力网络到全球交通网络、 从生物体中的大脑到各种新陈代谢网络、从科研合作网络到各种经济、政治、 社会关系网络等。可以说，人们已经生活在一个充满着各种各样复杂网络的 世界中。网络化社会既给人类生活带来了极大的便利，提高了人类生产效率和 生活质量，但也给人类社会生活带来了一定的负面冲击，如传染病和计算机病 毒的快速传播以及大面积的停电事故等。因此，人类社会的同益网络化需要人 类对各种人工和自然的复杂网络的行为有更好的认识。长期以来，通信网络、 电力网络、生物网络和社会网络等分别是通信科学、电力科学、生命科学和社 会学等不同学科的研究对象，而复杂网络理论所要研究的则是各种看上去互不 相同的复杂网络之间的共性和处理它们的普适方法。从2 0 世纪末开始，复杂网 络研究正渗透到从数理学科到生命学科和工程学科等众多不同的领域，对复 杂网络的定量与定性特征的科学理解已成为网络时代科学研究中一个极其重 要的挑战性课题，甚至被称为“网络的新科学( n e ws c i e n c eo f n e t w o r k s ) ”【1 4 】。 复杂非线性动态网络的特点之一就是，不仅网络中节点具有非线性和复杂 性，而且网络的连接结构和时空演化更是错综复杂，其中，复杂动态网络系统 在时空演化过程中出现的同步行为及其控制方法研究是近年来受到关注的一类 课题【5 】。早期大多数对于大型动态网络同步工作的研究是假设网络具有完全规 则的连接结构。尽管已有研究结果表明，当网络耦合强度足够大时，网络的节 点之间会产生同步化行为【6 】，但这并不能解释为什么即使在耦合强度相当弱 时，一些实际的复杂网络仍会产生同步。随着复杂网络的小世界效应 7 - 1 1 1 和无 标度特性1 1 2 1 4 1 的发现，探索具有复杂拓扑结构的动态网络同步化行为成为当 前研究复杂网络同步化特性的一个重点课题，下面简单介绍有关复杂网络同步 问题的研究概况，以及复杂网络同步稳定性的基本判据。第二章将对目前复杂 网络完全同步领域中的主要工作做详细介绍。 第1 页 第一章绪论 1 2 复杂网络同步研究进展概述 网络节点问的同步化行为是复杂动态网络一个非常重要的性质。物理学家 惠更斯早在1 6 6 5 年就惊讶地发现，：悬挂在同一横梁上的两个钟摆经过一段时间 以后会出现同步摆动的现象。在现实生活中，同步现象随处可见。比如，停在 同一棵树上的萤火虫同时闪光又同时不闪光；当精彩演出结束后，观众的掌声 起初是凌乱的，但经过几秒之后，大家会用共同的节奏鼓掌 1 5 ，1 6 1 ；近期发表 在( n a t u r e ) ) 杂志上的文章指出，纳米耦合振子之间也会发生同步行为，这有 可能用于研制新的无线通信元件f 17 ，1 8 。当然，同步现象有时也可能是有害的， 例如成千上力的人们同时过桥引起桥体振动；i n t e m e t 上路由器周期性发送路由 信息引发网络通信堵塞。 假定一个网络中所有个体的状念部足周期变化的，例如从发光到不发光， 那么看似巧合的同步现象可以用数学语言来描述。其中，每个个体是一个动力 学系统，而诸多的动力学个体之间存在着某种特定的耦合关系。实际上，在物 理学、数学和理论生物学等领域，耦合动力学系统中的同步现象已经研究了很 多年。控制论的奠基者w i e n e r 就曾分析过同步化现象 1 9 ，2 0 1 ，而生物学家 w i n f r e e 则是被公认为同步问题研究的一位开拓者【2 1 】。w i n f r e e 假设每个节点 只与它周围有限个节点之闻存在强力作用，这样振子的幅值变化可以忽略，从 而将同步问题简化成研究相位变化的问题。在此基础上，日本学者k u r a m o t o 做了重要的简化：一个具有有限个恒等振子的耦合系统，无论系统内部各个振 子之间的耦合强度多么微弱，它的动力学特性都可以由一个简单的相位方程来 表示 2 2 1 。此后，k u r a m o t o 模型成为了研究网络系统相位同步的经典标准模型。 但2 0 世纪的工作大多集中在具有规则拓扑形状的网络结构上，其中的两个典型 例子是耦合映象格子( c m l ) 【2 3 】和细胞神经网络( c n n ) 【2 4 】。研究这些结构比较 简单的网络，可以使得人们将研究重点放在网络节点的非线性动力学所产生的 复杂行为上，而暂时不去考虑网络结构复杂性对网络行为的影响。 进入2 1 世纪以来，入们开始关注具有小世界和无标度等网络拓扑特性的复 杂网络相位同步问题 1 5 ，1 6 ，2 5 3 8 1 。网络中形成的同步簇中节点个数占整个网 络节点数的比例反映了网络相位同步的程度。人们通过对小世界模型的相位同 步研究发现，随着网络中长程边的增多，开始出现同步簇，并且簇中的节点逐 第2 页 上海交通大学博士学位论文 渐增多，最终所有节点形成一个同步簇，相位同步出现饱和态，整个网络达到 相位同步 2 5 1 。无标度网络模型发生相位同步时，首先是度大的节点与周围相 邻符点发生相位锁定，如果度大的符点受到千扰不同步后，它的相邻节点会“帮 助”它返回到同步状态。随耦合强度的不断增大，最终网络形成一个同步簇 3 3 ， 3 4 。此外，网络摸体 3 9 1 以及离散时间、：作对称耦合网络的相位同步也受到了 人们的关注 2 6 2 8 ，3 5 3 8 】。 相位同步是一种同步化程度比较弱的同步现象，主要研究具有不同固有频率 的振子之间相位锁定的问题。发生相位同步时，各节点的相位可能已经锁定，但 幅值完全不同。还有一类被广泛研究的同步问题：完全同步。发生完全同步时， 网络中各个节点的状态达到完全一致。目前研究完全同步问题一般假设网络中所 有节点的动力学系统完全相同。人们在已有针对小规模舰则网络同步研究的基础 上【6 ，4 0 4 4 1 ，分析研究了具有复杂拓扑结构网络的同步化行为【4 0 4 5 4 8 1 ，发现 诸多相同节点构成的连续时间耗散祸合动态网络的同步性能由节点的动力学函 数以及节点之间的内部耦合函数决定。如果内部耦合函数是线性函数，则网络同 步的稳定性由节点动力学函数、内部耦合矩阵、耦合强度以及网络的耦合矩阵决 定。在此基础上，人们进一步研究了具有时变、时滞的一般复杂网络的同步 f 4 9 - 5 4 1 。大量研究结果表明，复杂网络的拓扑结构与网络的同步特性之间有着密 切的联系。人们在研究已有网络模型同步化性能的同时也开始分析网络拓扑结构 特性对同步的影响j 5 5 ，5 6 1 ，寻求有效的控制策略和演化机制来提高网络的同步 化性能【2 ，5 2 ，5 7 6 3 1 。在本论文中我们将主要关注于此类同步问题，因此在下一 节中将详细介绍复杂网络完全同步稳定性判据。 1 3 复杂网络同步稳定性分析 1 3 1 一般连续时间耦合网络同步判据 p e c o r a 和c a r r o l l 于1 9 9 8 年研究了一类连续时间耗散耦合动态网络同步的 稳定性问题，提出了主稳定性函数判据【4 0 ，4 8 1 。考虑一个由个相同的节点构 成的连续时间耗散耦合动态网络，其中第i 个节点的状态方程为： 第3 页 第一章绪论 毫一f ( x j ) + c h o ，) ( 1 - 1 ) 其中，一“”，“，町) 7 掰为节点i 的状态变鼍：常数c ，0 为网络的耦合 强度；h ( ) ：孵一掰为各个节点状态变量之白j 的内部耦合函数，也称为各节点 的输出函数，这罩假设每个节点的输出函数是完全相同的；耦合矩阵 a = ( a o ) m “表示网络的拓扑结构，满足耗散祸合条件，口口一o 。 当耦合矩阵a 描述了一个无权无向简单图的拓扑结构时，若节点f 和节点 j ( i ，) 之间有连接，贝j j a o 一口f = 1 ；否则4 # = 口= o ( i j ) 。对角元为 ”一荟酗。咄，f 叱2 ，( 1 - 2 ) ，“，耐 这咀t ；为常点i 的度数。此时，a 显然是对称阵。假设网络足连通的，那么a 是 一个不可约矩阵。由矩阵理论可以知道，祸合矩阵a 有且仅有一个重数为1 的零 特征根，且其对应的特征向量为化1 ，1 ) 丁，对应于网络的不变同步流形( i n v a r i a n t s y n c h r o n i z a t i o nm a n i f o l d ) 。而a 其余的特征根均为负实数，所对应的特征向量构 成的n 一1 维予空问横截( 正交) 于特征向量q 1 ，1 ) r 。 如果当t m 时有 o ) 一x 2 ( t ) 一一h p ) - - s o ) ( 1 3 ) 就称动态网络( 1 1 ) 达到芜身翱履步。同步状态5 ( f ) 孵必为单个孤立节点的 解，即满足j o ) 一，o ( f ”。这里s o ) 可以是孤立节点的平衡点、周期轨道、甚至 是混沌轨道。 对状态方程( 1 1 ) 关于同步状态s o ) 线性化，令毒为第i 个节点状态的变分， 可以得到如下的变分方程： 毫= 巧q 璃+ 口蹦。垮 这里珂o ) 和d h ( s ) 分别是i ( s ) 和n ( s ) 关于s 亭皇，磊】，则上式可以写为 亭o f 0 垮+ c d h ( s ) 亭a 7 第4 页 ( 1 - 4 ) 的j a c o b i 矩阵，再令 ( 1 - 5 ) 上海交通大学博士学位论文 记a r ：s a s 。为矩阵a 的j o r d a n 分解，这瞿不妨假设a 为对角阵，即 a d i a g ( ，九) ，其中 ) 盖。是矩阵a 的特征根且 = 0 。再令 叩一啊，叩1 ；毒s 。则有 呼；j 万( ，) 野+ c d h ( s ) ，i a ( 1 6 ) 上式等价于 杌一【i 矿( s ) + c 九d h p ) 】仇， k 一2 ，n( 1 - 7 ) 判断同步流形稳定的一个常用削据足要求方程( 1 7 ) 的横截l y a p u n o v 指数全为负 值 4 3 ，6 4 ，6 5 1 。 在方程( 1 7 ) 中，如果矩阵a 为非对称阵时，其特征值可能为复数，令 c - 口+ i f l ，故此定义主稳定方程( m 髂t e rs t a b i l i t ye q u a t i o n ) 如下： 夕= 【d 旷( s ) + ( a + i f l ) o h ( s ) y ( 1 - 8 ) 该方程的最大l y a p u n o v 指数l 。称为动力网络( 1 一1 ) 的主稳定函数( m a s t e r s t a b i l i t yf u n c t i o n ，m s f ) 【4 0 , 4 2 ，4 3 ，6 6 ，6 7 给定一耦合强度c ，在( c t ，卢) 复平面上可以对应地找到固定的一点c ，该点 所对应的l 一的正负号反映了该特征模态的稳定性( 负号表示稳定，正号表示不 稳定) 。如果与 ( k 一2 ，n ) 对应的所有的特征模块都稳定，那么在该祸合 强度下整个网络的同步流形( 1 - 3 ) 是稳定的。 例如，以混沌r 6 s s l e r 振子作为网络的节点，第f 个孤立振子方程为 1 - 一卅2 - i x f f 3 ) ) 2 一1 + 叫2 妒t 6 + 升“”一c ) 当口。o z b 一0 2 ，c 。5 7 时，r 6 s s l e r 振予呈现混沌动力学特性。假定节点闻只通 描述。系统的主稳定函数曲线如图1 - 1 所示，其中细虚线表示的是负l y a p u n o v 指数曲线，细实线为正l y a p u n o v 指数曲线，黑点为具有1 0 个r 6 s s l e r 振子的环 第一章绪论 形网络，小图( a ) 是一个典型的主稳定函数曲面。这些曲线沿着虚轴方向( 声) 关于实轴( 口) 基本上对称。从图中可以看到在口一声= 0 时，即耦合强度c ；0 处， 对应于孤立混沌r 6 s s l e r 系统，l 。 0 。假定卢= 0 ，9 l j 随着口的减小( 即耦合 强度c 在增大) ，当超过一特定阂值后，| l 一减小为负值，再继续减小a 值，当a 再小于另外一个阈值时l 一再次为正。这个例子说明，耦合强度太弱或太强邵可 能使得整个耦合网络的同步流形不稳定。 图卜i ：石( 1 ) 一耦合r 6 s s l e r 系统的主稳定函数 f j g i - im a s t e rs t a b i l i t yf u n c t i o nf o r - c o u p l e dr 6 s s l e ro s c i l l a t o r s 如果网络是无权无向连通的简单图，那么耦合矩阵的特征根均为实数，且可 以记为 0 一 ，九z z 九 ( 1 - 9 ) 此时，主稳定方程( 1 - 8 ) 可写为 ，一【o f ( s ) + a o h ( s ) l y ( 1 - l o ) 对应的主稳定函数是实数a 的函数，其中a c 。把使得主稳定函数l 一为 负的实数盯的取值范围s 称为动态网络( 1 1 ) 的同步化区域，它是由孤立节点的动 力学函数，( ) 和内部耦合函数日( ) 确定的。如果耦合强度与耦合矩阵的每个负的 特征值之积都属于同步化区域，即 c 九s ，k - 2 , ，n ( 1 - 1 1 ) 第6 页 上海交通大学博士学位论文 那么同步流形( 1 3 ) 足渐近稳定的。根据同步化区域s 的不同情形，k o c a r e v 等人 把网络( 1 - 1 ) 分为以下几种类型( 见图1 2 ) 【6 8 】： 类型i 网络：对应的同步化区域为s l = ( 一m ，o t 。) ( 图1 2 中虚线) ，为 有限i 正实数。对于此类网络，如果耦合强度和耦合矩阵的特征值满足 c 九q ( 1 - 1 2 ) 即 c a _ j 1 0( 1 1 3 ) 疋 。 那么，类型i 网络的同步流形( 1 3 ) 足渐近稳定的。因此，类型i 网络关于拓扑结 构的同步化能力可以用对应的耦合矩阵a 的第二大特征值九来刻画。九值越小， 类型i 网络的同步化能力越强。将公式( 1 - 1 2 ) 或( 1 - 1 3 ) 记为同步判据i 。 类型h 网络：对应的同步化区域为是= p ：，8 。) ( 图1 2 中实线) ，呸和口： 为有限非正实数且口：t a ，。对于此类网络，当耦合强度和耦合矩阵的特征值满 足 c 口2c 九q ( 1 1 4 ) 也就是说，当祸合强度在一定范围内，即 旦c 生 屯 ( 1 1 5 ) 时，类型n 网络的同步流形( 1 3 ) 是渐近稳定的。把公式( 1 1 4 ) 或( 1 1 5 ) 称为同步 判据i i ，它也可写为 ，如 f ) 之问找出